2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 1-4空间向量的应用1-4-2用空间向量研究距离夹角问题第1课时距离问题 学案.docx

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1、1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时距离问题学习任务核心素养必备知识情境导学探新知情境趣味导学预习素养感知.情境与问题.立交桥是伴随高速公路应运而生的.城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景.为了车流畅通，并安全地通过交叉路,1928年，美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥.1930年，芝加哥建起了座立体交叉桥.1931年至1935年，瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥.从此，城市交通开始从平地走向立体.在设计过程中工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离，工程师如何计算出来？知识点1点尸到直线/

2、的距离如图，直线/的单位方向向量为u,4是直线/上的定点，P是直线/外一点.设万三8则向量防在直线/上的投影向量施=E）.在Rt图中，由勾股定理，得点尸到直线/的距离为-I朗=返-a7.Q1 .能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.（重点）2 .能描述解决距离问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.（难点、易混点）空间中点、线、面距离的相互转化，培养直观想象和数学运算素养.思考)如何用向量的方法求两条平行线的距离？提示两条平行线的距离可转化为其中一条直线上任一点到另一条直线的距离.体验)：1.已知直线/过定点4(2,3,D,且方向向量为s=(0

3、,1,1),则点P(4,3,2)到/的距离d为()A.平反乎C.挈D.取A(AP=(2,0,1)，由点到直线的距器公式得d=j1丽=I筋看=、一(右)32-2.知识点2点尸到平面。的距离如图，已知平面a的法向量为A,力是平面a内的定点，是平面a外一点.过点尸作平面。的垂线人交平面。于点Q,则A是直线/的方向向量，且点尸到平面a的距离就是正在直线，上的投影向量闹J长度.因此止=pz4u1Z7体验，2已知平面。的一个法向量为=(一2,2,1),点4(一1,3,0)在平面a内，则点P(-2,1,4)到平面a的距离为.由题意知，AP=(1,2,4),n=y22H2+1=3,APn=(-1)(-2)+(

4、-2)X(-2)41=10,./2C1+、t10、，点P到平面a的距离为=V-IA13一关键能力.合作探究释疑难B疑难问题解惑学科素养形成口类型1点到直线的距离【例1】在长方体。1%如1心G中，0A=2,AB=3,A41=2,求。到直线47的距离.解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则4(2,0,0),Q(0,0,2),C(0,3,0),过。作C于点.设。(x,y,O),则d=(x,必2),AD=(X2,y,0).因为心=(一2,3,0),aD1.ACtAD/ACt2x+3y=0,所以X-2y2解得，18131225131即到直线的距离为斗胆.1J法二：连接力,建立如图所示的空间直角坐标系.

5、则4(2,0,0),Q(0,0,2),C(0,3,0),所以法=(-2,0,2),AC=(-2f3,0),所以拓丽=(-2,0,2)(-2,3,0)=4,所以崩,:,ACV13所以。到直线47的距离=41拓-(君2=噌1辰思领悟用向量法求点到直线的距离的般步骤(1)建立空间直角坐标系，并求相应点的坐标.求出直线的方向向量&的坐标，并求用I.(3)求以直线上某一特殊点为起点，所求点为终点的向量b的坐标，并求I引，计算专利用求点到直线的距离.跟进训练1.如图，在空间直角坐标系中有长方体力筋4BY1y,AB=I,BC=2,AA1=3,求点6到直线1C的距离.所以点占到直线4C的距离解因为48=1,B

6、C=2,AA=3,所以/(0,0,3),C(1,2,0),8(1,0,0),所以直线”。的方向向量/1G=。*,-3).CB=(0,-2,0),ArC=yif而=4,所以为在月7*C上的投影向量的长度为I西C_4|八|=而类型2点到平面的距离与直线到平面的距离【例2】(对接教材战例题)如图，已知正方形力攻笫的边长为1,H11平面力9,且PD=3E,尸分别为力88。的中点.求点到平面4%的距离；(2)求直线4。到平面户即的距离.解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则(O,O,O),P(0,0,1),4(1,0,0),C(0,1,0),设以！平面必人垂足为H,则DH=XDE+yDF+zDP=(+

7、%/+%，+y+z=1郎=(1,-1),外=(3，1-1)所以如PE=x+-y+晶+,z=,x+yZ=0同理，而标=x+%-Z=0,49又x+y+z=1,解得x=y=y,z=-.所以防=得(2,2,3),所以I而I=女伊因此，点到平面阳的距离为呼(2)由题意得，AC/EF,直线4C到平面叱的距离即为点力到平面侬的距离，由知能=(0,看0),平面际的一个法向量为A=(2,2,3),所求距离为钾Wr噜.思领悟1 .求点到平面的距离的主要方法(1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离;(2)在三棱锥中用等体积法求解；(3)向量法：二卡3为平面的法向量、4为平面上一点，必为过点力的斜线段

8、).2 .线面距、面面距实质上都是点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行.跟进训练2.在直三棱柱中，AAx=AB=BC=Z,AC=2f是的中点.(1)求证：8C平面4必(2)求直线3C到平面4劭的距离.解(D证明：连接力5交43于点连接DE/BxCtDEU平面AIBD-8C平面AM.因为JC平面AWD,所以占C到平面4切的距离就等于点B1到平面4切的距离.2y2y=0,x+3z=0,所求距离为d=n-Df3W如图建立坐标系，则台(0,25,3),B(0,2WO),(-1,O,3),Z1=(0,22,3),DB=(0,22,0),M=(-1,0,3).设平面4切的法向量为A

9、=(x,y,z),所以所以n=(3,0,1).学习效果课堂评估夯基础课堂知识检测小结问题点评1 .己知力(0,0,2),6(1,0,2),C(0,2,0),则点、到直线比的距离为()A.平B.1C.2D,22UAV4(0,0,2),8(1,0,2),AO,2,0),=(1,0,0),=(-1,2,-2),，点力到直线比的距离为2 .若三棱锥足力比的三条侧棱两两垂直，且满足为=Q1则点到平面力8。的距离是()K亚B亚63C.坐D.平OOD分别以必，PB,/个所在直线为X轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系，则4(1,0,0),8(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面力比的一个法向量为A=(1

10、,1,1),则=坐na3 .两平行平面a,4分别经过坐标原点。和点力(2,1,1),且两平面的一个法向量=(-1,0,1),则两平面间的距离是()A.IB.乎C.3D.32BY两平行平面%分别经过坐标原点。和点4(2,1,1),OA=1,1),且两平面的一个法向量A=(1,0,1),两平面间的距离公=-2J+1=坐.故选B.4 .棱长为1的正方体力仅D48G中，MN分别是线段隔，8G的中点，则直线J邠到平面ACDi的距离为.乎如图，以点。为坐标原点，DAtDC,M所在直线分别为*轴，y轴，N轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0),C(0,1,0),(0,0,1),1,1,j,4(1,0,0),

11、.(,1,B),AC=i1,0),拓=(-1,0,1).设平面力外的法向量为=(X,ytz),nAC=Q,nADi=O,-+y=O,1-x+z=O.令x=1,则y=z=1,=(1,1,1).点加到平面ACD1的距离d=；-=乎.又而幺;法，故掰V平面D,故直线.郴到平面力切的距离为平.I1晓/GD缭IB回顾本节知识，自主完成以下问题：1 .用空间向量求点到直线的距离的方法是什么？提示已知直线/的单位方向向量为，是直线/上的定点，尸是直线/外一点，则点P到直线/的距离为Map2-apif.2 .用空间向量求点到平面的距离的方法是什么？提示已知平面a的法向量为，力是平面a内的定点，P是平面a外一点，则点尸到平面。的距离是空三.3 .如何用空间向量求直线和平面、平面和平面的距离？提示先证明直线和平面平行，平面和平面平行，然后把所求距离转化为点到平面的距离，最后利用点到平面的距离公式求解.