平面向量与三角形的“四心”教学设计.docx

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1、平面向量与三角形的“四心”一、三角形的“四心”(1)重心：三角形的三条中线的交点；。是AABC的重心今后+无+沆=0；(2)垂心：三角形的三条高线的交点；。是AABC的垂心05励=5%=5b=(l-a +(-)+(l+2A)C, R,则点?的轨迹一定经过(C )A. AABC的内心B. AABC的垂心C. ZXABC的重心D. A8边的中点解析取AB的中点。，则2而=后+励, ： =(l -)OA + (1 -2)+(l + 2)OC, =2(-)b(l+2z)C2(1) 1+2A - =OD+-OC,2(1) +22而 3 + 3 fP, Ct。三点共线,点P的轨迹一定经过的重心.类型二 平

2、面向量与三角形的“外心”问题例2设P是AABC所在平面内一点，若赢.(为+之)=2矗.而,且而2=/22元.肝, 则点P是AABC的(A )A.外心B.内心C.重心D.垂心解析由诵(+N)=2Akd,得矗而+之一29)=0,即施(hm)+(&一及)=0,所以诵(成+说)=0.设。为A3的中点，则布2访=0,故诵.访=0.由懿2=/一2病崩，得(A+Ab)(A - Ab)=-1BCAP,P(A+AC-2AP)BC=0.设 E 为 BC 的中点，M(2A-2AP)C=0,则2励就=0,故於.诙=0.所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，所以P是AABC的外心.故选A.跟踪练习在AABC中，。为其外

3、心，TOC=3,且小 市+。7 01+衣=0,则边AC的 长是.解析1设aABC外接圆的半径为R, 二。为aABC的外心，.7 = f6 = &rI=R, 又小 OA 7 Ofi OC=O,则小 OA -hOC = -yj7OB , 3O4 2+OC2 + 23 OAOC=i7)B2t从而Er/r=坐R2,又市.员=小，所以N=2,又市.衣=|万才 -c cos ZAOC= R2COS ZAOC=小，cosNAOC=坐，,NAOC=5，在AAOC中，由余弦定理得AC?=。+。? rz-2QAOCcosN4OC=R2+r2-2r2x竽=Q一小)r2=4-21 所以 AC=馅一1.类型三 平面向量

4、与三角形的“垂心”问题例3 (2022济南质检)已知。是平面上的一定点，A, B, C是平面上不共线的三个动点， / 、点P满足/ =T)A +z z+lfC-,则动点P的轨迹一定通过AABC的() J AB cos B I AC cos C)A.重心B.外心 C.垂心 D.内心( ( 5y , AB , AC , AB 1 AC解析 OP - OA = -+- , AP = -+-J AB cos Ccos CJ AB cos B Ccos C)/ BC ABBC AP = -U AB cos B8C ACI AC cos C).BC AB cos(-) JBCIlAelCoS C=人=+

5、3 IAB cos BI AC cos C ,=2(- BCI+ 7c）=0,所以/_L_N,动点尸在BC的高线上，动点P的轨迹一定通过aABC的垂 心，故选C.类型四 平面向量与三角形的“内心”问题IO例4在AABC中，而=3, I戢1=2,而=辩+种，则直线AO通过AABC的（D ）A.重心B.外心C.垂心D.内心解析Tl丽=3, C1=2,夕丽=孤1=|.设危=；欣 F=AC,则丽=丽.VAD=A+AC=AE+AF, JAO 平分NEAF,A。平分NB4C, I.直线AO通过aABC的内心.跟踪练习（2022海南模拟）在448C中，AB=5, AC=6, cosA=,。是AABC的内心，

6、若苏 =Tob +yOC,其中X, y0,l,则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（）l6r6a.3d3C.43D.62解析根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以08, OC为邻边的平 行四边形及其内部，其面积为480C的面积的2倍.在aABC中，设内角A, B, C所对的 边分别为o, b, %由余弦定理。2=从+。22/COS A,得4=7.设AABC的内切圆的半径 为 r,贝6加SinA=Y+A+c）r,解得 r=&,所以 Sjoe=；XaXr=9x72=Z.故 动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2Smoc=喈.二、三角形形状的判断在中，若I诵|=|而，则AABC为等腰三角形；若嘉A

7、b=O,则AABC为直 角三角形；若Q就0, BABC0,且30, WJABC为锐角三角形；若|油+屐1 = |诵一而，则AABC为直角三角形；若（油+ 近）反=0,则4A8C为等腰三角形.例5 （2022驻马店质检）若O为aABC所在平面内任一点，且满足（5%（加十八一2OA）=0,则4ABC的形状为（C ）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D,等腰直角三角形解析由题意知屈（B+Ab=0.所以（而一/）（Q+危）=0, PA = C,所以 ABC是等腰三角形，故选C.变式训练4若P为AABC所在平面内一点.若（-）（筋一/）=0,则动点P的轨迹必过AABC的垂心.若舁=5+从诵+46（

8、220）,则动点P的轨迹必过448C的重心.若2=为2_2赢.而，则动点p的轨迹必过AA8C的夕卜心.（2）已知非零向量矗与Ab满足丝+当疣=0且空空=今 则AABC为（D ） lJA IAQJAB IAQA.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析（1）由题意知Qh=O, .4PL3C, 动点P必过aABC的垂心；由题意知Q=M+洞=2/么万（M为BC中点）.P、A、M共线，.P必过AABC 的重心；2篇=无2一以2 =（无一以）.（苑 + 以）=篇.（无+&）,即 2ABCP=AB（CB-i 以），.嬴.（2加一h-）=Ak（而+B）=o.以赤，亦为邻边的平行四边形的对角线互 相垂直.，点P在线段AB的中垂线上，,P必过aabc的外心.，一 、r Tar Ar -（2）因为非零向量AB与AC满足二十二 8C=0,所以NBAC的平分线垂直于BC,所 UABl IACv以 AB=AC.7? （, 1又COS ZBAC=-=y 所以NB4C=?所以aABC为等边三角形.故选D.A AC