专题3.5 直线与双曲线的位置关系【七大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

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1、专题3.5直线与双曲线的位置关系【七大题型】【人教A版(2019)【题型1判断直线与双曲线的位置关系】2【题型2根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围】3【题型3双曲线的弦长问题】6【题型4双曲线的“中点弦”问题】9【题型5双曲线中的面积问题】11【题型6双曲线中的定点、定值、定直线问题】17【题型7双曲线中的最值问题】23【知识点1直线与双曲线的位置关系】1 .直线与双曲线的位置关系(1)研究直线与双曲线的位置关系：y=Ax+2,一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组.0直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交； =0=宜线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切； 0若一条直线与双曲线

2、的右支交于两个不同的点，则应满足条件x1+x20:X1X20(0若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件心+70若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件frIxI(X2U【题型1判断直线与双曲线的位置关系】【例】（2023全国高二专题练习）直线y=x+2与双曲线9一9=1的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.无法确定【解题思路】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出X=-”，从而得出直线和双曲线位置关系，得O出答案./3八V=-X+222【解答过程】由_得亍一一:二1整理得，6%=-13；.49一1所以X=一凸，故直线和双曲线只有一个交点；又双曲线!一9=

3、1的渐近线方程为：y=xy=1x+2与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点.所以直线和双曲线的位置关系为相交.故选：B.【变式1-1（2023高二课时练习）“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【解题思路】利用定义法，分充分性和必要性分类讨论即可.【解答过程】充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点“，所以直线与双曲线相切或直线与渐近线平行.故充分性不满足；必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以直线与双曲线有且仅有个公共点”.故必要性满足.所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点是直线与双曲

4、线相切”的必要非充分条件.故选：B.【变式12】（2023高二课时练习）过点P（4,4）且与双曲线总一?=1只有一个交点的直线有（）.A.1条B.2条C.3条D.4条【解题思路】把直线与双曲线的位置关系，转化为方程组的解的个数来判断，借助判别式求解，注意分类讨论.【解答过程】解；双曲线方程为：（一9=1，当上不存在时，直线为x=4,与卷一9=11的图象有且只有一个公共点，当及存在时，直线为：y=k(-4)+4,代入双曲线的方程可得：(9-16c2)x2+(128fc2-128k)x-256c2+512k-400=0,(1)若9-16/=0,上士三时，y=-(-4)+4与双曲线的渐近线y=%平行

5、，所以与双曲线只有1个公共点，(2) kh=(128fc2-128k)2-4(9-162)(256k2-512k+400)=0,即攵=爱此时直线产券(工-4)+4与双曲线相切，只有1个公共点.综上过点产(4,4)且与该双曲线只有一个公共点的直线4条.故选：D.【变式1-3(2023高二课时练习)直线y=2x+m与双曲线4/一、2=1的交点情况是()A.恒有一个交点B.存在用有两个交点C.至多有一个交点D.存在m有三个交点【解题思路】联立方程组得m2+4mx+1=0,当m=O时，K无解；当mO时，有一解.【解答过程】将y=2%+m代入4/-y2=1得m?+4mx+1=0当m=0时,X无解；当m0

6、时，=三二，所以至多有个交点.-4故选：C.【题型2根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围】【例2】(2023全国高三专题练习)已知直线y=k(%-1)与双曲线9-9=1有且仅有一个公共点，则实数A的取值为()A.土当B.土竽C.1或士日D.1或土等【解题思路】联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出A的值即可【解答过程】因为双曲线C的方程为!9=1,所以渐近线方程为y=x；y=fc(x-1)由消去y整理得(I./)/+2/%./=。.,4-4当I-X=O即k=时，此时直线1与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于点，符合题意;当1k20即后土时，由A=4k4+4x(k2

7、+4)(ik2)=0,解得k=詈，此时直线I双曲线相切于个公共点，符合题意，综上所述：符合题意的k的所有取值为1或土竽，故选：D.【变式2-1(2023全国高二专题练习)直线，：y=k(x-2)与双曲线C：/一y?=2的左、右两支各有一个交点，则A的取值范围为()A.k一1或k1B.一1k1C.-2k0,解得一IVk1.I1H0),则有OVmVm0,(二+亡=1联立(1614,消去X并整理得2y2-2moy+m02-4=0,U=一三+巾0由A=4mo-8(n-4)=O,解得m0=2或ZnO=-22(舍)，故机的取值范围为(0,2).故选：B.【变式2-3(2023高二课时练习)若过点P(U)的

8、直线，与双曲线E:y2=1的右支相交于不同两点，则直线I斜率的取值范围为()A.(1,2)B.-2,-1C.1,2D.(-2,-1)【解题思路】由题意设直线，的方程，与双曲线方程联立消y得关于X的方程，根据条件得方程有两个不同的正根，结合韦达定理列不等式组，从而可求出k的取值范围【解答过程】由题意可得直线/斜率存在，设直线I的方程为y=Ax+1,设交点y1),8(如力)，联立可得(ITC2)亢22k%2=0,11-Zc2O=4c2+8(1-fc2)O力+M=曰0相2=70解得：或k1)时,这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.【题型3双曲线

9、的弦长问题】【例3】(2023.全国高二专题练习)过点P(4,2)作一直线AB与双曲线C：?一)，2=1相交于A,B两点，若P为线段A8的中点，则A8=()A.22B.23C.33D.43【解题思路】解法一，设直线方程与曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，求直线的斜率，并代入弦长公式求AB;解法二，利用点差法，求直线的斜率，再代入弦长公式.【解答过程】解法：由题意可知，直线AB的斜率存在.设直线AB的斜率为匕则直线AB的方程为)，=(y=Mx-4)+2,4)+2.由X22.消去y并整理，得(122)f+8k(2k-1)x322+324-10=0.设A(X八y),Iy=18(X2，”)

10、.因为尸(4,2)为线段AB的中点，所以-+X2=8,解得A=1所以Xb2=-32*2+32-101-2fcz=10.所以A8=1+k2y(x1+x2)2-4x1x2=43.故选:D.解法二：设A(X/,y/)B(X2,”)，则-*=1，-yi=i一得去工，-M)(x+&)(/y2)(j+”)=0.因为P(4,2)为线段48的中点，所以局+m=8,y+y2=4.所以4(xX2)4(j,/2)=0,即x-X2=y-y2f所以直线AB的斜率=工二=1则直线AB的方程为y=x122.(y=x-2,由m2=i消去N并整理，得f-8+o=o,-y一所以Xt+&=8,XX2=10.所以4网=1+k2yj(x1+x2)24x1x2=4V3.故选：D.【变式31】(2023全国高二假期作业)过双曲线/-q=1的一个焦点作直线交双曲线于48两点，若AB=4,则这样的直