专题27 双变量型三角形面积最值问题(解析版).docx

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1、专题27双变量型三角形面积最值问题最值问题一一构造函数最值问题的基本解法有几何法和代数法：几何法是根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；代数法是建立求解目标关于某个或两个变量的函数，通过求解函数的最值普通方法、基本不等式方法、导数方法等解决的.【例题选讲】22例11(2023新全国)已知椭圆C：，+方=1(。比0)过点M(2,3),点A为其左顶点，且AM的斜率为今(1)求C的方程；(2)点N为椭圆上任意一点，求AAMN的面积的最大值.规范解答1由题意可知直线AM的方程为厂3=笈-2),即-2y=-4.当y=

2、0时，解得K=-4,所以4=4.由椭圆C：a+3=1(公加0)过点M(2,3),49A/V?可得奈+/=1,解得=12所以C的方程为金+为=1(2)设与直线AM平行的直线方程为-2y=m.如图所示，当直线与桶圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此时AAMN的面积取得最大值.联立可得3(a+2y)2+4y2=48,化简可得16y2+12my+3/48=0,1UJ=144wr-416(3w2-48)=0,即加2=54,解得胆=8,与AM距离比较远的直线方程为-2y=8,8425点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，即d=布Q=竽由两点之间的距离公式可得IAM1=(2+4)2+32

3、=35.所以AAMN的面积的最大值为/3#8.例2已知椭圆C，+=1(。0)的离心率为*点，小，坐)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)若不过原点O的直线/与椭圆C相交于A,8两点，与直线OM相交于点M且N是线段AB的中点，求AOAB面积的最大值.规范解答1由椭圆。：3+=1(。0)的离心率为3，点从小，里)在椭圆C上,得p2_4V(3)2,(3)21解得;所以椭圆C的方程为5+=1.a2+4/?2-h历2=3.43102=2c2,(2)易得直线OM的方程为y=x.当直线/的斜率不存在时，AB的中点不在直线)，=$上，故直线/的斜率存在.设直线/的方程为y=kx+n(m0)t与+=1联立消

4、y，得(3+43*+84必+4/-12=0,所以=64n2-4(342)(4w2-12)=48(3+4)t2-w2)0.4/2*-2设A(Xty),8(X2，”)，则+x2=-y-2.X1X2=3+以二由？+)2=%(即+12),C6m+2片3+4户所以48的中点M-春泰，君为)，因为N在直线y=%上，4kmC3m&”,日,3所以一石次=2Em,解得”=-5，所以4=48(12M)0,得一25vW25,且n0,AB=y1+图出-x1=(xi+x2)2-4xx2=yj而一4巡/=y12m2,又原点。到直线/的距离d=瑞，所以S皿B=弊g赢黑Y辰赤艰叵三尹超=当且仅当12加=m2,即加=Zh旧时等

5、号成立，符合一2小VmV2#,且#0,所以AOAB面积的最大值为1I例3已知平面上一动点P到定点尸(1)的距离与它到直线X=挚的距离之比为坐,记动点P的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)设直线1y=k-m与曲线C交于M,N两点,O为坐标原点，若koMkoN=,求AMON的面积的最大值.规范解答(1)设P(X,y),则32,化简，得5+y2=1.y=fctw,(2)设Ma1,y),Mx2,”)，联立(r2I)得(42+1*+8也a+4加24=0,+)1=1依题意，得=(86)2-4(42+1)(4w2-4)0,化简，得/43+1,8攵4?2，XX2=-2TXIX2=箫+，yy2=(xm)(

6、kx2w)=2XX2km(x+x2)rrr,5yJ25若koMk()N=a则不即4yN2=5xX2,*4o4km(x+x2)+4Jt2=5xX2,(4it2-5)41)+4m2=0,即(43一5)(-1)8+m2(4R+1)=0,化简，得病+炉=/=T+?k-X2=1+2O2-4-4=1+F-16/y264Zr16(4-+1)?_r7v7入/4(20J)-5+“、(4标+1)2,*原点。到直线/的距离11/(5-4-)(20-1)Sa,WeW=习MMd=5(47+t设4F+I=r,由得0,0)t因为点0,J到准线/：)，=一(的距离为所以P=4，所以圆心的轨迹曲线C的方程为xi=y.(2)证明

7、：因为x2=y,所以y=2r,设切点M(x,y),MX2，”)，则R=y,后=)*则过点M(X”的切线方程为yy=2(一),即y=2x:一昂即y=2x-y.同理得过点MK2,”)的切线方程为y=2x2x-y2因为过点M,N的切线都过点A(即，泗)，所以M)=2rxo川，yo=2x2o-y2i所以点M(X1,),MX2,”)都在直线,o=2xxo-J上，所以直线MN的方程为yo=2xxo-yt即2x-y-yo=O.又因为点A(X0,M)是直线xy1=0上的动点，所以XO加一1=0,所以直线MN的方程为2v-j-(-1)=0,即x0(2v-1)(1-y)=0,所以直线MN恒过定点G，1).(2x0

8、r-y-,yo=O,、联立j_7得f_20r+yo=O,又Xo一加一=。，Iy,/=4.诏-4(沏-1)0,所以X2-Zmr+即一1=0,则x+x2=1o,.X1X2=X01，所以MN=y(Ar)(xx2)241x2=*(14)(Zvo)2-4(xo-1)=(1+4)(4-4xo+4).又因为点4即,川)到直线入砧一)，一刃=0的距离为d2ro-和M)1m14a2-2(q-1)|_1+4面2-q13+4高所以S=MNd=(+4)(4-4o4)2,v-.r+1|*14=25?一知+1x-松+1|.令i=-m+1=弋(即一02+,即S=2r,所以当点A的坐标为，一3时，AAMN的面积S取得最小值为

9、2p.I例5已知抛物线厂f=2py(p0),直线y=2与抛物线交于A,8(点8在点A的左侧)两点,且A8=45.(1)求抛物线在A,8两点处的切线方程；(2)若直线/与抛物线T交于M,N两点，且M,N的中点在线段A8上，MN的垂直平分线交y轴于点。，求。例N面积的最大值.I规范解答(1)由x2=2py,令y=2,得x=2g,所以4、)=4小,解得p=3,即X2=6y.由y=*，得)=?故所以在A点的切线方程为y-2=2(-23),即2-3y-23=0;同理可得在B点的切线方程为2x+3y23=0.(2)由题意得直线/的斜率存在且不为0,故设/：y=Ax+i,M(x,y),N(X2,”)，由x2

10、=6y与y=Ax+，联立，得x26射一=0,又=36A2+24m0,故x+x2=6上XIM=6?，故IMM=N1+曰勺36必+24m=2471+#3+2%又yI+V=kx+X2)2/n=61r+2w=4,所以m=23k2,所以IMN1=231+24-32,由/=36标+24m0,得一斗&邛且厚0.因为M,N的中点为(3生2),所以M,N的垂直平分线方程为y-2=-令X=0,得y=5,即Q(0,5),所以点Q到直线A-y+2-32=0的距离d=匚毛专身=37,1+Ar所以SAQMN=W2471+R、4一3曰3、1+F=35(1+/)2(4一3炉).令1+好=，则d=-1,则1VV,故SAoMN=

11、3小7炉(73).设NO=/。一3)，则八)=14“一9/,结合1VV0，得1VVg；令/()V0,得互手，所以当“=3即女时，(SAQAW)max=3小X号7-3喈=【对点训练】1.如图所示，已知直线/：y=Ax-2与抛物线C：/=-20。乂)交于4,8两点，O为坐标原点，OA+OB二(-4,-12).(1)求直线/和抛物线C的方程；(2)抛物线上一动点尸从A到B运动时，求AABP面积的最大值.y=k-2t、1 .解析(1)由,得W+2pH-4p=0.xz-2pyf设Aa,y),B(X2,”),Wx+x2-2pktj+.V2=2)-4=-22-4.因为0A+3=(xi+x2,y+3)=(-2

12、pk,一2/4)=(一4,-12),所以2PA=-4,-2p1-4=-2tp=1,解得_所以直线/的方程为y=2t-2,抛物线C的方程为f=-2y.(2)设P(X0,泄)，依题意，知抛物线过点P的切线与/平行时，4AAP的面积最大，又y所以一沏=2,故Xo=2,5=-p=-2,所以p(2,2).此时点P到直线/的距离d=|2x(-2)-(-2)-2|_4_4/522+(-1)255,y=2-2,C由j,得Jr+4x4=0,故内+刈=4,xX2=4tx-=-2yf所以AB=71+K(K+犯了-4xm2=-122(-4)24x(4)=410.4Tb所以48尸面积的最大值为1-=82.2 .椭圆C：a+方=1(bO)的离心率为坐短轴一个端点到右焦点的距离为小.(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率存在的直线/与椭圆C交于A,B两点,坐标原点。到直线/的距离为坐，求AOB面积的最大值.2.解析(1)设椭圆的半焦距为c,依题意知J=亚a3，z=3,/.c=2,6=1,所求椭圆方程为5+y2=1.(2)设A(X1,y),8(x2,”)，设直线A8的方程为y=x+m.由已知Tfc=坐，得2+D把y=x+/代入椭圆方程，整理，得(3二+1)/+63:+3/-3=0.J=362m2-4(3A21)(32-3)=36A-12zn2120.71+2=34