2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 3-2双曲线3-2-1双曲线及其标准方程 学案.docx

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1、3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程学习任务核心素养必备知识情境导学探新知情境趣味导学预习索东感知1 .理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.（重点）2 .掌握双曲线的标准方程及其求法.（重点）3 .会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.（难点）1 .通过双曲线概念的学习，培养数学抽象素养.2 .通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升数学运算、逻辑推理及数学抽象素养.情境与问题:做下面一个试验.（1）取一条拉链，拉开一部分.（2）在拉开的两边各选择一点，分别固定在点E上.（3）把笔尖放在处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线.试观察这是一条什么样的曲线

2、？点时在运动过程中满足什么几何条件？知识点1双曲线的定义文字语言平面内与两个定点凡A的距离的差的绝对值等于非零常数（小于IAKI）的点的轨迹符号语言I1依|一|阳I1=常数（常数V1EE1）焦点定点也焦距两焦点间的距离思考E1(1)双曲线定义中,将“小于IEE1”改为“等于IE1”或“大于IEEI”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？双曲线的定义中，R,“分别为双曲线的左、右焦点，若奶一”问=2a(常数)，且2水出用,则点财的轨迹是什么？提示(1)当距离之差的绝对值等于I内用时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F,F2,当距离之差的绝对值大于IE用时，动点的轨迹不存在.(2)双曲线的右支.体

3、验阴.已知平面上定点,及动点解命题甲：II/附一I欣II=2aQ为常数)，命题乙：点的轨迹是以,A为焦点的双曲线，则甲是乙的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)平面内到点A(6,0)的距离减去到点内(一6,0)的距离之差等于12的点的集合是()A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线(I)B(2)D(1)根据双曲线的定义知甲nb乙，乙=甲，因此甲是乙的必要条件，故选B.设动点为上则1阳IT用I=12=I用引，点尸的轨迹为以K为端点的一条射线，故选D.知识点2双曲线的标准方程焦点位置焦点在X轴上焦点在y轴上Pf/yW图形T/1,司qgX小标准方程22-

4、=1(a0,0)ab22焦点坐标E(-g0),E(GO)(0,一。)，(0,C)a,b,c的关系di=iJf思考2.如何根据双曲线的标准方程判断焦点所在的坐标轴？提示一双曲线的焦点在X轴上O标准方程中f项的系数为正；双曲线的焦点在y轴上分标准方程中4项的系数为正，即“焦点跟着正的跑”.这是判断双曲线焦点所在坐标轴的重要方法.rV体验,2若双曲线方程为正一药=1,则其焦点在一轴上，焦点坐标为(2)已知a=5,c=10,焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为.v1(I)X(6,0)和(-6,0)(2)-=1KD因为方程中V的系数770,所以焦点在XZb/DIb轴上，且，=16,Z=20,从而2=16+

5、20=36,c=6,故焦点坐标为(6,0)和(一6,0).(2)由己知得炉=023=75,于是双曲线方程为一=1ZO/0一关键能力.合作探究释疑难B疑难问题解惑学科素养;I1类型I双曲线定义的应用Xy【例1】若,“是双曲线W-H=I的两个焦点.yio(1)若双曲线上一点时到它的一个焦点的距离等于7,求点,V到另一个焦点的距离.(2)若点夕是双曲线上的一点，且NA质=60,求内S的面积.解(1)由双曲线方程知4=9,2=16,则1=25,；a=3,b=4fe=5.设力组I=7,则根据双曲线的定义知II瓶I-71=6,即|始|一7=土6.解得I姐I=13,或|/I=1又隧=1o,则I姐I=I不合题

6、意，因此，点,犷到另一个焦点的距离为13.(2)由定义和余弦定理得I历I-I月引=6,12=S272-2ffiScos600,所以=(1必一|依|了+|依II阳I，所以I阳I|=64,：S=ffiPFisin/RPAXRPF1=64=163.母题探究(1)若将本例(2)中的N用/=60改为I依-I月引=32,求内心的面积.(2)若将本例(2)中的N&/=60改为I掰I：PF2=2：5,求%的面积.解将I|一|用=2a=6,两边平方得“广+|双|22|阳.7=36,W2+S2=36231=36+2X32=100.在初中，由余弦定理得COSNA正_|明1+|%|2一出322%PM100-100二2

7、|阳II3二0/凡叼=90。，：S=J依I咫I=Jx32=16.RPR由I必：PF2=2：5,7-S=6,可知I作I=IO,I网=4,:S=446=86.内附思领悟双曲线的定义的应用(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离.(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用.J跟进训练221. (1)已知双曲线C的方程是右一去=1,其上下焦点分别是,点.M在双曲线C10NU上，且IJ同=9,则“冏等于()A.17B.1C.17或1D.16或12

8、(2)设,E分别是双曲线P-W=I的左、右焦点，户是双曲线上的一点，且3|用I=4V,则阳内的面积等于()A.42B.83C.24D.48(I)A(2)C(D由双曲线方程知才=16,9=20,则。2=36,a=4,6=2乖，c=6.根据双曲线的定义得I1施I一9|二8,即|施|一9=8,解得I妨2|=17或|施|=1,又IJ依=10),把点/1的坐标代入,10D得匠=一1IX与O,力0),ao1=16+4=20,即:+)=20.,双曲线经过点(3啦，2),中一.=1.由得一=12,=8,.双曲线的标准方程为5=1IZo(3)设双曲线的方程为4f+方=1,力乐0.点R0在双曲线上，,225f19

9、J+-=1,仁一正1B=E等4+25Q1,工双曲线的标准方程为一行=1现规律试总结用待定系数法求双曲线方程的步骤.提示:(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是X轴还是y轴.(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为4f+郎=Ia乐0)；(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值.(4)结论：写出双曲线的标准方程.跟进训练2.(D已知动点到前一5,0)的距离与它到6(5,0)的距离之差等于6,则。点的轨迹方程是()JJC.-=1(r3)yIoD.99_y_9-16=1(心3)(2)焦点在X轴上,经过点尸(4,一2)和点26,22

10、)的双曲线的标准方程为.(I)D(2)-=1(D由题意知I*一1阳=6,则点尸的轨迹是以小一5,0),8(5,0)o4为焦点的双曲线的右支，且2a=6,。=5,所以炉=,2-3=52-32=42=16,22所以点P的轨迹方程痣=323),故选D.X设双曲线方程为了一方=1(a0,办0),将点(4,2)和(2乖，2啦)代入方程得解得才=8,9=4,22所以双曲线的标准方程为一!=1.o413类型3方程表示双曲线的条件22【例3】给出曲线方程言共占=1.(1)若该方程表示双曲线，求实数4的取值范围;(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数女的取值范围.解(1)方程表示双曲线，则有(4+)(1

11、一女)0,解得冷1或内一4,因此实数A的取值范围是(一8,4)U(1,+).1ArO,(2)方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有一一八4+A0,0时表示焦点在y轴上的双曲线.22Xy(2)对于方程J=I,当/77O时表示双曲线，且当/70,n0时表示焦点在X轴上的mn双曲线；当成0,ZXO时表示焦点在y轴上的双曲线.跟进训练3.已知力(0,5),0,5),PA-PB=2at当a=3或5时，P点的轨迹为()A.双曲线或一条直线B.双曲线或两条直线C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线(2)已知方程7上一七=1表示双曲线，则衣的取值范围是.1 +AI-A(I)D(2)(-1,1)当a=3时

12、,2a=6,此时|明=10,点尸的轨迹为双曲线的一支(靠近点&.当a=5时，25=10,此时I四I=10,.点尸的轨迹为射线，且是以5为端点的一条射线.(2)由题意得(1+4)(1一0,即(女+1)(左-1)0,解得一1K1.类型4双曲线在生活中的应用【例4】神舟九号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记凡B,6),力在A的正东方向，相距6千米，C在夕的北偏西30方向，相距4千米，夕为航天员着陆点.某一时刻，力接收至IJP的求救信号，由于凡C两地比月距尸远，在此4秒后，B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在力处发现夕的方位角.解如图所示，以直线用为X轴，线段仍的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则力(3,0),6(3,0),6,(-5,23).P=PCt点户在线段比的垂直平分线上，又易知服=一5