抽象函数专题.docx

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1、一、几种常见的抽象函数:抽象函数专题.(x1+x2)=(x1)(x2)2U+)=U)f(2):/U-2)=U)f&)3J(X2)=/(x1)+f(x2)4./(x1X2)=/(%,)/(x2)二、题型分析1：抽象函数定义域问题】例1：(1)若F(X)的定义域是-1,1,求/(2x-1)的定义域。(2)若/Qx-1)的定义域是一1,求/(x)的定义域。方法总结：1.定义域一定是自变量X的取值范闱：2.若F(X)的定义域是D,则在/(g(x)中g(x)0,再求出X的取值范围即为/(g(x)的定义域。【2：抽象函数求值问题】例2.已知f(x)的定义域是全体正实数，且/(x+y)=f(X)+/(y)对

2、一切正实数x,y都成立，若/(8)=4,则/=.例3.已知/(x)满足f(a-k-b)=f(a)f(b),且/(1)=3,则32+(2)+(2)f+(4)+/(3)f+(6)+yW+(8)/(3)/(5)/(7),方法总结：赋值法。(3：抽象函数与不等式问题】例4.定义在-1,1上的奇函数/(x)是增函数，且(x-1)+(I-X2)0,求X的取值范围。例5.设定义在-2,2上的偶函数/(x)在0,2上单调递减，若f(1-m)(g(x)的形式，再利用/(x)的单调性得到关于X的不等式，求出X的范围。【4.抽象函数奇偶性的问题】例6.已知/G)的定义域是R,且对任意实数x,y满足/(肛)=(x)+

3、f(y),求证：f(x)是偶函数。例7.已知/(x+y)+/(%一丁)=2/(工)/。)对一切实数元,丁都成立，且/()0,求证：f(x)是偶函数。方法总结：通过赋值，得出了(-X)与/G)的关系，判断出奇偶性。5：抽象函数的单调性问题】例8.函数/(x)对任意x,yR都有/(x+y)=/(x)+f(y)，且x0时，/(x)1时，/(1)0。求证：/(x)在定义域上是增函数：若/=1,解不等式f(x)+(x-2)0时，/(x)1且对任意的a、beR,都有f(a+b)=f(a)f(b)o(1)求证/(0)=1;(2)求证：对任意的工/?都有f(x)O:(3)证明/(X)在R上是增函数：(4)若/

4、(/(2工一炉),求X的取值范围。例11.定义域为R的函数/(x)的值域为(-1,1),当X0时，-1Vf(X)VO,且对任意的4、bR满足f(a+b)=/()+/)+WWo(1)求/(O)的值；求证/(X)是奇函数：判断F(X)在R上的单调性:【课堂练习】1若/(x+2)的定义域是(-1,0),求/(j2x-1)的定义域。2 .已知/(x)是定义在R上的函数，且满足/(x2)=-(x).(I)求证：/(x+4)=(x):(2)若/(1)=2014,求/(2001)的值.3 .已知函数/(x)=A3+%,对任意的机e-2,2/(,HT2)+/(X)OU1,恒有/(x)1.(1)求证：/(x)在R上是增函数：(2)若/(3)=4,解不等式/年+45)2.