2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 空间向量与立体几何 章末综合提升 学案.docx

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1、第1章空间向量与立体几何章末综合提升篁末综合提升+c22(abbc+ca)=1+112(+)=6,乙乙1JJ61=6.即力。的长为加.BD=b+c-a,AC=a-b,=2,AC=3,BDiAC=(b+ca)(a+b)=8占+ac+bc=1,BD1AC6.cos(D,Ao二=毛一.BD1ACff历即物与?!侠角的余弦值为手.b口类型2利用空间向量证明平行、垂直问题通过直线的方向向量和平面的法向量，把直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系完全转化为两个向量之间的关系，然后通过向量的运算，得到空间图形的位置关系，用空间向量解决位置关系问题时，一般有“基底法”和“坐标法”两种方法，当不易建空间直角坐

2、标系时，可选择“基底法”，“基底法”比“坐标法”更具有一般性.【例2】在四棱锥尸中，ABVAD,CD1AD,PA工底面ABCD,PA=AD=CD=ZAB=2,3为的中点.(1)求证：身，平面必：(2)平面用内是否存在一点M使揪11平面帆T?若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由.解(D证明：以力为原点，以四,AD,力产分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系如图所示,则8(1,0,0),“(0,2,0),严(0,0,2),C(2,2,0),(1,1,1),.if=(ot1,1),平面必的一个法向量为n=(1,0,0),=0,即赢1a,又Bm平面P4。,加/平面必筋=(-1,2,0),S=(1

3、,0,-2),假设平面PAD内存在一点N,使拗J_平面PBD.设M0,y,z),则京三(一1,y-1,Z-D,从而郴C1班，/C1必，MN-BD=O,.欣=0,1+2y-1=0,即-1-2z-1=0,(2,，工在平面阳内存在一点(,使JW_1平面PBD.D类型3利用空间向量求距离(1)空间距离的计算思路点尸到直线/的距离：已知直线/的单位方向向量为“，/是直线/上的定点，P是直线1外一点，设4p=a,则向量力呼直线1上的投影向量为4g(ai)u,则点尸到直线1的距离为7F9(如图1).点尸到平面a的距离：设平面a的法向量为，力是平面a内的定点，是平面aAPn外一点，则点尸到平面a的距离为5(如

4、图2).图2(2)通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.【例3】长方体120由G中，AB=4,fP=6,1=4,V是4G的中点，尸在线段BC上,且IE=2,0是9的中点，求：J/到直线掰的距离；M到平面仍户的距离.解如图,建立空间直角坐标系Bxyzf则4(4,0,0),M2,3,4),HO,4,0),0(4,6,2),Bx(0,0,4).(I)V=(-2,-3,2),谦=(一4,-2,-2),(2)设=(筋y,Z)是平面的一个法向量，则a_18,Aj,f14x+4z=0,阳=I04)41,4,0),.1f1n因此可取=(1,1,1),由于盟=-3,4),那么点“到

5、平面初夕的距离为d=n21-3X1-4X1故明到平面阳尸的距离为芈333口类型4利用空间向量求夹角利用空间向量求夹角是空间向量的重要应用，利用向量方法求夹角，可不做出角而求出角的大小，体现了向量方法的优越性.【例4】如图，在长方体NG中，AB=BC=2,J=2,点、E,尸分别是平面45G，平面及笈的中心.以。为坐标原点，DAtDC,加所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系.试用向量方法解决下列问题：求异面直线和原所成的角；(2)求直线和平面8%所成角的正弦值.解(D由题意得力(2,0,0),/1,2,阴，8(2,2,0),(1,1,2),以0,2,0).7=(-1,2,BE=(1,1,2),诵谦=1-2+1=0.,直线/和砥所成的角为90.(2)设平面庞Z7的法向量为A=(My,z),又访=(-2,0,0),BE=(-1f-1,2),则A而=-2x=0,=-X-y+2z=0,Jx=O,取z=1,则y=*,六平面砥7的一个法向量为A=(O,2,1).cosAF,n)AFn5225低前H333设直线力尸和平面所成的角为0,则SinO=即直线月内和平面员/所成角的正弦值为