2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 1-4空间向量的应用1-4-2用空间向量研究距离夹角问题第2课时用空间向量研究夹角问题 学案.docx

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1、第2课时用空间向量研究夹角问题核心素养学习任务必备知识情境导学探新知情境趣味导学预习素养感知1 .能用向量语言表述线线、线面、平面与平面的夹角.（重点、易混点）2 .能用向量方法解决线线、线面、平面与平面的夹角问题.（重点、难点）3 .能描述用向量方法解决夹角问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.1 .通过学习线线、线面、平面与平面的向量表示，提升直观想象素养.2 .通过利用向量方法解决线线、线面、平面与平面的夹角问题，提升逻辑推理和数学运算素养.:情境与问题:在必修教材的课程中，我们学习过异面直线所成的角、直线与平面相交所成的角，以及两个平面相交所成的二面角.那么，在空间中怎样描述

2、这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？知识点1利用向量方法求两条异面直线所成的角若异面直线上,人所成的角为8,其方向向量分别是，%则CoSO=ICoS（，v）1_U-uv1- Itt11v1u.v,思考1.两条异面直线所成的角和两条异面直线的方向向量的夹角有什么关系？提示设两条异面直线所成的角为以两条异面直线的方向向量为用外则8=2.若直线1的方向向量与平面。的法向量的夹角等于120,则直线/与平面。所成的角等于（）A.120oB.60oC.150D.30D直线/和平面1所成的角为120。-90=30,故选D.知识点3利用向量方法求两个平面的夹角（1）平面a与平面B的夹

3、角：平面a与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90的二面角称为平面。与平面的夹角.（2）若平面。，的法向量分别是必和包，则平面a与平面的夹角即为向量n和n的夹角或其补角，设平面。与平面的夹角为，则COS=cosI=.,I,n_-I血山思考3.设Q分别是平面明,的一个法向量，平面明与平面。2的夹角为8,则8与5,员的关系是什么？提示8=1,止或=Ji-1,止.体验平面a的一个法向量为必=（斗，一5，一/），平面的一个法向量为m=（,I，2J,那么平面a与平面的夹角等于（）A.120oB.30oC.60oD.30o或150oBcos1,)m1m2则COSO=Icosz?i,QI=

4、半，所以。=30.关键能力合作探究释疑难疑难问题解惑学科素养形成类型1两条异面直线所成的角【例1】（对接教材P36例题）如图，在三棱柱物目笈中，平面阳。_1_平面物反/（OB=60,乙4加=90,豆OB=Oa=2,6i4=3,求异面直线45与力。所成角的余弦值.解以。为坐标原点，0A而的方向为X轴，y轴的正方向.建立如图所示的空间直角坐标系，则0(0,00),Q(0,1,3),J(3,0,0),(3,1,3),6(0,2,0),：AiB=(一小,1,一小),OiA=(-5,1,一小).IcosAfOiA)I二二一MM|一:，1,-1,m1=r异面直线A出与加所成角的余弦值为去思领悟求异面直线夹

5、角的步骤(1)确定两条异面直线的方向向量.(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值.(3)得出两条异面直线所成的角.跟进训练1.如图所示，在正方形4%力4笈中，已知M”分别是能和49的中点，则&V与N所成角的余弦值为()DxCff1BA典B典1015C画D正30u15A建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2,(0,0,2),M1O,0),j=c,!B：彘=(一1,-1,-2),加上(1,0,-2),-*-+4cos1-H-xr301-10j则笈(2,2,2),W(1,1,0),I1类型2直线与平面所成的角【例2】(2023浙江高考)如图，在四棱锥尸4%中，底面4力是平行四边形，/ABC

6、=120o,AB=3BC=4,用=标，MN分别为8G尸。的中点，PD1DC,PM工MD.(1)证明：ABtP机(2)求直线与平面为眼所成角的正弦值.解(1)证明：因为底面力战是平行四边形，/力仅”120,BC=*AE=I,且M为比的中点，所以以U2,CD=,/DCM=60,易得CD1DM.又PD工DaQPDCDM=D,PD,仁平面/%优所以C力_1平面PDM.因为ABCD,所以/E1平面PDM.又用公平面PDM,所以ABVPM.(2)法一：由(1)知四_1平面如M所以NME为直线4V与平面WM所成角的余角.连接4优因为身1跖，PM工DC,所以凡人平面力收力，所以月归_4也因为NNSC=120,

7、18=1,BM=2,所以由余弦定理得4仁小，又PA=乖,所以月Q2地，所以PB=PC=20连接砌，结合余弦定理得物1.连接力G则由余弦定理得力C=51在4/MC中，结合余弦定理得用2+4d=24V+2AM,所以J15.所以在/，V中，COSN刚V=49+4M区卡1+1511I2ABAN215设直线4V与平面Qw所成的角为0,i5则Sin0=cosZBAN=N-法二：因为4月_.必，PM1DCi所以PM_1平面ABCD.因为乙4a=120,AB=ItBM=2,所以Af=y7,又PA=P,所以0U21由（1）知CD1DM.过点、M作MECD交.AD于点、E,贝心仅1JM.故以为坐标原点，J切，班；

8、，“所在直线分别为筋MZ轴建立如图所示的空间直角坐标系，则力(一5,2,0),H0,0,22),(3,-1,0),所以,偿看出)所以亦=(4,小).易知平面月见/的一个法向量为n=(0,1,0).设直线4V与平面如M所成的角为0,5则SinIcos而加=d1=A卑.I届屏6厂泼现规律X试总结求直线与平面所成角的思路与步骤提示思路一：找宜线在平面内的投影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)；思路二：用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量.利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤：建立空间直角坐标系；求直线的方向向量位求平面的法向量m计算：设线面

9、角为9,则SinnAB跟进训练2. (2023全国卷II)如图，已知三棱柱力BG48G的底面是正三角形，侧面能GC是矩形，MN分别为比；笈G的中点，尸为和/上一点，过AG和尸的平面交力占于,交AC于F.证明：A4iJW,且平面4/MWJ平面引8尺设。为4484的中心.若/10平面细IGE且47=/18求直线6历与平面/U仞V所成角的正弦值.解(D证明：因为私/V分别为比，劣G的中点，所以柳VCG.又由已知得制，故AAMN.因为4笈G是正三角形，所以8G_14AC又6iG_1I%V,故笈G_1平面44必K所以平面4AME1平面EBCF.(2)由已知得AMVBC.以必为坐标原点，质的方向为X轴正方

10、向，I总I为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Mxyzi则AB=2,Af=y3.连接,W,则四边形力创产为平行四边形,故HM=由知平面4用何_平面ABC,作M11垂足为0,则M11平面4%又=(0,1,0)是平面NMMV的一个法向量，故sin!-所以GFCD,ZGF22则否=可，所以GF=-2所以EF=GF=Q,所以OA=1,所以%欧n=gs师/Iggx坐义I=坐.法二：如图所示，以0为坐标原点，OB,总所在直线分别为彳,以过点。且与被垂宜的直线为y轴建立空间直角坐标系.轴，在平面H券内,因为是边长为1的正三角形，且。为切的中点，所以OC=OB=OD=X.所以8(1,0,0),(一1,0,0

11、),乎，0).设4(0,0,a),cJ0,因为座=2胡，所以一：，0,y由题意可知平面比力的一个法向量为D=(0,0,1).设平面的法向量为9=(M人力，因为而=(_*坐，沸=(*0,竽)mBC=G,joBE=。,令x=1,则y=/,Z=,所以曲=(13,I因为平面碇与平面的夹角为45,得a=1即OA=1.因为Sabo)=；BD.CDsin600=212=2所以以顺=gso04=g坐X1=坐.(M思领I1S利用坐标法求两平面夹角的步骤建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90的角).跟进训练3.