2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 3-3抛物线3-3-1抛物线及其标准方程 学案.docx

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1、3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程学习任务核心素养1 .掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.（重点）2 .会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题.（难点）通过研究抛物线的定义、图形及标准方程，提升数学抽象及数学运算素养.必备知识情境导学探新知情境趣味导学预习素养感知情境与问题:如图，把根直尺固定在画图板内直线1的位置上，截取根绳子的长度等于4C的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点力处，另一端用图钉固定在尸处；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出了一条曲线.图中是条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？知识点

2、1抛物线的定义平面内与一个定点P和一条定直线7（7不经过点Q的距离相笠的点的轨迹叫做抛物线.点叫做抛物线的焦点,直线，叫做抛物线的准线.思考1抛物线的定义中，为什么要加条件1不经过点F?提示当直线1经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线1的一条直线.体验1.（1）若动点尸到点（3,0）的距离和它到直线彳=-3的距离相等，则动点尸的轨迹是（）A.椭圆B.抛物线C.直线D.双曲线(2)平面内到点力(2,3)和直线hx+2y-8=0距离相等的点的轨迹是().直线B.抛物线C.椭圆D.圆(DB(2)A(D由抛物线定义知，动点尸的轨迹是抛物线，故选B.(2)由题意知，直线/经过点4则点的轨迹是过点

3、力且垂直于直线J的一条直线，故选A.知识点2抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y=2z(0)X=_R-2、y1N一ATI=一2后(夕0)后乙)x=5I平左1=20y(jp0)7=2市=一2”(夕0)f思考)2.抛物线方程中0(QO)的几何意义是什么？提示：P(QO)的几何意义是焦点到准线的距离.体验2.思考辨析(正确的打“7”，错误的打“X”)抛物线=-2p(p0)中夕是焦点到准线的距离.方程y=2ay(aW0)表示开口向上的抛物线.(3)抛物线/=)T的准线方程为X=J.()4o答案(2)X(3)X关键能力合作探究释疑难疑难问题解惑学科素养形成类型1求抛物线的标准方程【例1】分别求

4、满足下列条件的抛物线的标准方程.准线方程为2y4=0;(2)过点(3,-4)；(3)焦点在直线+3+15=0上.解(D准线方程为2y+4=0,即y=-2,故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为V=2y(00).又=2,，20=8,故所求抛物线的标准方程为f=8y.(2),点(3,-4)在第四象限，抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为=2px(p0)或y=-2PIy(PI0).把点(3,4)的坐标分别代入/=2PX和/=-2PIy中，得(-4)2=203,3?=16920(4),即2p=,2p=.ozI169 .所求抛物线的标准方程为4=*或=-7.(3)令x=0得y=5；令y=0得x=

5、15. 抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0). .所求抛物线的标准方程为f=-2Oy或/=60.JS思领悟1 .抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出口最后写出标准方程.(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定。的值.2 .求抛物线标准方程时应注意的问题(1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；(2)当抛物线的位置没有确定时，可设方程为了=妙E0)或SW0),这样可以减少讨论不同情况的次数；(3)注意与负的几何意义.跟

6、进训练1.根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；(2)经过点(3,-1)；解(1)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为学=2myS0),由焦点到准线的距离为5,知|加|=5,m=5,所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为V=IOy和x=-10y.点(-3,一D在第三象限,设所求抛物线的标准方程为了=一2磔(夕0)或42=-2.(夕0).若抛物线的标准方程为了=2Rr(P0),则由(-I)?=2pX(3),解得夕=:；Q若抛物线的标准方程为f=-2勿(p0),则由(一3尸=一2夕X(-D,解得=g.所求抛物线的标准方程为/=-或f=-9y.口类

7、型2抛物线定义的应用【例2】(1)已知抛物线C:=x的焦点为E(即，M)是C上一点，I=T,则先等于()A.1B.2C.4D.8(2)已知点F是抛物线/=2X上的一个动点，求点尸到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.15(I)A由题意知抛物线的准线为X=-.因为|力|=W刘，根据抛物线的定义可得施15+-=AF=O，解得刘=1故选A.(2)解由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知，点尸，点(0,2)和抛物线的焦点，0)三点共线时距离之和最小，7TV近所以最小距离d=,0_J+(2_0)2=2-母题探究若将本例中的点(0,2)改为点4(3,2

8、),求阳+%的最小值.解将X=3代入y=2x,得y=6.所以点/1在抛物线内部.设点尸为其上一点，点尸到准线(设为力*=一,的距离为4则I必-PF=PA+d.7由图可知，当用_11时，I阳+d最小，最小值是17即I+/的最小值是QJS思领悟X抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.跟进训练2. (1)设点力的坐标为(1,五)，点尸在抛物

9、线=8x上移动，夕到直线=-1的距离为小则+四I的最小值为()A.1B.2C.3D.4(2)若点夕到点用4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则尸点的轨迹方程是().=-16B.y=32xC./=16XD./=32X(3)抛物线y=4?上的一点时到焦点的距离为1则点的纵坐标是15(DC(2)C(3)(1)由题意知抛物线4=8X的焦点为6(2,0),点Q到准线X=一Ib2的距离为d+1,于是IM=d+1所以d+川=|杼|一1+1处I的最小值为|初一1=4-1=3.(2)由题意知点到点尸(4,0)和直线X=-4的距离相等.所以0点的轨迹是以尸为焦点，以直线X=-4为准线的抛物线，又0=8,

10、则点的轨迹方程为4=16无故选C.(3)抛物线的标准方程为V=%,其准线方程为产=一白.设(o,，则有%+2=1,4IbIb15解得口类型3抛物线的实际应用【例3】(对接教材P例题)河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？尝试与发现实际问题与抛物线有关，联系抛物线标准方程的坐标原点及坐标轴的位置，请思考如何建立平面直角坐标系？解如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为夕=一2”(00),由题意，将6(4,-当船的两侧和拱桥接触时船不能通航,设此时船面宽为44,则力(2,

11、M),u216#I5由2=一彳,得/.)=-又知船露出水面上部分为:米，设水面与抛物线拱顶相距为力，则力=1%1+w=2(米),即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航.JS思领悟求解抛物线实际应用题的步骤跟进训练3.某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米.现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1OOO吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米.若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？解如图所示，以拱

12、顶为原点，过拱顶的水平直线为X轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系.因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以加10,-2).设桥孔上部抛物线方程是=-2p(p0),则1()2=-2pX(2),所以0=25,所以抛物线方程为V=-50%若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x=8时，y=-782=-1.28,Ov即船体在X=8之间通过点4(8,1.28),此时8点距水面6(-1.28)=4.72(米).而船体高为5米，所以无法通行.又因为5-4.72=0.28(米)，0.280.04=7,150X7=1050(吨),所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1050吨，而船最多还能装1000吨货物，所

13、以货船在现有状况下不能通过桥孔.小结问题点评学习效果课堂评估夯基础课堂知识检测31 .准线为尸一7的抛物线的标准方程是()A.Z=3yB.y=xC.X=3/D.X=-yQA准线是/=一彳的抛物线的标准方程是f=3y,故选A.2.若直线/过抛物线/=8X的焦点，与抛物线相交于儿4两点，且M8=16,则线段49的中点尸到y轴的距离为()A.6B.8C.10D.12A设力(小，y),B(x2fy-z),根据抛物线的定义可得，xx2p=16.Vy2=8x,p=4,然=6,J线段力8的中点尸到y轴的距离为6.故选A.3.若点Pay)到点NO,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P(x,y)的轨迹

14、方程为()A.y=8xB.y=-8xC.x=8yD.x=8yC依题意得点P(x,力到点尸(0,2)的距离与它到直线y+2=0的距离相等，并且点No,2)不在直线y+2=0上，所以点尸的轨迹是抛物线，并且/是焦点，y+2=0是准线，于是抛物线方程为f=8y.4.如图是抛物线形拱桥，当水面在/时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽米.I111II.：,I1f110)上有一点机其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,则点J/的坐标为.(-9,6)或(一9,-6)由抛物线方程产=-2后(夕0),得其焦点坐标为一50),准线方程为X=早设点加到准线的距离为M则d=M=10,BPf-(-9)=10,得0=2,故抛物线方程为了=一.由点