专题3.3 直线与椭圆的位置关系【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

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1、专题3.3直线与椭圆的位置关系【八大题型】【人教A版(2019)【题型1点与椭圆的位置关系】1【题型2直线与椭圆的位置关系的判定】3【题型3根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围】5【题型4椭圆的弦长问题】8【题型5椭圆的“中点弦”问题】10【题型6椭圆中的面积问题】12【题型7椭圆中的定点、定值、定直线问题】17【题型8椭圆中的最值问题】22【知识点1点与椭圆的位置关系】1 .点与椭圆的位置关系(1)点与椭圆的位置关系：(2)对于点P(XoJO)与椭圆的位置关系，有如下结论:点P(Xo,必)在椭圆外5+相1；点尸(Xo,%)在椭圆内*1;点P(X0,%)在椭圆上=+需=1【题型1点与椭圆的位置

2、关系】【例】(2023全国高二假期作业)已知椭圆C:=+=1,则下列各点不在椭圆内部的是()43A.(U)B.(2,-1)C.(2,2)D.&1)【解题思路】根据点和椭圆位置关系的判断方法，分别把点的坐标代入椭圆方程的左侧部分，计算其数值大于1的点即为答案.【解答过程】由椭圆方程为C:1+q=1,43因为;+；=5VI，所以点(1,1)在椭圆内部，A错误；4312因为：+=*1,所以点(,)在椭圆外部，C正确；因为；合VI,所以点&1)在椭圆内部，D错误.故选：C.【变式1-1(2023高二课时练习)点4(,1)在椭圆1+。=1的外部，则。的取值范围是()42A.(V2,V2)B.(,/2)U

3、(/2,+)C.(-2,2)D.(-1,1)【解题思路】根据点在椭圆外部得不等式，解不等式得结果.【解答过程】因为点4(,1)在椭圆二+=1的外部，所以?+(1,解得Q(-8,2)U(2,+8),故选：B.【变式1-2(2023高二课时练习)点P(4cos,25sin)(R)与椭圆C：=1的位置关系是()43A.点P在椭圆C上B.点P与椭圆C的位置关系不能确定，与。的取值有关C.点尸在椭圆。内D.点P在椭圆C外【解题思路】将P的坐标代入到椭圆方程的左边，结合同角三角函数的基本关系即可判断点和椭圆的位置关系.【解答过程】把点P(2cos,6sin)(R)代入椭圆方程的左边为史誓+史等立43=4(

4、cos2sin2?=41,因此点尸在椭圆外.故选:D【变式1-3(2023全国高三专题练习)己知椭圆C关于X轴、y轴均对称，焦点在y轴上，且焦距为2c(c0),若点A(c,当C)不在椭圆。的外部，则椭圆C的离心率的取值范围为()B-（鸣A停，】)c.*)D(0,)【解题思路】设出椭圆方程，由于力(C,耳C)不在椭圆C的外部，得到哈+S1,结合=q2-c2,得到6e4-142+40,求出离心率的取值范围.【解答过程】设椭圆C的方程为，+V=1(bO),因为A(c,fc)不在椭圆C的外部，所以寡+Qi，因为标=1,所以/+Yw化简得：6c4-142c2+440,4qz-cz同除以不得：6e4-14

5、e240,结合e(0,1),解得：00直线与椭圆相交=有两个公共点；A=O=直线与椭圆相切=有且只有一个公共点；0直线与椭圆相离=无公共点.【题型2直线与椭圆的位置关系的判定】【例2】(2023全国高二专题练习)已知直线bx+y-3=0,椭圆=+y2=,则直线与椭圆的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.无法确定【解题思路】联立直线和椭圆方程，根据所得到的方程的解的个数来判断直线和椭圆的位置关系.【解答过程】联立I+v=1,消去y,整理得到5/-24%+32=0,该方程判别式A=(-24)2-4XIx+y-3=05X32=576-640=-640,于是此方程无解，即直线和椭圆没有交点，故直

6、线和椭圆相离.故选：C.【变式2-1（2023全国高三专题练习）已知直线/：cx+y+1=0,曲线C+1,则直线/与曲线。的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.无法确定【解题思路】求出宜线所过的定点，证明该定点在椭圆内部即可得出结论.【解答过程】解：由直线/：fcxy+1=0,得直线/过定点（0,1）,因为白+；2,即02指倍+您一1),根据点与椭圆的关系依次验证宜线和椭圆的关系得到答案.【解答过程】当M)=O,则与0,则直线%=贮，0若点A在椭圆C外，则IXO1，则IX1=图。，直线/与椭圆C相离；妃+型=1a2。消去y得：土+匕=1a2b2(2y+b2x)x2-2a2b2x0x+a4

7、b24y=0,所以A=4a4b4x一4(a2yb2xXa4b2-a4y)=4a6b2y悟+您一1)，若点A在椭圆C外，则f+W1,则A0,直线/与椭圆C相交；若点A在椭圆C上，则手+3=1,则=(),直线/与椭圆C相切；a2b2若点A在椭圆C内，则马+四0,符直线方程与椭圆方程联立，由A=O可求得实数a的值.【解答过程】因为方程/+3y2=Q表示的曲线为椭圆，贝a0,将宜线y=%-1的方程与椭圆的方程联立，221，可得4/一6%+3-Q=0,(xz+3y=a则=36-4x4x(3-)=16-12=0,解得Q=4故选：C.【变式3-1(2023秋高二单元测试)若直线y=mx+2与焦点在4轴上的椭

8、圆9+?=1总有公共点，则的取值范围是()A.(0,4B.(4,9)C.4,9)D.4,9)U(9,+)【解题思路】由题得直线所过定点(0,2)在椭圆上或椭圆内，代入椭圆得到不等式，再结合椭圆焦点在X轴上即可.【解答过程】直线y=mx+2恒过定点(0,2),若直线与椭圆总有公共点，则定点(0,2)在椭圆上或椭圆内，.之1,解得n4或nV0,n又.三+z1=1表示焦点在工轴上的椭圆，故OVV9,.4,9),9nt故选：C.【变式3-2(2023春福建莆田高二校考阶段练习)若方程3-/=x+b有解,则b的取值范围为()A.-7,7B.-2,7C.2,7D.-2,2【解题思路】根据题意画出椭圆的部分

9、，利用数形结合求出直线与椭圆相切时的b值，再求出直线过椭圆右端点时的b值，即可得到b得范围.【解答过程】设y=J3-苧,y0,两边同平方得必=3-苧，化简得?+?=1(y0),则其所表示的图形为椭圆+4=1在X轴及上方部分，43则题目转化为宜线y=x+力与上述图形有交点，设椭圆的右端点为4易得其坐标为(2,0),当直线y=X+b与半椭圆相切时，显然由图得b0,y/T+T=1,得7/+Qbx+4b2-12=0,y=X+b则A=(8b)2-47(4b2-12)=O化简得扭=7,解得b=7或一7(舍)，当直线y=x+b经过点4(2,0)时，得0=2+b,解得b=-2,则b-2,夕,故选：B.【变式3

10、-3(2023秋广东深圳高三统考期末)已知交于点P的直线I1，%相互垂直，且均与椭圆C:?+y2=1相切，若A为C的上顶点，则IP川的取值范围为()A.2,3B.1,3C.3,3D.1,3【解题思路】根据题意，设P(m,九)，由条件联立直线与椭圆方程，得到点P的轨迹是圆，从而得到结果.【解答过程】当椭圆的切线斜率存在时，设P(m,n),且过P与椭圆相切的直线方程为：y-nkx-m),联立直线与椭圆方程+y1，yn=k(xni)消去y可得，G+k2)x2+2k(nkn)x+(n-km)2-1=0所以A=4k2(n-km)2-4+k2)(n-km)2-1=0,即(3-m2)fc2+2kmn+1-n

11、2=0,设心,心为方程的两个根，由两切线相互垂直，所以七0=-1，所以三亲=1,即T2-3=1n2,所以T2+2=4(2H3),当椭圆的切线斜率不存在时，此时，m=n=1,也满足上式，所以m2+2=4,其轨迹是以(0,0)为圆心，2为半径的圆，又因为A为椭圆上顶点，所以4(0,1),当点P位于圆的上顶点时，IP川min=2-I=1,当点P位于圆的下顶点时，IP川max=2+1=3,所以IP川1,3,故选:D.【知识点3弦长与“中点弦问题”】1.弦长问题(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.Y2V2(2)弦长公式：设直线1:y=kx+in交椭圆3+方=1(4bO)于P1(XQ1),P2(M,为两点，则II=1+2x对或PP2I=1+产IM-y22.“中点弦问题”（I）解决