KZK方程推导[共3页].docx

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1、KZK方程简介与推导KZK方程描述了有限宽波速在非线性、吸收介质中的传播，是由前苏联科学家Khokhlov.Zabolotskaya和Kuznetsov于二十世纪七十年代提出来的。KZK方程的数学表示形式如下：S2Pdzdr式中为声压，z为声波传播方向，7-为延时时间，/为小信号声速，为热粘滞介质的扩散系数，为介质的非线性系数，0为介质密度,为径向坐标。方程的右边第一项代表了衍射作用(抛物线近似条件下)，第二项代表了热粘滞吸收作用，第三项代表了非线性作用。在公式的推导中，左、巨、2近似为一阶小量，表示为左，巨，巨Po PPq Pv vv其中4为一阶小量。而匕、匕,是切向速度分量，与波束的发散性

2、有关，将上、上近似为，co1.5阶小量，表示为：土上4%。KZK方程式根据连续性方程、运动方程以及物态方程等推导出来的。由连续性方程得(爱因斯坦简写)：V.(/9V)= (pvi)z=-1(I)式中P为介质密度，y为质点振动速度。由运动方程得：曳+3产-左沅i P对流体介质物态方程，在平衡状态附近展开可得：2P。(3)式中Po和。o是没有声波时介质的声压和密度，P为介质密度的变化量，7是定压比热和定容比热之比。忽略的三次方及高次项，取前三项，加上热粘滞吸收作用，得又由(1)可得:(4)(5)考虑吸收不是很大，忽略非线性项，得到:r/pfdvxdvdy(6)=-r)(- + - + -)pdxd

3、ydz将(4) (6)代入(1)并做变量代换，将等式左边整理为一阶小量，高次项置于等式右边，忽略二次以上小量，得:辿义强也+4强(W%(7)dr c0 dr c0 dr c0 dr dx dy dz将(4) (5)代入(2),在x、v、z三个方向，分别并做变量代换得到：(整理方法同7式)dr c0 dr c02口惠+_L”生dr c0 drPq dr dz q- dr(8)。dr+ /2用=0OX(9)(10)式没有一用微扰法分析(7)(8) (9)(10),(7)(8)式左边为一阶小量，(9)(10)阶小量。因此另(7) (8)式左边为0,得:匕二、(11),Po由(7)(8)(9)(10)(11)得：/上四+工鱼包+%(12)dzdr 2Poe dr2 2c； dr3 2 dx2 dy2其中， = (7+%,为非线性系数。又由(4) (6)代入(14),忽略二次以上小量，得到:d2p p d2p2dzdr 2poco3 dr2(13)