专题3.7 直线与抛物线的位置关系【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）.docx

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1、专题3.7直线与抛物线的位置关系【八大题型】【人教A版(2019)【题型1判断直线与抛物线的位置关系】1【题型2根据直线与抛物线的位置关系求参数或范围】2【题型3抛物线的弦长问题】3【题型4抛物线的焦点弦问题】3【题型5抛物线中的切线问题】4【题型6抛物线中的面积问题】5【题型7抛物线中的定点、定值、定直线问题】6【题型8抛物线中的最值问题】8【知识点1直线与抛物线的位置关系】1.直线与抛物线的位置关系(1)直线与抛物线的三种位置关系：相交相切相离(2)设直线/:产入+小抛物线:/=2PXSX),将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于X的方程k2x2+(2km2p)x+n2=O.若上0,当()

2、时，直线与抛物线相交，有两个交点；当=()时，直线与抛物线相切，有一个交点；当0)上一点A(XO,珀与焦点尸(号,0)的距离为IAF1=X0+当，若MN为抛物线=2px(p0)的焦点弦，则焦点弦长为IMM=XI+M+p(x,M分别为MN的横坐标).设过抛物线焦点的弦的端点为Aa,凹)方(M,必)，则四种标准方程形式下的弦长公式为：标准方程弦长公式y2=2px(p0)AB=x+x2+py2=-2px(p0)AB=p-(x+x2)x1=2py(p0)AB=y+y2+p=-2py(p0)AB=p-(y+y2)【题型3抛物线的弦长问题】【例3】(2023河南安阳统考三模)已知抛物线y2=位的焦点为F,

3、准线为h过点尸的直线交抛物线于4、8两点，且点A到，的距离为4,则MB1=()A.4B.5C.D.33【变式3-1(2023秋陕西西安高二校考期末)设经过点F(1O)的直线与抛物线必=4%相交于A,B两点，若线段4B中点的横坐标为3,则4B=()A.6B.8C.10D.12【变式3-2(2023秋贵州铜仁高二统考期末)过抛物线V=2px(p0)的焦点F作直线，交抛物线于AaO,%),8(5-),乃)两点，若IAB1=8,则P=()A.1B.2C.3D.4【变式3-3(2023辽宁朝阳朝阳市校考模拟预测)过抛物线C：y2=2p为焦点尸的直线与C交于A,B两点,过点B向抛物线C的准线作垂线，垂足为

4、。(一1,一1),则4B1=()A.B.C.18D.2044【题型4抛物线的焦点弦问题】【例4】(2023全国高三专题练习)已知过抛物线Uy=的焦点F,且倾斜角为J的直线/交抛物线C于A,B两点,则MB1=()A.32B.C.D.833【变式4-1（2023秋高二单元测试）过抛物线/=6y焦点的直线与抛物线交于点MM若IMN1=12,则直线MN的方程为（）A.2x+2y+3=0B.2x+2y-3=0C.2x2y+3=0或2x+2y+3=0D.2x2y+3=0或2x+2y3=0【变式4-2（2023全国高三专题练习）已知双曲线*3=1（。040）的离心率为2,抛物线产=轨的焦点为尸，过尸过直线1

5、交抛物线于AB两点，若!与双曲线的一条渐近线平行，则481=（）A.16B.83C.8D.y【变式43】（2023广西南宁南宁三中校考一模）已知抛物线Uy2=4%的焦点为尸，过点尸作两条互相垂直的直线1且直线小G分别与抛物线C交于A,B和O,E,则四边形AQBE面积的最小值是（）A.32B.64C.128D.256【知识点3抛物线的切线】1 .抛物线的切线过抛物线y2=2px（p0）上的点PaJ1）的切线方程是My=P（X+x1）.抛物线=2S0）的斜率为k的切线方程是y=H+（原0）.乙K【题型5抛物线中的切线问题】例5（2023河南开封开封高中校考模拟预测）已知点P（4,-2）在抛物线C:

6、产=2py（p0）的准线上，过点P作C的两条切线，切点分别为A,B,则直线48的方程为（）A.%y2=0B.2xy+2=0C.3xy+2=0D.%2y+4=0【变式5-1（2023全国高三专题练习）已知F为抛物线C:/二轨的焦点，。为坐标原点，过户作两条互相垂直的直线，1，I2,直线2与C交于4,8两点，直线，2与C交于。，E两点，（1）当A的纵坐标为4时，求抛物线C在点A处的切线方程；（2）四边形408E面积的最小值.【变式5-2（2023秋四川凉山高二统考期末）已知抛物线C:/=2Py（P0）的焦点为尸，直线y=2与抛物线C在第一象限的交点为A且MF1=3.(1)求抛物线。的方程；(2)过

7、直线x-y-3=O上的点8作抛物线C的两条切线，设切点分别为P,Q,求点C(-2,0)到直线PQ的距离的最大值.【变式5-3(2023春,云南曲靖高一校考期末)已知4、8是抛物线C:y2=8x上的两点，M是线段48的中点、,过点4和B分别作C的切线交于点P(1)证明：PM1y轴：若点P的坐标为(一4,2),求APAB的面积.注：抛物线f=2px在点a。,。)处的切线方程为yQy=p(x+x0).【题型6抛物线中的面积问题】例6(2023秋湖北荆州高二校考期末)已知抛物线。:必=8,(1)经过点M(-1,1)作直线I,若2与抛物线C有且仅有一个公共点，求1的方程；(2)设抛物线C的准线与轴的交点

8、为N,直线？n过点P(1,0),且与抛物线C交于4,B两点，48的中点为Q,若QN=底,求AANB的面积.【变式6-1(2023春贵州黔南商二统考期末)已知直线2%-,一1=0与抛物线C:/=2口旷90)交于48两点，且14B=4I(1)求P的值；(2)设尸为抛物线。的焦点，M,N为抛物线C上两点，FMF)V=O,求MFN面积的最小值.【变式62】(2023春河南南阳高二统考期末)已知抛物线氏/=%的焦点为F,过X轴正半轴上一点M的直线，与抛物线E交于4、B两点,O为坐标原点，且万5方=6.(1)求点M的坐标；(2)设点F关于直线08的对称点为C,求四边形048C面积的最小值.【变式63】(2

9、023春江西上饶高二校联考阶段练习)已知坐标原点为。，抛物线为6:/=22丫00)与双曲线白一白=1在第一象限的交点为P,F为双曲线的上焦点，且AOPF的面积为3.(1)求抛物线G的方程；(2)已知点M(-2,-1),过点M作抛物线G的两条切线，切点分别为4B,切线M4MB分别交汇轴于C,Dt求M1FMCO的面积之比.【题型7抛物线中的定点、定值、定直线问题】【例7】(2023春江西赣州高二校考期末)在平面直角坐标系%0y中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线C经过点(2,4).(1)求C的方程；(2)若C关于%轴对称，焦点为F,过点(4,2)且与“轴不垂直的直线/交。于M,N两点，直线MF

10、交C于另一点4,直线NF交。于另一点8,求证：直线AB过定点.【变式7-1(2023湖北襄阳校考模拟预测)过抛物线/=2py(p0)内部一点P(TnO)作任意两条直线ABtCD,如图所示，连接AC,BO延长交于点Q,当P为焦点并且。时，四边形ACBO面积的最小值为32(1)求抛物线的方程；(2)若点P(1,1),证明Q在定直线上运动，并求出定直线方程.【变式7-2(2023海南省直辖县级单位文昌中学校考模拟预测)已知抛物线C:/=2py(p0)的焦点为F,准线为h过点尸且倾斜角为J的直线交抛物线于点M(M在第一象限)，MN1晨垂足为N,直线N尸交轴于点。，IMD1=41(1)求P的值.(2)若

11、斜率不为O的直线。与抛物线C相切，切点为G,平行于。的直线交抛物线C于P,Q两点，且匕PGQ=;,点尸到直线PQ与到直线A的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.【变式7-3(2023春广东广州高二统考期末)已知抛物线C:y2=2p%(p0)的焦点为F,点A(2,m)在抛物线上，且满足黑=其中。为坐标原点.(I)求抛物线C的标准方程；(2)直线，与抛物线C相交于M、N两点，以MN为直径的圆过点P(1,2),作PQ1MN,。为垂足.是否存在定点Q,使得IDQ1为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【题型8抛物线中的最值问题】【例81(2023全国高三专题练习)已知抛物线C：V=2px(p0)的焦点为F,直线y=8与抛物线C交于点P,且IPF1=(1)求抛物线。的方程；(2)过点尸作抛物线C的两条互相垂宜的弦48,DE,设弦AB,OE的中点分别为P,Q,求IPQ1的最小值.【变式8-1(2023春山西太原高三校考阶段练习)已知抛物线