2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 2-1直线的倾斜角与斜率2-1-1倾斜角与斜率 学案.docx

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1、2.1 直线的倾斜角与斜率2.1.1 倾斜角与斜率学习任务1 .理解直线的斜率和倾斜角的概念.(重点)2 .理解直线的方向向量和向量坐标表示.(重点)3 .掌握过两点的直线斜率的计算公式，会应用斜率公式求直线的斜率.(难点)1,通过倾斜角概念的学习，提升数学抽象的数学素养.4 .通过斜率和直线方向向量的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养.必备知识情境导学探新知情境趣味导学预习素养感知情境与问题由初中的平面几何知识，我们知道两点确定,条直线；由必修教材的课程中的平面向量知识,我们知道一个点与一个方向也可以确定一条直线.那么，怎样用代数方法刻画直线呢？知识点1倾斜角的相关概念(1)倾斜角的定义

2、当直线/与*轴相交时，以X轴为基准，X轴正向与直线/向上的方向之间所成的角a叫做直线/的倾斜角.(2)倾斜角的范围当直线1与X轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0,因此直线的倾斜角4的取值范围为。Wo1.任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？提示一由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的.体验机.思考辨析(正确的打“，错误的打X”)(1)与X轴垂直的直线，其倾斜角为90.()(2)与才轴平行的直线，其倾斜角不存在.()核心素养(3)不存在倾斜角相同的直线.答案(2)X(3)X知识点2直线的斜率(1)把一条宜线的

3、倾斜角的正圾值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母A表示，即k=tana.(2)过两点的直线的斜率公式过两点4(小，)月(照，%)(汨打照)的直线的斜率公式为k=X，_.XzX思考班2.当直线的倾斜角由0逐渐增大到180时，其斜率如何变化？提示：当倾斜角为锐角时，其斜率为正值，而且斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为钝角时，其斜率为负值，斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为90时，直线的斜率不存在.提醒所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率.当直线的倾斜角是90时，直线的斜率不存在，但并不是该直线不存在，此时直线垂直于X轴(或平行于y轴或与y轴重合).体验2.思考辨析(正确的打“7

4、”，错误的打“X”)(1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应.()(2)若直线的倾斜角为。，则必有斜率与之对应.()(3)与y轴垂直的直线的斜率为0.()(4)与X轴垂直的直线的斜率不存在.()答案(1)(2)(3)(4)知识点3直线的斜率与方向向量的关系(1)若直线/的斜率为h则直线，的一个方向向量的坐标为也.(2)若直线/的一个方向向量的坐标为(筋尸)，则直线/的斜率A=，.体验3.若直线/的倾斜角为135。，则直线/的一个方向向量的坐标为.(1,-D直线，的斜率在=tan135=-1,则直线/的一个方向向量的坐标为(1-1).关键能力合作探究释疑难疑难问题解惑学科素养;B.60D.6

5、0或120I1类型1直线的倾斜角【例1(D若直线/向上的方向与y轴的正方向成30角，则直线/的倾斜角为()A.30C.30或150(2)(多选题)设直线/过坐标原点，它的倾斜角为明如果将/绕坐标原点按逆时针方向旋转45,得到直线人那么人的倾斜角可能为()A.+45B.-135oD.。一45C.1350-a(I)D(幻AB(1)如图，直线/有两种情况，故/的倾斜角为60或120。.(2)根据题意，画出图形，如图所示.通过图象可知：当0135o,4的倾斜角为+45；当135180o时，人的倾斜角为45+-180=。-135.思领悟X求直线倾斜角的方法及注意点(1)方法：求直线的倾斜角主要根据定义来

6、求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.(2)两点注意：当直线与X轴平行或重合时，倾斜角为0,当直线与*轴垂直时，倾斜角为90.注意直线倾斜角的取值范围是0Wa180.跟进训练1 .(多选题)设直线/与X轴交于点4其倾斜角为a,直线/绕点力顺时针旋转60。后得直线人则直线人的倾斜角可能为()A.+60B.z120oC.7-60D.120o-aBC直线/绕点力顺时针旋转60后得直线,当。260时，直线，的倾斜角为4-60,当0W。60时，直线4的倾斜角为180-(60o-)=120o+.2 .已知直线4的倾斜角1=15o,直线A与人的交点为力，直线1和人向上的方向所成的

7、角为120。，如图，则直线A的倾斜角为135设直线A的倾斜角为心，力和心向上的方向所成的角为120,所以N胡。=120,所以2=120o+1=1350.口类型2直线的斜率和方向向量【例2】(1)(对接教材%例题)过两点4(4,0,双2,一3)的直线的倾斜角是135,则y等于()A.1B.5C.-1D.5(2)己知直线，经过点尸(3,而和点、Q5,-2),直线/的方向向量为(2,4),则直线J的斜率为，实数R的值为.4(I)D(2)2-(I)：过两点月(4,y),8(2,3)的直线的倾斜角是135,H-3.,工_2=tan135=1,解得尸一5,故选D.4m24(2)由直线1的方向向量为(2,4

8、)得，直线1的斜率诟=2,因此=2,解得卬=Z3/773厂思领悟X直线斜率的计算方法(1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在.若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式-三(其中M意进行计算.(2)已知直线/的斜率为，它的一个方向向量的坐标为(心力，则=：.跟进训练3 .已知直线1过点M加+1,/-I),1).当加为何值时，直线/的倾斜角为90?(2)当m为何值时，直线/的斜率是1?解(D的倾斜角为90,即/平行于y轴，所以加+1=2倒得=1.(2)由题意知力+12zs,即必1直线1的斜率k=匚；j=1解得7=ozff+1Z4 .经过水0,3),*(1,0)两点的直线的方向向量为

9、(1,)，求力的值.解直线榔的斜率届=Xr3,直线掰V的方向向量为(1,公，：.k=3.1类型3直线的倾斜角和斜率的综合【例3】已知两点力(-3,4),8(3,2),过点P(1,O)的直线/与线段4?有公共点.(1)求直线，的斜率左的取值范围；(2)求直线，的倾斜角a的取值范围.4020解；如图所示，由题意可知kpA7=1,kp=q=1.-3131(1)要使直线/与线段48有公共点，则4-1或即直线/的斜率力的取值范围是(一8,1U1,+).由题意可知，直线/的倾斜角介于直线内与必的倾斜角之间，又如的倾斜角是45,用的倾斜角是135,所以。的取值范围是45WW135.辰思领悟1 .过定点和线段

10、有交点的直线的斜率的取值范围问题已知一条线段的的端点及线段外一点A求过点尸的直线/与线段有交点的情况下直线/的斜率的取值范围，若直线为，外的斜率均存在，则步骤为：连接为，PBx由4=上二上，求出的，kw结合图形即可写出满足条件的直线1的斜率的取值范围.比;一M2 .直线的倾斜角和斜率的关系直线的斜率也反映了直线相对于X轴的正方向的倾斜程度.当090o时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90VaVI80。时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大.跟进训练5 .已知力(3,3),8(-4,2),f(0,-2).(1)求直线46和力C的斜率；(2)若点在线段固(包括端点)上移动时，求直线49的斜率的变化范

11、围.9319Q解(D由斜率公式可得直线力8的斜率M=f=3直线力C的斜率B=7k=43(U351R.故直线46的斜率为直线4C的斜率为鼻.OI13(2)如图所示，当由8运动到。时，直线力的斜率由如增大到屐，所以直线力的斜率的变化范围是学习效果课堂评估夯基础课堂知识检测小结问题点评1 .(多选题)下列说法正确的是().若&是直线/的倾斜角，则0180B.若A是直线的斜率，则AWRC.任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D.任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角ABC由直线的倾斜角和斜率的定义知，A、B、C正确，D错误.故选ABC.2 .下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是()A.(4,2)与

12、(一4,1)B.(0,3)与(3,0)C.(3,1)与(2,1)D.(2,2)与(-2,5)DD项，因为小=加=-2,所以直线垂直于X轴，倾斜角为90,斜率不存在.3 .过点4(一小,5)与点6(一啦，5)的直线的倾斜角为()A.45B.135C.45或135D.60AA仍=4七=*=1，故直线的倾斜角为454 .已知直线，的方向向量的坐标为(1,3),则直线1的倾斜角为.60因为直线/的方向向量的坐标为(1,3),所以直线/的倾斜角。的正切值tan=5,又W0,180o),=60.5 .经过4(m,3),8(1,2)两点的直线的倾斜角4的取值范围是.(其中勿21)O00,0o90.故090.

13、m1回顾本节知识，自主完成以下问题：1 .直线的倾斜角是如何定义的？其取值范围是什么？提示当直线，与X轴相交时，以X轴为基准，X轴正向与直线/向上的方向之间所成的角。叫做直线/的倾斜角.当直线/与X轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0,因此，直线的倾斜角的取值范围是0180o.2 .直线的斜率是如何定义的？直线经过两点月（小，力），E（X2,角）（mX2）的斜率公式是什么？提示把一条直线的倾斜角/90）的正切值叫做这条直线的斜率，倾斜角是90的直线没有斜率.直线经过两点R（小，y1）,Aa2,度）的斜率公式是X?X3 .直线的斜率和直线的方向向量有怎样的关系？提示若直线的斜率为匕则=（1,4）是其方向向量.反之若直线的方向向量A=（X,力，贝IJ斜率女=（x0）.