2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 1-2-2 空间中的平面与空间向量 学案.docx

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1、1.2.2空间中的平面与空间向量新课程标准解读核心素养1.理解平面的法向量数学抽象2.能用向量语言表述线面、面面的垂直、平行关系数学运算3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)逻辑推理R读I教I材知识梳理,以本为本抓双基我情境导入牌楼，与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉J离等几种，多设于要道口.牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大.如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线/与柱子所在的直线垂直，我们就能知道下边线/与地面平行.问题(1)柱子所在直线的方向向量是否可认为是地

2、面。的法向量？(2)能否用空间向量表示这线面位置关系？R新知初探知识点一平面的法向量定义：如果。是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面垂直，则称n为平面的一个法向量，记作W.二心占一*占1S八、八，、平面法向量的性质(1)如果直线/垂直平面,则直线/的任意一个方向向量都是平面a的一个法向量；(2)如果n是平面的一个法向量，则对任意的实数/1WO,空间向量；J1也是平而。的一个法向量，而且平而a的任意两个法向量都平行；(3)如果n为平面的一个法向量，4为平面上一个已知的点，则对于平面上任意一点8,向量AB一定与向量n垂直，即ABn=0,从而可知平面的位置

3、可由n和A唯一确定.知识点二空间平行、垂直关系的向量表示1 .直线与平面位置关系的判断如果V是直线/的一个方向向量，n是平面。的一个法向量，则：n/v如/_1。；nv/a、或/U.2 .平面与平面位置关系的判断如果n是平面a的一个法向量，m是平面s的一个法向量，则：nJr2台。n20。1。2，或Q1与。2重合.给想一想已知V是直线/的一个方向向量，n是平面的一个法向量，如果n_1v,那么直线/一定与平面平行吗？提示：不一定.也可能/U.知识点三三垂线定理及其逆定理1 .三垂线定理如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.2 .三垂线定理的逆定理如果平面内的

4、一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.口想一想1 .定理中的已知直线是已知平面内的直线吗？提示：一定是.2 .若直线/是平面。外的一条直线，直线加垂直于/在平面a内的投影，/与加垂直吗？提示：不一定.若直线机在平面。外，例如m_1a,尽管/垂直于直线/在平面a内的投影，也不能得出山每做一做1.设平面的法向量为(1,2,-2),平面夕的法向量为(一2,-4,),若夕，则2等于()A. 2B.-4C.4D.-2答案：C2.若直线/的方向向量a=(1,0,2),平面Q的法向量为n=(-2,0,-4),则()A.I/aC.IUaB. aD./与斜交答案：B3.(多选)

5、如图PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A,8的任一点，则下列关系正确的是()A. PA1BCB. 8CJ_平面以CC. AC1PBD. PC1BC解析：ABD由题意有，平面A8。，:Beu平面ABCfBA1BC,故A对；VAC1BC,且%GAC=4,必，ACU平面南C,，8C_1平面必C,故B对；由ACj_BC,有三垂线定理可得BCJ1P。，故D对；若AC_1P8,因为ACJ_BC,可得AeJ_平面P8C,则AC_1PC,与已知矛盾，故C错.在研I题理典例精析学用结合通技法-题型一平面法向量的求法【例1】如图所示，已知四边形A8CO是直角梯形，AD/BC,ZABC=9O0,SA

6、J平面ABCDtSA=AB=BC=,D=,试建立适当的坐标系.(1)求平面ABCD的一个法向量;(2)求平面SAB的一个法向量；(3)求平面SCD的一个法向量.解以点A为原点，AO,AB,AS所在的直线分别为X轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),8(0,1,0),C(1,1,0),段0,0),S(0,0,1).(1).SA1平面A8CZ：.AS=(0,0,1)是平面ABa)的一个法向量.(2)VADAB,AD1SAt.AO_1平面S48,/.AD0,0)是平面SAB的一个法向量.(3)在平面SCQ中，D?=(j,1,0),SC？=(1,1,-1).nDC=0,设平

7、面SCO的法向量是n=,y,z),则11_1衣n7s?,5_)SC=0,x+yz=0,x=-2yts=-y,令y=-1,则z=1,x=2,n=(2,-I,1).n=(2,11)是平面SC。的一个法向量.I通性通法I。跟踪训练过空间三点41,A. (1,1,1)C.(1,0,1)利用待定系数法求法向量的步骤1,0),B(1,0,1),C(0,1,1)的平面的一个法向量是()B. (1,1,-1)D.(-1,0,1)解析：AAB=(0,AC=(10,1).设平面的法向量为a=(x,ytz).由A,z=0,题意知8,AB=0,aAC=0,所以彳解得，-+z=0,JC=Z令z=1,得平面的一个法向b=

8、z,量是(1,1,1).故选A.题型二利用法向量证明空间中的位置关系【例2】如图所示，在正方体ABCD-ABQA中，E,F,M分别为棱B8,CD,AA的中点.证明:(I)GM平面AOE；(2)平面4。EJ_平面AiDiF.证明(1)以。为原点，向量万T,D?,丽的方向分别为X轴，y轴，Z轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1.则O(0,0,0),A(1,0,0),(1,1,3，C1(O,1,1),O,),DA=(,0,O),DE=Q,1,3，G.=(1,1一).设平面AoE的法向量为m=(,b,c),m1)A=0,叫一(mDE=O4=0,+b+c=O.令c=2,得m=(0,-1,2),V

9、mCM?=(O,-1,2乂1,-1,一)=0+11=0,Cm.又GMQ平面ADE,GM平面ADE(2)由(O,0,1),A1(1,0,1),0,0),得而=(1,0,0),万?=(0,-1),设平面A1。IF的法向量为n=,y,Z),nD=O,卜=6则_nF=O2y-z=0令y=2,则n=(0,2,1).Vmn=(0,-1,2)(0,2,1)=0-2+2=0,.111_1_11.平面人。七，平面ADF.鼠母题探究1.(变设问)本例条件不变，试求直线。化的一个方向向量和平面EFM的一个法向量.解：如例题建系定坐标，01(0,0,1),U八令X1=1,则z=-2.Iy1=0，平面EFM的一个法向量

10、为(1,0,-2).2.(变条件，变设问)在本例中设D1B1的中点为N,其他条件不变.试证：ENJ_平面BiAC.证明：如例题建系，(1,，万定=(1,1,-J,即直线D1E的一个方向向量.设平面EFM的法向量为n=(x,y,Zi),1,0),.,司=(一1,-1,一),W=(0,-1,0),EF=0,由，_即11),AC=(-1,1,0),eb=o,eA？k=0,EA,E4?,即EM14田，EA11AC.又AB1nAC=4,，ENJ1平面1AC.I通性通法I利用向量法证明空间线面位置关系的思路(1)线面平行：设直线/的方向向量是a,平面Q的法向量是u,则要证明/0,只需证明au,即au=0;

11、(2)面面平行：若能求出平而,的法向量U,V,则要证明a人只需证明uv：(3)线面垂直：设直线/的方向向量为a,平面Q的法向量为U,则要证明/_1a,只需证明au即可;(4)面面垂直：证明两平面的法向量垂直；证明一个平面的法向量平行于另一个平面.0.跟踪训练如图，在四棱锥P-ABCo中，平面物_!_平面ABC。，E为40的葭中点，EA1AD,BE/CD,BE1AD,PA=AE=BE=IfCD=1(1)求证：平面布平面PCxD(2)在线段PE上是否存在点M,使得OM平面PBC?若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由.解：(1)证明：由已知平面以O_1平面A8CZPA1ADy且平面以。平面AB

12、CD=AD,所以以_1平面A8CZ),又因为CoU平面A8CD,所以附_1CD,又由BE1A。，且BECD,所以CO140,所以CD_1平面D,因为CoU平面PC。，所以平面用Oj_平面PCO.(2)以E为原点，以前，定的方向分别为X轴，y轴的正方向，过E垂直于平面ABC。的直线为Z抽，建立如图所示的空间直角弋、坐标系E-Xyz,AS、-令则点E(0,0,0),P(0,-2,2),A(0,一2,0),3(2,O,O),C(1,2,0),0(0,2,O).X所以”=(2,2,-2),BC=(-1,2,0).nPB=0,fxy-z=0,设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),所以I即二八n.B?

13、=O,_x+2),=0.令y=1,可得x=2,z=3t所以n=(2,1,3),“线段PE上存在点M,使得OM平面PBC等价于碗n=0”.因为M=(0,2,-2),设港=/7?=(0,24,-2),40,11，则M(0,2A2t2-2)fDM=(Of2A-4,2-2；).所以万法n=22-4+6-6A=0,解得2=/所以线段PE上存在点M,即PE中点，使得OM平面PBC题型三三垂线定理及逆定理的应用【例3】在正方体A8CQ-Ai8iCQB,P是。Q1的中点，。为底面ABCO的中心.求证：BxO1PA.证明如图，可知PA是平面BBQQ的一条斜线段，B1O是平面BB1DID内的一条线段.由条件可知，

14、AO_1平面BBiDiD,连接PO,则Po为布在平面BB1D1D内的射影.连接B/,设正方体ABCD-A1BCiD的棱长为1,贝BID1=巾,Q1P=DP=g,Qo=堂，BO=*,5。=C=|,PO=坐BQ=零PO2+O2=P2,_1B1o.根据三垂线定理可得囱0_1AP.I通性通法I利用三垂线定理证明垂直的步骤(1)找平面(基准面)及平面的垂线：(2)找射影线(平面上的直线与斜线在平面上的射影线)；(3)证明射影线与直线垂直，从而得线线垂直，更进一步证明线面垂直或面面垂直.团跟踪训练在四面体布8C中，PABC,PB1AC,求证：PC工AB.证明：如图，过P作P”_1平面A8C,连接A”并延长交BC于E,连接3H并延长交AC于EPH上平面ABC,PA1BC,而以在平面ABC内的射影为AH,由三垂线定理