2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 1-4空间向量的应用1-4-1用空间向量研究直线平面的位置关系第1课时空间中点直线和平面的向量表示 学案.docx

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1、1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时空间中点、直线和平面的向量表示核心素养必备知识,情境导学探新知学习任务1 .能用向量语言描述直线和平面.(难点)2 .理解直线的方向向量与平面的法向量.(重点)3 .会求一个平面的法向量.(重点)1 .通过空间中点、直线和平面的向量表示的学习，培养直观想象和逻辑推理素养.2 .通过直线的方向向量和平面的法向量的学习，提升数学运算的核心素养.情境趣味导学预习素养感知情境与问题:我们知道，立体几何研究的基本对象是点、直线、平面，以及由它们组成的空间图形，因此用空间向量解决立体几何问题时，首先需要把点、直线、平面用向量分别表示出来.容易想到：在空间

2、中取一个定点0,那么空间中任意一点P的位置就可以用向量而来表示，向量而就是点P的位置向量.那么如何用向量方法描述空间的一条直线、一个平面呢？知识点1空间中点的位置向量如图，在空间中，我们取一定点0作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量而来表示.我们把向量OP称为点P的位置向量.体验)1.在空间直角坐标系OXyZ中，点A(1,2,3)的位置向量是.OA=(1,2,3)位置向量丞=(1,2,3).知识点2空间直线的向量表示式(1)如图，&是直线/的方向向量，在直线，上取而=,设尸是直线/上的任意一点,则点P在直线/上的充要条件是存在实数3使得万-S,即而=E通如图，取定空间中的任意一点0,点尸

3、在直线/上的充要条件是存在实数3使5+四，或港=而+屈.式和式都称为空间直线的向量表示式.“图图(2)空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.思考机.根据空间直线的向量表达式注5+f嬴线段力8的中点M的向量表达式是什么？提示Of=OA-rAB.体验伏2.思考辨析(正确的打错误的打“X”)(1)零向量不能作为直线的方向向量.()(2)若向量y是直线J的方向向量，则4武九O)也是直线/的方向向量.()(3)直线/的方向向量都平行，且方向相同.()答案(2)(3)X知识点3空间平面的向量表示式(1)空间平面力欧的向量表示式如图，取定空间任意一点0,空间一点尸位于平面力比内的充要条件是存在实

4、数Xy,使苏=总+彳耘+疝7.我们把这个式子称为空间平面力优的向量表示式,由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.z7(2)平面的法向量与平面的向量表示式如图，直线A1。，取直线/的方向向量a我们称向量a为平面a的法向量.给定一个点力和一个向量a，那么过点4且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合*-耘=0.思考2.如果为平面a的一个法向量，Af6为平面a内的两点，则与力贿什么关系？提示n1AB,即腑=0.体验3.思考辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)(1)平面的所有法向量都平行，且同向.()(2)若是平面a的一个法向量，则4zz(4R)也是平面a的一个法向量.

5、()(3)向量/=(1,0,0)是坐标平面Qyz的一个法向量.()提示(I)X法向量也可能方向相反.(2) 当4=0时，久=0,不能作为平面的法向量.(3) X轴垂直于坐标平面Oyz.关键能力合作探究释疑难疑难问题解惑学科素养形成口类型1直线的方向向量【例1】(1)已知直线1的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线1过4(0,y,3)和庾一KB两OA.2,3D.3-2C.在如图所示的坐标系中，ABeDABGR为正方怵,棱长为1,则直线4的一个方向向量为，直线式；的一个方向向量为(I)A(2)(0,0,1)(0,1,1)(答案不唯一)(1)VJ(0,yt3)和6(1,2,z)fAB=(-1,2

6、，z-3),Y直线/的一个方向向量为面=(2,-1,3),故设AB=ka,*.-=2k,2-y=-kfz3=3A.13解得力=一亍=z=5.yz=0.(2)9JDIAAAAi=(0,0,1),.直线加的一个方向向量为(0,0,1)；BCJ/AIXf力=(0,1,1),故直线阅的一个方向向量为(0,1,1).侬现规律直线的方向向量如何确定？提示，是空间一直线，AfB是/上任意两点，则遍及与防平行的非零向量均为直线/的方向向量.跟进训练1. (1)(多选题)若以1,0,1),M2,1,2)在直线/上,则直线/的一个方向向量是()A.(2,2,6)B.(1,1,3)C.(3,1,1)D.(-3,0,

7、1)(2)从点4(2,1,7)沿向量&=(8,9,12)的方向取线段长I葩I=34,则8点的坐标为()A.(18,17,-17)B.(-14,-19,17)(I)AB(2)A(I)：%在直线，上,=(b1,3),故向量(1,1,3),(2,2,6)都是直线/的一个方向向量.设8点坐标为(人切z),则;=4a(40),即(才一2,y+1,z-1)=(8,9,一12),因为I丽=34,即、/64久z+81久+14442=34,得4:2,所以x=18,y=17,z=-7.I1类型2求平面的法向量【例2】(对接教材P28例题)如图，在四棱锥八四切中，底面力腼为矩形，用_1平面力阅9,E为阳的中点.AB

8、=AP=1AD=,试建立恰当的空间直角坐标系，求平面力四的一个法向量.解因为B11平面相应，底面/1四为矩形,所以/18,AD,力尸两两垂直.如图，以力为坐标原点，AB,ADi赤的方向分别为X轴，y轴，Z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则(0,0),尸(O,0,1),d0,。(1,小，0),于是4F=(,jb=(1,3,0).设A=(x,ytZ)为平面47?的法向量,nAC=O,nAE=O,令/=-1,则X=Z=4.所以平面42的一个法向量为=(5,-1,3).母题探究本例条件不变，试求直线修的一个方向向量和平面尸切的一个法向量？解如图所示，建立空间直角坐标系，则MO,0,1),C(1,3,0

9、),所以丘=(1,3,-1),即直线/T的一个方向向量为(1,3,-1).设平面尸C的法向量为A=(X，八z).因为(0,3,0),所以砺=(0,3,-1).nPC=Q,由,荡=0,即产一ay3y-z=0fx=0t所以V令尸1,贝Jz=iN=小y,所以平面R6的一个法向量为(0,1,3).辰I思领悟求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为=3,HZ).(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量通AC.，nAff=O,(3)列方程组：由J_列出方程组.nAC=O(4)解方程组:nAB=OtnAC=O.(5)赋非零值：取必y,Z其中一个为非零值(常取1).(6)得结论：得到平面的一个法向量.

10、跟进训练2.如图所示，已知空间直角坐标系中的三棱锥G4%中,0(0,0,0),4(a,0,0),5(0,0),t,c)f其中aA0,求平面4%的一个法向量.解由已知可得AB=OB-OA=(0,b,O)-(a,0,0)=(&b,0),AC=OC-OA=(0,0,c)-(a,0,0)=(-a,0,c).设平面力比的一个法向量为A=(右y,z),则nAB=a-by=0,nAC=-a-cz=0,将X看成常数，可解得y=*,z=x令X=be,则尸z=ab.因此，n=(be,acfab)为平面4761的一个法向量.学习效果课堂评估夯基础课堂知识检测小结问题点评1.若加一1,0,1),8(1,4,7)在直线

11、/上，则直线/的一个方向向量为()A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(3,2,1)A因为(2,4,6),所以(1,2,3)是直线/的一个方向向量.2.若=(2,3,1)是平面a的一个法向量，则下列向量中能作为平面a的法向量的是()A.(0,-3,1)B.(2,0,1)C.(2,3,1)D.(2,3,-1)D求与共线的一个向量.易知(2,3,1)=-(-2,3,-1).3.(多选题)在直三棱柱力处46G中，以下向量可以作为平面力比法向量的是()A.ABB.AAiC.BBD.ACBC由平面4%台反1平面48C知，AAtf瓦裾平面/!8C的法向量，故选BC.4 .(2023河

12、北衡水中学单元检测)已知胸的三个顶点的坐标分别为4(2,1,0),夙0,2,3),C(1,1,3),可求出平面/1%的一个法向量为一.(3,3,1)设平面W的法向量为A=(x,必z).因为4(2,1,0),MO,2,3),C(1t1,3),2x+y+3z=0,wU-Z=O-nAB=Qf所以但（一2,1,3）,BC=3-1,0）,则有,J1BC=O,Ar=3z,得令z=1,则x=y=3.故平面/1回的一个法向量为A=(3,3,1).X=y.5 .已知平面经过点0(0,0,0),且6=(1,2,3)是。的一个法向量，(x,y,Z)是平面a内任意一点，则y,Z满足的关系式是.x+2y_3z=0由题意得则Ve=(x,y,z)(1,2,3)=0,故x2j-3z=0.1晓凰QB囹F回顾本节知识，自主完成以下问题：1 .如何求直线/的方向向量？提示1在直线1或与直线1平行的直线上取两点4B,则防或砺就是直线1的方向向量.2 .平面的法向量有无数个，它们是什么关系？提示共线.3 .如何求一个平面的法向量？提示设法向量=(*,yz)；在已知平面内找两个不共线向量6=(a，a2ta)，b=也,b,幻；建立方程组na=aix+ay+&z=O,nbbx+biy-biz=O；解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量.