2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 2-4圆的方程2-4-1圆的标准方程 学案.docx

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1、2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程学习任务核心素养1 .会用定义推导圆的标准方程，掌握圆的标准方程的特点.(重点)2 .会根据已知条件求圆的标准方程.(重点、难点)3 .能准确判断点与圆的位置关系.(易错点)通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.必备知识情境导学探新知情境趣味导学预习素养感知情境与问题:在平面几何的学习中，我们已经认识到圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合(或轨迹)，其中定点是圆心，定长就是半径.在平面直角坐标系中，如何把圆的问题转化为数和方程的问题，用代数运算来求解呢？知识点1圆的标准方程思考)方程(+Cr)?=疗一定是圆的方程吗？若方程

2、表示圆，勿满足什么条件？此时圆的圆心和半径分别是什么？提示当卬=O时，方程J+a)2+(y+6)2=加2表示点(一搭一.当初WO时，方程表示圆，此时圆的圆心为(一a,6),半径为|加.体验1.圆心为(1,-2),半径为3的圆的方程是().(a+1)2+(-2)2=9B. (xI)2+(y+2)2=3C. (+I)2+(y2)2=3D.(-1)2+(y+2)2=9D由圆的标准方程得，圆的方程是(-1)2+(y+2)2=9,故选D.知识点2点与圆的位置关系圆G(Xci)-(y6)i=?(r0),其圆心为C(a,6),半径为八点P(X0,为)，设d=IPC=yjxo-ajo-Z?.位置关系d与r的大

3、小点尸的坐标的特点点在圆外dr(刖一a)i+(八-6)。点在圆上d=r(照-a)”+(M1尸=力点在圆内CKr(照-a)2+(M)-8)2卢体验他.点P(2,2)和圆V+=4的位置关系是()A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上都不对BV(-2)2(-2)2=84,点产(一2,一2)在圆外，故选B.关健能力合作探究释疑难疑难问题解惑学科素养形成I1类型1求圆的标准方程【例1】(对接教材P84例题)已知圆过点力(1-2),-1,4).(1)求周长最小的圆的标准方程；(2)求圆心在直线2-y-4=0上的圆的标准方程.解(D当线段/切为圆的直径时，过点48的圆的半径最小，从而周长最小，即所求圆以线段

4、仍的中点(0,1)为圆心，I48|=，行为半径.故所求圆的标准方程为V+(j-)2=o.4-B-21(2)法一：直线AB的斜率k=-=-3,则线段/1夕的垂直平分线的方程是y-=-x,-1-13即-3y+3=0.x3y+3=0,a=3,由C,八解得C即圆心的坐标是(3,2).所以圆的半径r=2-y-4=0Iy=2,3-12+222=25.所以所求圆的标准方程是3)2+(y-2)2=20.法二：设圆心坐标为(a,垃,半径为以心0),则圆的标准方程为(*-a)2+(y-b)2=,1a242-t)=?,由题意得I-1-a+4-2=?,、2aZ?4=0,%=3,解得b=2,/=20.所以所求圆的标准方

5、程是(x3)2+(y-2)2=20.厂JS思领悟求圆的标准方程的方法确定圆的标准方程只需确定圆心和半径八其求解方法：一是几何法，常用到中点坐标公式,两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线交点必为圆心等；“二是待定系数法，由三个独立的条件建立关于a,bfr的方程组，进而求得圆的方程，它是求圆的方程的常用方法.跟进训练1 .求满足下列条件的圆的标准方程.圆心在y轴上，半径长为5,且过点(3,-4)；。比的三个顶点的坐标分别为4(1,0),8(3,0),C(3,4),求的外接圆方程.解(D设圆心。(0,6),则(30)/+(46)2=52,整理得(6+4)2

6、=16,解得6=0或方=一8.圆的标准方程为x2+y=25或?+(y+8)2=25.(2)法一：(待定系数法)设所求圆的标准方程为a)2+(y-2=?,7=2,解得(b=2,、=乖,1a2+Z?2=r,则13aZ?2=rf(3a2+4-Z?2=?,所以外接圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5.法二：(几何法)易知4町是直角三角形，Z=90o,所以圆心是斜边力C的中点(2,2),半径是斜边长的一半，即T=乖,所以外接圆的方程为(-2)2+(7-2)2=5.I1类型2点与圆的位置关系例2点PE)与圆f+=24的位置关系是()A.点尸在圆内B.点尸在圆外D.不确定C.点夕在圆上(2)已知点M(5

7、Z+1,Z)在圆(-1)2+=26的内部，则H的取值范围为(DB(2)0,1)(1)由()2+52=+2524,得点尸在圆外.(2)由题意知彳r2厂25a11a26,26水26,解得OW水1厂试总结点与圆的位置关系的判断方法.提示(1)几何法：判断点到圆心的距离与半径的大小；(2)代数法：将点的坐标代入圆的方程左边，判断与了的大小.跟进训练2.己知点前1,2)和圆G(X-a)2+(y+a)2=2/试分别求满足下列条件的实数&的取值范围：(1)点力在圆的内部；(2)点力在圆上；(3)点力在圆的外部.解(D因为点力在圆的内部，所以(1一力?+(2+a)22/，且a不为0,解得於一2.5且aW0.一

8、学习效果,课堂评估夯基础,*课堂知识检测小结问题点评1 .若某圆的标准方程为(-1+(y+5)2=3,则此圆的圆心和半径长分别为()A.(-1,5),3B.(1,-5),3C.(-1,5),3D.(1,-5),3B由圆的标准方程知，圆心坐标为(1,-5),半径/,=/,故选B.2 .圆心为(1,1),且过原点的圆的标准方程是()A. (X1)2(yD2=IB. (A+1)2+(y+1)2=1C. (x+1)?+(y+1)2=2D. (a1)2+(y-1)2=2D由圆过原点知r=1-O+10=，5,故所求圆的方程为51)2+(y1)2=2,选D.3 .点尸(1,3)与圆+y=24的位置关系是()A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不确定B由+3、24知，点(1,3)在圆内，故选B.4 .与圆(-2+(y+3)2=6同心且过点P(1,1)的圆的方程是.-2)2+(y3)2=25设圆的方程为5-2)2+(y+3)2=落由点尸(-1,1)在圆上得:=(一1-2)2+(1+3)2=25,所以所求圆的方程为(-2)2+(y+3)2=25.5 .若点P(5a+1,12a)在圆(*-1)2+/=1的外部，则a的取值范围为.(-8,-)u(+8)因为点尸在圆外，所以(5a+1-1尸+(12血2,解得或ar2;点户在圆上O(XDa)?+(y0-Z?)2=/:点户在圆内0(刖-a)+(Jb/O/.