列一元二次方程解应用题的一般步骤.docx

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1、列一元二次方程解应用题的一般步骤：“审”、“设“列”、 “解”、“答”五环节，其中正确找出应用题的等量关系是列 一元二次议程应用题的难点所在，我认为可以采取如下方式 探寻等量关系。首先要正确熟练地作语言与式子的互化；其 次充分运用题目中的所给的条件；再次要善于发现利用间接 的，潜在的等量关系；最后对一般应用题，可以利用关键语 句、公式、定理等方面寻找相等关系。举例如下：一、数字问题解这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连 续整数等形式。例1, 一个两数，十位数字与个位数字之和是5,把这个数 的个位数字与十位数字对调后，所得新的两位数与原来的两 位的乘积为736,求原来的两位数。等量

2、关系：新的两位数X原来的两位数解:由题意得：10x+ (5-x) 10 (5-x) +x=736解得：xl=2, x2=3即两位数为23或32二、几何问题这类问题要结合几何图形的、特征、定理或法则来寻找等量 关系，构建方程，对结果要结合知识检验。例2：己知一直角三角形三边长为三个连续偶数，试求这个 三解形三边长及面积。通常用勾股定理列出方程，求解。解，设直角三角形三边为n、n+2、n+4 (n为偶数)，根据题 意得 n2+ (n+2) 2= (n+4) 2解得：n=6，三边长为6、8、10,面积为24。三、增长率问题此类问题中一般有变化前的基础(a),增长率(x),变化的 次数(n),变化后的

3、基数(b),这四者之间的关系可用公式a (l+x) n=b表示这类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的词语“译”出。例3：某企业去年对m产品的生产投资为2万元，预计今明 两件的投资总额为12万元，求该企业这两两年在m产品投 资上的平均增长率是多少？解：设这两个在m产品投资上的平均增长率为X,根据题意 得2 (l+x) +2 (l+x) 2=12解得：xl=l x2=4 (舍去)即该企业这两年在m产品上的平均增长率为100%。四、估测型问题这类问题要结合生活经验，生产实际情况及合理运算后作出大胆的估测。例4：读诗词解题列出方程式，并估算周瑜去世时的年龄大江东去浪淘尽，千古风流人物，而立之年督东

4、吴，英年早逝两位数。十位恪小个位三，个位平方与寿符。哪位学子算得快，多少年华属周瑜？分析：由题意“则立之年督东吴”可估计周瑜年龄就在30-50 之间。解，设周瑜去世时的年龄的个位数字为X,则十位数字为 (x-3)o依题意得x2=10 (x-3) +x x2-llx+30=0由题意可知：x-3在3, 4之间选择，则X为6或7。当x=6时，年龄为36,符合“个位平方与寿符”。当x=7时，年龄为47,不符合题意。故周瑜去世时年龄为36岁。五、买卖问题这类问题要考虑购买物品的数量与价格例5：小王从店买回一块矩形铁皮，他将矩形铁皮的四个角 各剪去一个边长为Im的正方形后，剩下的部分刚好能围成 一个窖为1

5、5m3的无盖长方体箱子,且此箱子底面长比多2m, 现已知购买这种铁皮每玉米需20元钱。问小王购回这块矩 形铁皮花了多少钱？本题的展开图是矩形，其实质是先求展开图面积。解：设这种无盖箱子底部宽为xm,则长为(x2) m,依题 意得x (xl) 1=15解得：xl=3, x2=-5 (舍去)面积为：(5+2) (3+2) =35 (m2)做一个这样的箱子要花35 20=700元钱。六、方案设计问题这类问题常规根据题中的条件，联想应用相关知识计算，对 结果与实际要求，已知法则、定理对照作出判断。例6：如图有长为24m的篱笆，一面用墙(墙的最大可用长 度a为10米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。

6、(1)如果花圃的面积为42m2,求花圃的宽AB的长。(2)花圃的面积能围成45m2吗？如果能，请求出这时花圃 的宽AB的长，若不能，请说明理由。(3)花圃的面积能围成48m2吗？若不能，请求出这时花圃 的宽AB的长；若不能，说明理由。解:设宽AB=Xm,则BC= (24-3x) m,依题意得(1) X (24-3x) =42o 解得 xl=4+2 ,x2=4-2当 x=4-2 时，BC=24-3 (4-2) =12+3 2 (不合题意。舍去)AAB= (4+2) m(2) X (24-3x) =45,解得 xl=5, x2=3当 x=3 时,BC=24-33=1510 (舍去) AB=5m(3

7、) X (24-3x) =48,解得 xl=x2=4此时BC=24-3x=1210,舍去，故不能围成总之，列一元二次方程应用题作为初中数学的考点，要求学 生能熟练掌握以上方法仅供交流。例1 b比a增加了 20%,则b是a的多少？ a又是b的多 少呢？解析：可根据方程的思想列式得a （1+20%） =b,所以 b是a的1.2倍。AZb= 1/1.2=5/6,所以 a 是 b 的 5/6。例2养鱼塘里养了一批鱼，第一次捕上来200尾，做好标 记后放回鱼塘，数日后再捕上100尾，发现有标记的鱼为5 尾，问鱼塘里大约有多少尾鱼？A. 200 B. 4000 C. 5000 D. 6000 （2004年

8、中央B类真题）解析：方程法：可设鱼塘有X尾鱼，则可列方程，100/5 = X/200,解得 X=4000,选择 B。例3 2001年，某公司所销售的计算机台数比上一年度上升 了 20%,而每台的价格比上一年度下降了 20%o如果2001 年该公司的计算机销售额为3000万元，那么2000年的计算 机销售额大约是多少？A. 2900 万元 B. 3000 万元 C. 3100 万元 D. 3300万元（2003年中央A类真题） 解析：方程法：可设2000年时，销售的计算机台数为X, 每台的价格为Y,显然由题意可知，2001年的计算机的销售 额=X (1+20%) Y (1-20%),也即 300

9、0 万=0.96XY,显然 XY3100o 答案为 C。特殊方法：对一商品价格而言，如果上涨X后又下降 X,求此时的商品价格原价的多少？或者下降X再上涨X, 求此时的商品价格原价的多少？只要上涨和下降的百分比 相同，我们就可运用简化公式，1X O但如果上涨或下降 的百分比不相同时则不可运用简化公式，需要一步一步来。 对于此题而言，计算机台数比上一年度上升了 20%,每台的 价格比上一年度下降了 20%,因为销售额=销售台数X每台 销售价格，所以根据乘法的交换律我们可以看作是销售额上 涨了 20%又下降了 20%,因而2001年是2000年的1(20%) =0.96,2001年的销售额为3000

10、万,则2000年销售额为3000 0.963100o例4生产出来的一批衬衫中大号和小号各占一半。其中 25%是白色的，75%是蓝色的。如果这批衬衫总共有100件, 其中大号白色衬衫有10件，问小号蓝色衬衫有多少件？A . 15 B . 25 C . 35 D . 40 (2003年中央A类真题)解析：这是一道涉及容斥关系(本书后面会有专题讲解)的 比例问题。根据已知 大号白二10件，因为大号共50件，所以，大号蓝=40 件；大号蓝=40件，因为蓝色共75件，所以，小号蓝=35 件；此题可以用另一思路进行解析（多进行这样的思维训练，有 助于提升解题能力）大号白二10件，因为白色共25件，所以，小

11、号白=15件； 小号白二15件，因为小号共50件，所以，小号蓝=35件； 所以，答案为C。例5某企业发奖金是根据利润提成的，利润低于或等于10 万元时可提成10%;低于或等于20万元时，高于10万元的 部分按7.5%提成；高于20万元时，高于20万元的部分按 5%提成。当利润为40万元时，应发放奖金多少万元？A . 2 B . 2.75 C . 3 D . 4.5 （2003年中央A类真题）解析：这是一个种需要读懂内容的题型。根据要求进行列式 即可。奖金应为 1010%+ （20-10） 7.5%+ （40-20） 5%=2.75 所以，答案为B。例5某校在原有基础（学生700人,教师300人

12、）上扩大 规模，现新增加教师75人。为使学生和教师比例低于2： 1, 问学生人数最多能增加百分之几？A . 7%B . 8%C . 10.3%D . 115%(2003年中央A类真题)解析：根据题意，新增加教师75人，则学生最多可达到 (300+75 ) X 2=750人，学生人数增加的比列则为 (750-700) 7007.1%所以，选择A。例6某企业去年的销售收入为1000万元，成本分生产成本 500万元和广告费200万元两个部分。若年利润必须按P% 纳税，年广告费超出年销售收入2%的部分也必须按P%纳 税，其它不纳税，且已知该企业去年共纳税120万元，则税 率P%为A. 40% B. 2

13、5% C. 12% D. 10% (2004年江苏真题)解析：选用方程法。根据题意列式如下：(1000-500-200) XP%+ (200-10002%) P%=120即 480P%=120P%=25%所以，答案为B。例7甲、乙两盒共有棋子108颗，先从甲盒中取出放人乙 盒，再从乙盒取出放回甲盒，这时两盒的棋子数相等，问 甲盒原有棋子多少颗？A. 40 颗 B. 48 颗60 颗C.52 颗（2004年浙江真题）答案B解析此题可用方程法，设甲盒有X颗，乙盒有Y颗， 则列方程组如下，参见辅助资料。此题运用直接代入法或逆 推法更快捷。例8甲乙两名工人8小时共加736个零件，甲加工的速度 比乙加工

14、的速度快30%,问乙每小时加工多少个零件？A. 30 个 B. 35 个 C. 40 个 D. 45 个 （2002年A类真题）解析：选用方程法。设乙每小时加工X个零件，则甲每小时 加工L3X个零件，并可列方程如下：（1+1.3X） X8=736X=40所以，选择C。例9 已知甲的12%为13,乙的13%为14,丙的14%为15, 丁的15%为16,则甲、乙、丙、丁 4个数中最大的数是：A .甲B.乙 C.丙 D. 丁（2001年中央真题）解析:显然甲=13/12%；乙=14/13%；丙= 15/14%； T=1615%, 显然最大与最小就在甲、乙之间，所以比较甲和乙的大小即 可，甲/乙=13

15、12%1615%1,所以，甲 乙丙丁，选择A。例10某单位召开一次会议，会期10天。后来由于议程增 加，会期延长3天，费用超过了预算，仅食宿费一项就超过 预算20%,用了 6000元。已知食宿费用预算占总预算的25%, 那么，总预算费用是：A. 18000 元 B. 20000 元 C. 25000 元 D. 30000 元 （2001年中央真题）解析：设总预算为X,则可列议程为，25%X=6000 （1+20%）,解得 X=20000所以，答案为B。例11 一种收录机，连续两次降价10%后的售价是405元， 那么原价是：A. 490 元 B. 500 元 C. 520 元 D. 560 元 （2001年中央真题）解析：连续涨（降）价相同幅度的基本公式如下：a =c a表示涨（降）价前的价格；b表示涨（降）价的百分 比；C表示涨（降）价后的价格；n连续涨（降）价的年数。 如果设原价为X,那么由以上公式可列如下方程：X =405,解得 X=500所以，答案为B。此题可以选择代入法快速得到答案。例12某企业1999年产值的20%相当于1998年产值的25%, 那么，19