名师教学设计《基本不等式（第一课时）》完整教学教案.docx

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1、基本不等式(第一课时)的教学设计一、 教材分析本节课是人教版高中数学必修五的第三章的第四节，是在系统学习了不等关系以及不等式的基本性质的基础上进行的不等式的进一步学习，对后续的不等式的学习尤其是最值问题的解决具有非常重要的作用。另外基本不等式中等号成立的条件还可以进一步让学生理解对勾函数单调区间的划分，而这是函数的单调性的应用中的难点问题，甚至还有相当多的同学至今都不清楚究竟是为什么。因此这一节的内容具有承上启下的作用，并且在生产生活当中应用也非常广泛，可以解决生产生活中的很多的优化问题。本节课先给出不等式/+ 2 2,然后在此基础之上经特别化处理给出了 a + b 2y/ab (a 0, Z

2、? 0),进而变形为基本不等式空2 2 4ab (a 0, b 0)。2在基本不等式给出之后，又从不等式的性质的角度分析了基本不等式的合理性，并给出等号成立的条件。最后通过探究给出基本不等式的几何解释。二、 目标分析结合教材的内容、新课程标准对不等式学段的要求以及学生的实际情况，我确定了如下的教学目标：知识与技能目标：理解并掌握重要不等式及基本不等式，准确认识两个不等式的区别与联系；理解算术平均数及几何平均数的概念；并能运用两个不等式来完成一些相关不等式的证明，运用基本不等式解决一些简单的求最值问题以及代数式大小的比较问题；对不满足条件的学会构造条件利用基本不等式；培养学生的探究能力及分析解决

3、问题的能力。过程与方法目标：按照“创设情境一一提出问题一一分析问题一一解决问题知识应用”的教学过程，培养学生的观察，思考，分析，归纳，总结，抽象概括的思维过程。在此过程中，教师充分扮演问题的提出者，思维的引导者的角色，利用多媒体辅助，通过问题的逐步递进，并配合学案让学生理解课堂内容。在此过程中尽可能地让每个学生都能积极主动地参与到课堂活动中来，体验解决问题的乐趣。情感态度价值观目标：通过问题情境的设置，让学生充分体会数学来源于生活，最终应用于生活，生活中处处都有数学，数学让我们的生活变得更家丰富多彩，从而激发学生对学习数学的兴趣。通过问题的逐步解决培养学生学会思考，善于思考的能力。并体会解决问

4、题的一般方法：是什么一一什么是一一怎么办据此我制定了针对学生的学习目标：1 .理解基本不等式的内容及证明.2 .能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3 .会初步运用基本不等式证明简单的不等式.4 .经历探究过程，感悟数形结合的数学思想.三、教学重难点分析：从两个不等式的生成过程可以看出，两者之间具有千丝万缕的联系，并且在解决不等式问题是，究竟是严格不等式还是非严格不等式这一细节也很关键，往往是学生在平时的学习过程中容易忽略的，因此，我制定重点难点如下：教学重点：两个不等式的区别与联系；教学难点：理解“当且仅当”的数学内涵。四、教学过程分析教学过程的设计严格按照“探究一一问题一一归纳小结一

5、一应用一一练习”这一过程逐步展开，符合学生的认知能力。（-）创设情境，激发兴趣如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.国际数学家大会每四年举办一次，在大会上要颁发一个奖项一一菲尔兹奖。颁给两到四名有卓越贡献的年轻数学家（获奖者必须在该年元旦前不满四十岁），被视为数学界的诺贝尔奖。设计意图：通过对国际数学家大会以及菲尔兹奖的介绍，激发学生的学习兴趣。并且让学生认识到，学知识要趁年轻。（二）提出问题，抽象概括探究一：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗问题1：设直角三角形的直角边长为凡人

6、，那么正方形的边长为;面积为,四个直角三角形的面积和是.问题2：根据四个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们可得到一个怎样的不等式问题3：四个直角三角形的面积和与正方形的面积有相等的情况吗何时相等图形怎样变化（通过图形的变化，让学生直观感知当是由正方形的两条对角线分成的直角三角形时，也就是。时等号是成立的）问题4：你能给出上述不等式的证明吗（前面的问题只是给出了该不等式的几何解释，但是仍然需要给出严格的证明。而作差比较法是学生目前最容易接受的不等式的证明方法）问题5：该不等式对凡人有条件限制吗必须大于0吗（情境引入中是三角形的边长，当然都是正数。但是从证明过程中学生很容易理解此不等式

7、对任意的实数都成立）归纳小结：（重要不等式），对于任意的实数a, b,都有；当且仅当（解释“当且仅当”的含义）探究二：问题6：既然对于任意的实数。，者I，有。2+/N2。那么当。0, 0,他们可以写成某个数的平方吗据此可以得到怎样的不等式（基本不等式呼之欲出，让学生自己给出不等式的形式。注意强调不等式成立的条件以及等号成立的条件）问题7：如何证明不等式史史之，加（4/0, b0）2设计意图：课本上是通过不等式的基本性质对此不等式作了说明，但看上去更像选修2T中给出的证明方法一一分析法。由于还没有学过分析法，在这里我依然采用作差比较法，目的一方面要让学生明白不等式的合理性，另一方面让学生体会基本

8、不等式和刚刚给出的重要不等式的联系和区别。归纳小结：若。 0, b 0 ,那么,我们把这个不等式叫做基本不等式（又叫均值不等式）。问题8：有何联想（左半部分很容易想到4 的平均数，右边呢是不是也可以看做某种平均数呢）问题9：像重要不等式一样，可以给出几何解释吗如下图，A3是圆0的直径，点Q是AB上任一点，AQ=，BQ= b,过点Q作PQ垂直AB于Q,连接AP, PB.你能利用这个图形得出基本不等式史会2疝，（。0, b0）的几何解释吗2定理解读：（1）基本不等式的几何意义:（2）平均数解释：（算术平均数,几何平均数）（3）定理成立的条件是；结论是（4）数列解释：（等差中项）问题10：两定理比较

9、:重要不等式基本不等式形式成立条件文字解释等号成立条件设计意图：从多角度让学生理解两个不等式的区别和联系（三）知识应用，解决问题应用一、证明不等式已知4, 为任意的实数，求证：tz2 + Z?2 +c2 ab + bc + ca变式训练：已知名b, c为不全相等的正数，求证：a + b + c 4ab + 4bc + 4ca（注意等号成立的条件，以及学生证明过程的规范性及严密性）应用二:比较代数式大小(1)已知x(),求证xx并指出等号成立的条件;6（2）已知x Sahc2.3.求函数/（x） = x +的值域.X4,求函数 /(x) = or + 2(a0,b0)的值域.x5 .已知。0,求

10、4+工的最小值。a6 .设。，是实数，且。+人=3,求2+2的最小值。五、教学反思：在学生的十年寒窗的学习过程中，不管是学生、家长还是老师，往往都是在追求学会一些什么样的知识，能够在考试当中取得什么样的成绩。而我认为，在老师的教学以及学生的学习过程当中，我们更应该关注于如何“学会学习”。当然什么是“学会学习”如何“学会学习”呢。教师的教学过程中，老师应该教会学生如何去观察问题，思考问题，如何提出问题，解决问题，在解决问题的过程当中有意识地去建立知识与知识之间的联系，更清楚地去认识区别；当解决了问题的时候，还应该思考，你解决问题的方法是什么她具有什么样的优势，为什么就能解决这个问题呢当问题变化的

11、时候，这种方法还可以吗也就是该种方法是不是通法。和其他方法相比，这种方法有没有优越性，有什么特殊性等等等等。整节课的教学过程中，从情境的设置到问题层层递进地解决，遵循了学生的认知规律。先是通过赵爽的弦图引入课题，并且简单介绍了国际数学家大会以及菲尔兹奖，激发学生的学习兴趣。进而通过弦图归纳出重要不等式/ + 2ab,又经过问题的一步步引导重要不等式摇身一变变成了基本不等式(67O, b0),让学生充分认识到这两个不等式应该具有千丝万缕2的联系。然后在两个不等式的区别和联系上做了大量的文章，让学生真正深刻认识这两个可以看做挛生的不等式。在基本不等式的证明上，课本上其实是应用不等式的基本性质给出解

12、释的，但看上去却像是选修2-1推理与证明中才会介绍的证明方法一一分析法。我在处理这个问题时依然采用这一阶段学生最容易接受的证明不等式的方法一一作差比较法。一方面面要让学生明白不等式的合理性，另一方面让学生体会基本不等式和重要不等式的联系是非常紧密的。然后还通过表格让学生多角度地理解两个不等式的联系与区别。最后是两个不等式的应用，一个是应用两个不等式证明不等式，另一个是应用基本不等式比较大小。在证明不等式中，首先是确定究竟是用哪一个不等式，然后是注意等号成立的条件，要证明的不等式中究竟有没有等于号。而这一点正是学生在应用中容易忽视和丢分的地方。而在比较大小中，要让学生体会条件满足时直接应用基本不

13、等式，在条件不满足时，如何转化为满足条件的情况。最后在一节课结束后给学生出示学习目标，引导学生在回顾本节课内容的同时让他们自己归纳总结哪些是已经掌握的，哪些是尚且薄弱的，从而在课后及时解决。整堂课环环紧扣，真正做到让学生学有所思，思有所得。当然这节课中还存在很多的不足。一是整节课中，自己说的有点多。其实很多的东西是可以让学生们自己来说的；二是容量有点大，其实应用当中的第二个是可以放在下节课求最值当中的，这样就可以给学生留出更多的时间思考问题；三是在板书安排上有点太乱了，由于是让学生自己在黑板上解答问题，在板书上就没有控制好，其实是可以让学生自己在练习本上完成，然后在通过投影来点评的，这样板书就会更规范，更美观。总之，还有很多需要改进的地方，我想这应该也是终身学习的一种解释吧。