高等量子力学练习题及参考答案.docx

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1、第一章量子力学基本概念和一般理论一、量子态矢量的定义是什么。描述微观粒子状态的态矢量等符号代表一个复矢量，而y+是y的厄密共聊矢量或称“对偶矢量”。用狄拉克符号记为IW,表示波函数中的右矢；Va表示左矢。右矢和左矢是互相独立的，但存在如下关系：W=G)。二、请简述线性算符的运算规则和性质。(1)(A+B)-Ay)+By)o(ZB)M)=/(BM).(3)AiBA,BYAB-BAB+BAt为所规定的对易式。例不=MZM(5)若力=/，则称为厄米算符。(6)若由方程HS=能够唯一地解出I*,则可定义算符A的逆算符为NT1P)=M,于是N满足AAT=AI(7)若UU+：U+U=/,则U称为幺正算符。

2、R4)=%1(8)7,表示算符A的函数。三、幺正变换的基本性质有哪些。幺正变换具有许多非常有意义的性质。(1)幺正变换下两个态矢量的内积不变。(2)幺正变换下算符方程的形式不变。(3)幺正变换下力学量算符对应的平均值保持不变。(4)幺正变换下算符的行列式不变。(5)幺正变换下算符的本征值谱不变。(6)幺正变换下算符的迹不变。(7)利用上述性质(6)可以给出指数算符函数的一一个有用公式。(8)可以证明，若算符R是厄米算符，即R=R+,则由它所生成的算符U=ei四、时间演化算符U(t,to)的基本性质有哪些。1 .初始条件U(t0,t0)=2 .幺正性uo)U(M)=(r,+(r,)=3 .因子化

3、特性U(Jo)=U(J)U(Bo)4 .时间反演特性-1(,r0)=(,r)5 .薛定将绘景中的动力学方程五、矢量空间中的如下运算规则有哪些。(1)加法:(。M)+(睥=(IaM酚(M+。(2)零矢量：|0)=|。网。”(3)数乘：()=),为复数。内积：(a例3j(=(a+河夕)。(5)算符直拓：(XZ)(a)r)J=Ja)Z)=J),则与量子态|力相应的密度算符可表示成如下矩阵形式，称为密度矩阵。ptue(f)=G1P(以力=GMa)例。|)=Ga)Cxf)七、请列举混合态密度算符的性质。(1) +=oTrp=EPkT卬k=ZpEkk%=P尚44pM4HZPkPk二会HqI.T卬2NZgm

4、mPJ(匕M=Z(匕%|匕M=Z月z%崂(Pje第二章量子力学测量问题八、从不同角度，量子测量有不同分类，常见的分类有哪些。一般测量、投影测量和PoVM；(2)直接测量和间接测量；(3)完全测量与不完全测量。九、理想测量的三个基本要求是什么。(1)当t=0,即探测体和被测系统相互作用之前，探测体制备在量子态Pp,同时量子客体制备在Po态。(2)使用仪器测量之前，量子客体和探测体在1=0时开始相互作用，在t=0时结束作用。(3)此方法的第三步是，一个经典仪器及在探测体上的测量可以用冯诺依曼投影假设的理想测量描述。十、什么叫标准量子极限，标准量子极限可以逾越吗？”=必21旧5。=图其中，“S以和小

5、呼叫作标准量子极限。标准量子极限可以逾越吗?答案是肯定的。在得到这个极限时用了不确定关系，但是二者是不相同的。标准量子极限的具体数值依赖于量子态，与如何测量有关，而不确定关系是底线。那么，在遵守不确定性原理的前提下如何使测量精度超越标准量子极限呢？目前有两种思路：一种是以牺牲共扼量一方为代价，去求得另一方的超精度测量，这即是压缩态的思想；另一种就是量子非破坏性测量(QUan1UmNon-DemOIitiOnMeaSUremenI,QND测量)。十一、什么是量子Zeno效应，在对量子系统进行连续测量时，测量设备一般以两种不同的方式反作用于量子系统，请简单描述。量子ZenO效应是纯量子测量效应。理

6、论和实验都已经表明，频繁的测量能阻止不稳定量子系统的衰变或跃迁。极端而言，连续进行的量子测量将使不稳定的量子系统稳定地保持在其初态上，这种不稳定初态的存活概率在连续测量下将成为百分之百，这就是量子Zeno效应。这种在古代哲学中提到的“飞矢不动”的佯谬，在量子系统中真的可以实现。在对量子系统进行连续测量时，测量设备一般以两种不同的方式反作用于量子系统。其一，它可以影响被测量的可观测值的期望值的演化。这被称为“动力学反作用”，这种影响是可以预测的。其二，测量设备以随机的方式扰动这个可观测量，增加它们的不确定性，从而造成对期.望值的随机偏离。第一种情况可以通过构造合适的测量设备来加以避免：而第二种作

7、用是基本的、无法去除的。第三章二次量子化方法十二、什么是二次量子化方法。二次量子化方法是研窕全同粒子组成的多粒子体系的一种常用方法,是现代多体理论及场论的基础。众所周知，对于单粒子体系，不存在粒子交换问题，粒子的性质在不考虑自旋时由坐标算符x(为简单起见，此处只写出一维)和动量算符P构成一对正则共朝量，它们的对易关系匕0二访定义了单粒子量子力学。但是在多粒子体系中，由于粒子不止一个，体系的性质当然不能再由一个粒子的坐标算符和动量算符描述。十三、谐振子相干态的定义以及表达式是什么。历史上最早定义的相干态为谐振子相干态，它是谐振子的一些量子力学状态，处于这些态中的粒子按量子力学规律运动，与在同一势

8、场中具有相同能量的经典粒子的简谐运动最为接近。为简单起见，我们讨论一维运动。经典谐振子的运动规律x(t)与其能量表达式为xc(Z)=Xqcos(d)z+)纥=T。飞十四、相干态的基本性质有哪些？(1)声子数不确定，且呈泊松分布。(2)具有最小不确定性。(3)不具有正交性，但仍可归一化。(4)具有完全性，形成完全集。十五、压缩算符定义即它的性质。首先定义如下压缩算符：5(z)=expy2-(Z+)2它具有如下性质：ST(Z)=S(-z)=5+(z)十六、请阐述二次量子化方法共有两条规定。(1)将普通场量函数替换为非对易的场算符。替换的主要内容就是规定对易规则。(2)维持原来方程形式不变，只将原来

9、的普通函数替换成场算符。对薛定得方程可以严格证明，这种二次量子化程式正是将单粒子薛定谓方程转化为该粒子全同多粒子薛定谓方程的方法。十七、全同粒子系统的算符通常可以分为几种类型。SHy)(1)单体算符，如式(3.103)中的第一部分*=,其中每一项仅仅涉及单个粒子的运动特征；2?(诬)(2)两体算符，如式(3.103)中的第二部分,这是多体系统中的两体相互作用能部分，涉及两个粒子的相对运动特征。(3)多体算符，这类和式中的算符每一项都涉及三个或更多粒子的运动特征，这类算符并不常见。第四章辐射场的量子化及其与物质的相互作用十八、经典电动力学中给出的电磁场能量密度和总能量公式分别是什么。电磁场能量密

10、度霓=1(E2+月2)场的总能量公式为H=d/先尸+；(VXN)2十九、什么是JC模型？我们得到频率为V的单模量子化场与-一个两能级原子相互作用的系统的哈密顿算符为H=HQ+H(4.47)其中，Hq=va+a+-r2Zf1=g(+.)式(4.47)称作JayneS-CUmrningS哈密顿量，相应的模型称作JC模型。二十、用哪三种方法求解JC模型。1 .概率幅方法2 .海森伯算符方法3 .幺正时间演化算符方法二十一、经典电磁场转化为量子场的算符有几种方法。(1)考虑光子是玻色子，所以取如下同时性对易关系：4任,5=O历任用,弓(Ht)J=OM(E)力Pj)=洗马汉尸-刁(2)在前面建立的自由电

11、磁场量子化理论的基础上，现在进一步将场算符分解为简正模式。第五章开放量子系统动力学二十二、量子理论在哪些方面有重大的改变和发展。统所做的局部观测和统计性研究，导致量子理论在以下三个方面的重大改变和发展：其一，产生了不同于纯态的混态概念；其二，混态的演化不再像纯态遵守幺正和可逆的薛定谓方程，而是遵守一般是非幺正和不可逆的“主方程”；其三，测量过程一般不再是正交投影，而是非正交投影。二十三、开放系统动力学的定义，总哈密顿量的公式是什么。一般来说，开放系统是指一个量子系统S耦合到另一一个称作环境的量子系统B的系统。因此，它是复合系统S+B的子系统。多数情况下假设复合系统是封闭的，遵循哈密顿动力学，然

12、而，子系统S的状态将随其内部动力学和与环境的相互作用而改变。相互作用导致某种系统一一环境关联，以致一般情况下，s态的变化下不再是幺正的、哈密顿动力学的变化，子系统S的动力学由总系统哈密顿演化驱动常称作约化系统动力学，并且S也被称作约化系统。设HS是系统的希尔伯特空间，Hg是环境的希尔伯特空间。总系统S+B的希尔伯特空间由张量积=s”8表示。总哈密顿量H(t)为HS=HSHb+IsHb+%)二十四、马尔科夫量子主方程怎么写2如果量子动力学半群存在，在某种数学条件下(见下面)，一个线性映射1,即半群的生成元，可以表示成如下指数形式：V(f)=Qxp(1ty)由此，立刻可以得到开放系统约化密度矩阵的

13、一阶微分方程上式方程式叫作马尔科夫量子主方程。二十五、借助本征算符的性质可以得到的近似有哪些。第一个近似是弱耦合假设，这个假设允许将精确的运动方程展开到密度矩阵二阶项，结合条件P()R(DZ,导致对主方程的玻恩近似。第二个近似是马尔科夫近似，将密度矩阵PS(S)用当前时刻的密度矩阵P0)代替。再者，将积分限推至无穷大得到主方程的玻恩-马尔科夫近似。玻恩-马尔科夫近似相关的物理条件是，系统和库的关联时间Tb比系统的弛豫时间TR小很多，即最后，在旋波近似中，对于比例于expi3-的快速振荡项中的”/0部分可忽略，这使得量子主方程为1indbIad形式。相应的物理条件是，问题中涉及频率差的倒数伉T一

14、勿第六章开放系统退相干二十六、请简单说明库系统的优点。这个模型的优点是：一方面，它显示出了退相干的几个重要特性；另一方面，它又足够简单并精确可解。正如下面将要看到的，模型以最纯粹的形式显示退相干，也就是没有布居衰减的量子相干破坏。二十七、根据退相干函数分析三个时间不同的函数。(1)短时间范围，。一:在这个范围内，的值随时间I的平方增加(O-V(2)真空范围CT这里，退相干函数可以近似地写为(3)热范围Q。这个范围也可以称作马尔科夫范围，因为退相干函数的数值随时间线性增加，有(t)-二十八、对粒子散射的两种限度情况进行分析讨论。首先，假设的。AXA1,其中ko是散射粒子的典型波数。表达式(6.106)中指数平均为零，由此得到嘤点倒2=J(W)()=scaft式中，。也)是总横截面，YSCa”是总散射率，类似于两个内部能级转换引起的退相干,散射引起的退相干饱和于大的距离Ax,并且以等于总散射率的比率发生。退相干函数的饱和容易被获知：对于“OAX1,散射粒子的波长小于距离Ax。因此，一个单个的散射反应对定位客体系统即已提供了充足的信息。进一步增加不可能增强这个信息。其次，对于小距离，岛AX1,我们发现F(xxf)(Z()左-黔(1-X)2f(kt,)