专题2.8 圆与圆的位置关系【七大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

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1、专题2.8圆与圆的位置关系【七大题型】【人教A版(2019)【题型1圆与圆的位置关系的判定】2【题型2由圆与圆的位置关系确定参数】3【题型3两圆的公切线长】5【题型4两圆的公切线方程或条数】8【题型5相交圆的公共弦方程】11【题型6两圆的公共弦长】12【题型7圆系方程及其应用】15【知识点1圆与圆的位置关系及判定】I.圆与圆的位置关系及判断方法(1)圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.外离外切相交-内切内含(2)圆与圆的位置关系的判定方法利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：设两圆(X)2+(yb)2=与(%)2

2、+(y瓦)2=G的圆心距为d,则d=(2t)2+(b2b)2,两圆的位置关系表示如下:位置关系关系式图示公切线条数外离dr+rz四条外切d=r+三条相交r-rdr+r2两条内切d=r-n一条内含O()时，两圆有两个公共点，相交；当=()时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当A0时,两圆无公共点，包括内含与外离.【题型1圆与圆的位置关系的判定】【例1】(2023春江西萍乡高二校联考阶段练习)圆O：x2+y2=1与圆C:x2+y2+6y+5=0的位置关系是()A.相交B.相离C.外切D.内切【解题思路】利用两圆外切的定义判断即可.【解答过程】圆。是以。(0,0)为圆心，半径/1=1的圆，圆C:

3、%2+y2+6y+5=0改写成标准方程为2+(y+3)2=4,则圆C是以C(0,-3)为圆心,半径=2的圆，则IoC1=3,r1+r2=3,所以两圆外切,故选：C.【变式1-1(2023春湖北荆州高二统考阶段练习)圆01：(%-2)2+V=4与圆。2：(%-4)2+y2=亿的位置关系为()A.外离B.外切C.相交D.内切【解题思路】计算两圆圆心距离，利用几何法可判断两圆的位置关系.【解答过程】圆。1圆心为。1(2,0),半径为/1=2,圆。2的圆心。2(4,0),半径为2=4,则两圆的圆心距为IoIo2=J(24)2+O?=2,而匕-r2=2,则圆。1与圆。2的位置关系为内切.故选：D.【变式

4、1-2(2023全国高三专题练习)已知圆01，与圆。2的半径分别为2和6,圆心距为4,则这两圆的位置关系是()A.相离B.外切C.相交D.内切【解题思路】根据给定条件，利用圆心距与两圆半径和差大小关系判断作答.【解答过程】依题意，圆01与圆。2的圆心距4等于圆。2的半径6减去圆0的半径2,所以圆内内切于圆。2.故选：D.【变式1-3X2023春安徽高二校联考阶段练习)圆C/+y2-6%-7=0与圆G：/+V+27y+6=0的位置关系是()A.外离B.外切C.相交D.内切【解题思路】先将两圆化为标准方程，再根据两圆的位置关系判定即可.【解答过程】两圆化为标准形式，可得G：-3)2+y2=16与圆

5、。2：%2+(y+7)2=1,可知半径T1=4,r2=1,于是ICIC2=J(3-O)2+(0+V7)2=4,而3=r1-r24o)存在公共点，则机的值不可能为()A.3B.32C.5D.42【解题思路】根据圆与圆的位置关系进行求解即可.一22【解答过程】因为圆M:亢2+y2=1和Ma-2或)+(y-22)=而0)存在公共点，所以两圆相交或者相内切或者相外切，即m一1MNm+1=m-18+8m+1om-14m+1,解得3m5,选项ABC满足，加的值不能为D.故选：D.【变式2-3(2023秋贵州黔东南高二校考期末)已知圆G：/+y2=1与圆C2：(x-2)2+(y-2)2N(r1)有两个交点，

6、则r的取值范围是()A.(1,2+1)B.(22-1,22+1)C.(1,2+1D.22-1,22+1【解题思路】根据两圆相交的性质直接得出.【解答过程】由题意知，圆心G(0,0)与圆心Cz(2,2),则圆心距ICIC2=2,因为圆G与圆G有两个交点，则圆C1与圆C?相交，则r-1C1C2r+1,解得2近一1rV2I+1.故选：B.【知识点2两圆的公切线】1.两圆的公切线(1)两圆公切线的定义两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.(2)两圆的公切线位置的5种情况外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；

7、相交时，有2条公切线，都是外公切线；内切时，有1条公切线；内含时，无公切线.判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。(3)求两圆公切线方程的方法求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法,设公切线的方程为严质+6,最后根据相切的条件，得到关于k力的方程组，求出人力的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.【题型3两圆的公切线长】【例3】(2023全国高二专题练习)若直线/与圆G：(%+I)?+V=1,圆C2:(%-I)?+y2=4都相切，切点分别为4、B,则IAB1=()A.1B.2C.3D.22【解题思路】设直线/交力轴于点M,推导出C1

8、为MQ的中点，A为BM的中点，利用勾股定理可求得A3【解答过程】如下图所示，设直线，交X轴于点M，由于直线，与圆Cr(x+1)2+y2=,圆。2：(%1)2+、2=4都相切，切点分别为A、B,则AeIIhBC211.AC1/BC2BG1=2=2AC,C为MG的中点，二4为8例的中点，MG=GC2=2,由勾股定理可得48=IM川=Mc12-c12=3.故选：C.【变式3-1(2023秋广东云浮高二校考期中)已知圆A的方程为/+y2-2%-2y-7=0,圆B的方程为/+y2+2%+2y-2=0.(1)判断圆A与圆B是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.(2)

9、求两圆的公切线长.【解题思路】(1)根据圆心距判断圆的位置关系，再由两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，由几何法求出弦长；(2)根据公切线的性质，利用圆心距、半径差、公切线构成的直角三角形求解.【解答过程】(1)圆A：(x-1)2+(y-1)2=9,圆B：(x+I)2+(y+I)2=4,两圆心距A8=J(I+1)2+(1+IQ=22,V3-2=223+2, 两圆相交，将两圆方程左、右两边分别对应相减得：4x+4y+5=0,此即为过两圆交点的直线方程.设两交点分别为C、0,则48垂直平分线段CO, A到C0的距离d=I巧5|=黑鱼，4z+428 CD=2病=薜=等(2)设公切线I切圆A、圆3的切

10、点分别为E,F,则四边形4EFB是直角梯形.|F|2=HFI2-(4-r)2=7,EF=7.【变式3-2(2023高二单元测试)己知圆G：Q1)2+(y-2)2=9,c2:Qr2产+(y3产=4(1)判断两圆的位置关系，并求它们的公切线之长；(2)若动直线与圆G交于P,Q,且线段PQ的长度为2n，求证：存在一个定圆C,直线，总与之相切.【解题思路】(1)求出两圆的圆心和半径，判断圆心距与半径之差、半径之和的关系即可判断两圆的位置关系，设直线RS分别与圆C,C2切于R,S,在直角梯形GCzSR中即可得公切线长；(2)利用几何法求得点G(1,2)到直线1的距离为定值，即可得定圆C的方程即可求解.【

11、解答过程】(1)由圆6：(工一1)2+。-2)2=9可得。式1,2),半径G=3,由圆。2：(%2)2+(、-3)2=4可得。2(2,3),半径上=2,C1C2=(1-2)2+(23)2=2,所以1=1-r2Ie1G1Vr1+上=5，所以圆q,G相交.设直线RS分别与圆C,C2切于R，S,连接GR,C2S,在直角梯形GC2SR中，IC1R1=3,C2S=2,1GG1=2,所以IRS1=CG2(r一q)2=1，即它们的公切线之长为1;(2)设线段PQ的中点为0,则G01PQ,因为动直线1与圆C1交于P,Q,且线段PQ的长度为2遍，所以GD=Jr*dP=乎)2=叵又因为GDJ1PQ,所以点G(1,2)到直线i的距离为5,所以直线I总与圆(-I)2+(y-2)2=3相切，所以存在一个定圆C:(%-I)2+(y-2)2=3,直线，总与之相切.【变式3-3(2023秋吉林长春高二校考阶段练习)在平面直角坐标系XS，中，已知圆G：x2+y2-4x=0,C2:x2+y2+4x+3=0,及点4(一1,0)和3(1,2).(1)求圆CI和圆C2公切线段的长度；(2)在圆G上是否存在点尸，使得+P2=12?若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由.【解题思路】(1)将圆化为标准方程，得到圆心和半径，根据