考研管理类联考综合能力立体几何.docx

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1、考研管理类联考综合能力立体几何1 .【单项选择】一个长方体对角线长为11,表面积为168,且棱长均为整数，则体积为（）.A（江南博哥）.144B. 108C. 180D. 168E. 252正确答案：B参考解析：设长方体的棱长分别为a,b,c,由已知条件可知：a2+b2c2=112,2ab+2bc+2ac=168,贝J（a+b+c）?=289,即a+b+c=17.列出100以内所有平方数1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,有81+36+4=121,此时对应的a,b,C分别为9,6,2符合题意，或者49+36+36=121,此时a,b,C分别为7,6,6,和为19,不符合题意

2、。从而2义69=1082.【单项选择】一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则该圆柱的全面积与侧面积之比是（）.2A. TT1 1B. 1人1. 1C. 1.UD.二1. 1E.1正确答案：C参考解析：可以设该侧面的正方形边长为1,则S侧口，故圆柱的全面积与侧面积之比为1+；,3.【单项选择】如图，长方体的棱长分别为3,4,5,将它切割成两个体积相等的三棱柱，则每个三棱柱的表面积最小为（）。A.47B. 72C. 94D. 47+3百E. 47+434正确答案：D参考解析：原长方体的表面积为（3x4+4x5+3x5）x2=94,切割后每个三棱柱不包含切面的表面积为47,要使得每个三棱柱的表面积最小

3、，则只需满足切面面积最小。切割成两个体积相等的三棱柱共有三种情况，切面面积分别为万针x5=25,行工4=4A,于x3=3Z,最小的是3沟,因此每个三棱柱的表面积最小为47+34TC4.【单项选择】如图所示，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为客，则半球的表面积和体积分别是（）oB. 27,16C. 22n,27D. 18,27E. 21,18正确答案：A参考解析：根据题意可设半球的半径为r,正方体边长为a,h和d分别为底面正方形中心到边和到顶点的距离，如图所不,由勾股定理得正方体,半球的球心为底面正方形的中心,则J=Y+7=（网）2：3=9,r=3半球的表面积S

4、是曲面面积S1加上底面面积S25=x4-=18宣,&=”2=9,所以半球的表面积S=5.【单项选择】将棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（没有剩余），其中棱长为I的正方体的个数为（）.A. 16B. 18C.20D. 22E. 24正确答案：E参考解析：将棱长为4的正方体分割的小正方体棱长可以为1,2,3,设29个正方体中有X个棱长为1的正方体，y个棱长为2的正方体，Z个棱长为3的正方体（x,y,zN）.x+y+z=29,x+8y+27z=64,两式作差有7y+26z=35,因为y,Z均是自然数，则7y,35均是5的倍数，则Y=5,z=0,故x=24.综上所述.选择E选项.6.【单

5、项选择】把一根长为5厘米的圆柱体钢材截为3段后，表面积比原来增加9.6平方厘米，这根钢材原来的体积是（）立方厘米.A. 9B. 9.5C. 10D. 10.5E. 12正确答案：E参考解析：该圆柱体截成3段后，则表面积比原来增加了4个圆柱底面的面96积，所以圆柱体的底面面积为T=2.4（平方厘米），故圆柱体体积v=2.4X5=12（立方厘米）.综上所述.选择E选项.A. 【单项选择】为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图所示），污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料

6、60平方米，问当a、b各为（）米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）B. 6和5C. 3和6D. 6和3E.以上答案均不正确正确答案：D【方法1】流出的水中该杂质的质量分数与%分的乘积M成反比,所以求质量分数最小,即求就的最大值,由题意知46+206+2=60(0.60).即2+=30(o0,0),因为+2b芸2所以2K+63O,当且仅当a=26时上式取等号.由0,b0解得OW18.所以当=26时.必取最大值,其最大值为18,所以2力=18.解得=6.6=3.故当为6米、6为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小C【方法2】设y为流出的水中杂质的质量分数

7、.则=今,女中*0为比例系数依题意,即所求的%6值使)值最小C根据题设，有46+20A+2=60(0,60),得6=羿二5(0达到最小值。34-2(2)这时a=6.a=-IO(舍去)o将a=6代人式(I)得6=3。参考解析：则当。为6米、6为3米时.经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。8.【单项选择】下图为一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是B. 10C. 11D. 12E. 13正确答案：D参考解析：从三视图可以看出该儿何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面积为SMX12+JiX12X2+2兀X1X3=12兀。5.1 条件充分性判断】球的两个平行截面(球心同侧)的

8、面积分别是11和20,则该球的体积是288n.两个截面之间的距离是4.两个截面之间的距离是1.A.条件充分，但条件不充分.B.条件充分，但条件不充分.C.条件和条件单独都不充分，但条件和条件联合起来充分.D条件（1）充分，条件（2）也充分E.第件和条件C）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分.正确答案：B4会孝的熔如果球的体积为288%即=288”,则球的半”D参考解析：3径R必为设截取球体的两个平行截面中较小的圆半径为a,则有a?二1，设截面较大圆的半径为b,则有b2=20,如果R=6,设球心到截面较大的圆圆心的距离为h1,截面较大圆的圆心到截面较小圆的圆心的距离为h.则由勾

9、股定理，（h+h1）2+=R2且hJ+bR2可得h=1,即只有条件充分.10.【条件充分性判断】如图所示，A点的蚂蚁想爬到同一纵截面的B点，则蚂蚁爬行的最短路程为15厘米。（=3）圆柱的底面半径为3厘米；（2）圆柱的高为12厘米。A.条件充分，但条件不充分。B.条件充分，但条件（1）不充分。C.条件和条件单独都不充分，但条件和条件联合起来充分。D.条件（1）充分，条件（2）也充分QE.藁件和条/1）单独都不充分，条件和条件联合起来也不充分。正确答案：C参考解析：根据题意，可知蚂蚁的爬行路径是从圆柱的侧面展开图的下边端点到上边的中点，最舞各程条件（1）：根据条件只知道圆柱底面半径，无法求出1,所

10、以条件不充分。条件（2）：根据条件只知道圆柱的高，无法求出1,所以条件不充分。（1）+（2）：两条件联合可得1=W+F=TA2=15（厘米），所以条件（1）和（2）联合充分。11.【条件充分性判断】某几何体的外接球和内切球的体积之比是2：1.（1）该几何体是正方体.该几何体是高和底面圆直径相等的圆柱.A.条件充分，但条件不充分.B.条件充分，但条件不充分.C.条件和条件单独都不充分，但条件和条件联合起来充分.D条件（1）充分，条件（2）也充分E.第件和条件A）单独都不充分，条件和条件联合起来也不充分.正确答案：B参考解析：对于条件（1）：正方体的外接球直径等于正方体的体对角线，正方体的内切球直

11、径等于正方体的棱长。因为正方体的体对角线长等于棱长的4倍则外接球和内切球的体积之比是33：1故条件不充分.对于条件（2）：轴截面为正方形的圆柱的外接球直径等于圆柱的体对角线，轴截面为正方形的圆柱的内切球直径等于圆柱的高也等于底面圆的直径，因为此圆柱的体对角线长等于底面圆直径的二倍，则外接球和内切球的体积之比是2：1,故条件充分.综上所述。选择B选项.12.【条件充分性判断】可以确定一个长方体的各棱长之和.已知长方体的表面积.已知长方体的体对角线的长.A.条件充分，但条件不充分.B.条件充分，但条件（1）不充分.C.条件和条件单独都不充分，但条件和条件联合起来充分.D.条件（1）充分，条件（2）

12、也充分.E./件和条件A）单独都不充分，条件和条件联合起来也不充分.正确答案：C参考解析：显然条件（1）、（2）单独都不充分.条件联合条件（2）：设长方体的长、宽、高分别为X,y,z,长方体表面积为a,体对角线长为b.（2（xy+%z+yz）=（2（xy+xz+yz）=a则U2+y2+z2=bx2y2z2=2,故（x+y+z）2=x2+y2z2+2（xy+xz+yz）=b2+a.所以x+y+z可确定，即所有棱长之和可以确定，充分.所以条件（1）、（2）单独都不充分，条件（1）联合条件充分.综上所述.选择C选项.13.【条件充分性判断】圆柱的全面积与球的表面积的比是3：2轴截面是正方形的圆柱的高

13、与球的直径相等侧面展开图是正方形的圆柱的高与球的直径相等A.条件充分，但条件不充分B.条件(2)充分，但条件(1)不充分C.条件和条件单独都不充分，但条件和条件联合起来充分D.条件充分，条件也充分E.翥件和条件5)单独都不充分，条件和条件联合起来也不充分正确答案：A参考解析：设球的半粒为生，圈柱的底面半径为旦圆柱的高为机针对条件(1)轴裁面是正方形的圆柱的高与球的直径相等.则A=2%=2与，圆柱的全面积二2R2121(21)6;,球的表面枳=4宣用=4立用.圜柱的全面积与球的表面枳的比%=g条件(1)充分；针对条件(2).便面展开图是正方形的4ti/Ia柱的高与球的真枝相等,M1A=2J1=2R29圆柱的全面枳=2宣*21(2)=4,球的表面积=4f=4():=4ffj.IM注的全面积与球的表面积的比三1r-1=缙,条件(2)不充分,应选4itK2宣