专题2.6 圆的方程【七大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

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1、专题2.6圆的方程【七大题型】【人教A版(2019)【题型1求圆的标准方程】1【题型2求圆的一般方程】3【题型3二元二次方程表示圆的条件】5【题型4圆过定点问题】6【题型5点与圆的位置关系】8【题型6圆有关的轨迹问题】9【题型7与圆有关的对称问题】111圆的方程】1 .圆的定义圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.2 .圆的标准方程(1)圆的标准方程：方程-o)2+(y-b)2=2(0)叫作以点m力)为圆心，r为半径的圆的标准方程.(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.(3)圆的标

2、准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.3 .圆的一般方程(1)方程/+y2+Qx+后,+/=0(D2+E之-4/0)叫做圆的一般方程.(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.下列情况比较适用圆的一般方程:已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数O,E,B已知圆上两点,圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心亨)代入圆心所在的直线方程，求待定系数O,E,F.

3、【题型1求圆的标准方程】【例1】(2023全国高三专题练习)过A(0,0),B(1,1),C(4,2)三点的圆的一般方程是()A. X2+y2+8x+6y=0B. X2+y2-8x-6y=0C. X2+y2+8x-6y=0D. %2+y2-8x+6y=0【解题思路】设所求的圆的方程为/+y2+zc+Ey+F=o,代入已知点得方程组，求解可得圆的方程.【解答过程】解：设所求的圆的方程为/+V+Ey+=0,因为A(0,0),B(1,1),C(4,2)三点在圆(F=0,(D=一8,上，所以D+E+F+2=0,解得E=6,于是所求圆的一般方程是小+y2-8+6y=0.(4D+2E+F+20=0,(尸=

4、0,故选：D.【变式1-1(2023春重庆沙坪坝高一校考期末)在平面直角坐标系Xoy中，已知P1(0,2)、Pz(4,4)两点,若圆M以PiPz为直径，则圆M的标准方程为()A.(%2)2+(y-3)2=5B.(x-2)2+(y-3)2=5C.(x-I)2+(y-4)2=5D.(%-I)2+(y-4)2=5【解题思路】求出圆心M坐标以及圆M的半径，即可得出圆M的标准方程.【解答过程】由题意可知，圆心M的横坐标为等=2,纵坐标为学=3,即点M(2,3),圆M的半径为IMPI1=(2-O)2+(3-2)2=5,因此,圆M的标准方程为(刀一2)2+(y-3)2=5.故选：A.【变式1-2(2023春

5、湖北襄阳高二校考开学考试)过点4(1,一1),F(-1,1),且圆心在直线+y-2=0上的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-I)2=4B.(x+3)2+(y-I)2=4C.(%-3)2+(y+I)2=4D.(x+I)2+(y+I)2=4【解题思路】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线x+y-2=0上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程.【解答过程】因为过点4(1,-1)与8(T,1),所以线段A8的中点坐标为(0,0),=a=-1,所以线段A8的中垂线的斜率为k=1,所以线段A8的中垂线的方程为y=%,又因为圆心在直线+y-2=0上，所以1+；1广,解得,所以圆心为(

6、1,1)，r=(1-1)2+(1+1)2=2所以圆的方程为(%-I)2+(y-I)2=4.故选:A.【变式1-3(2023秋河北石家庄高二校考期末)已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是()A.X2+y2+4x-2y=0B.x2+y24x+2y5=0C.x2+y2+4x-2y-5=0D.x2+y2-4x+2y=0【解题思路】根据中点坐标公式求出直径两端点的坐标，然后求出半径，再求出圆的方程即可.【解答过程】设直径的两个端点分别A(Q,0),8(0,b),圆心C为点(一2,1),由中点坐标公式，得等=-2,手=1,解得=-4,b=2.半径r=(-2+4

7、)2+(10)2=5,：.圆的方程是(+2)2+(yI)2=5,BPx2+y2+4x-2y=0.故选：A.【题型2求圆的一般方程】【例2】(2023秋天津和平高二校考阶段练习)已知圆C经过原点。(0,0),A(4,3),8(1,-3)三点,则圆C的方程为()A.X2+y24x-3y=0B.x2+y2-x+3y=0C.X2+y2-5x-5=0D.x2+y2-7x+y=0【解题思路】设圆的方程为/+y2+0%+Ey+F=o(D2+F2-4FO),(16+9+4D+3EF=0解方程组1+9+D-3F+F=0即得解.F=O【解答过程】设圆的方程为/+V+Ey+F=o(D2+E2-4F0),把点。(0,

8、0),A(4,3),8(1,-3)代入得16+9+4O+3E+F=01+9+D-3E,+F=0,F=O解得。=-7,F=1,F=O,所以圆的方程是/+y2-7工+y=0.故选：D.【变式2-1(2023全国高二专题练习)与圆/+y2-2x+4y+3=0同圆心，且过点(1,一1)的圆的方程是()A. X2+y2-2x+4y-4=0B. X2+y2-2x+4y+4=0C.x2+y2+2x-4y-4=OD.x2+y22x-4y+4=O【解题思路】根据同圆心,可设圆的一般式方程为/+y2-2x+4y+m=0,代入点即可求解.【解答过程】设所求圆的方程为/+y2-2%+4y+m=0,由该圆过点(1,一1

9、),得m=4,所以所求圆的方程为M+y2-2x+4y+4=0.故选：B.【变式2-2(2023春天津武清高二校考开学考试)己知圆C经过两点4(0,2),8(4,6),且圆心C在直线，:2%-y-3=0上，则圆C的方程为()A.X2+y26x6y16=0B.x2+y22x+2y8=0C.X2+y26x6y+8=0D.x2+y22x+2y-56=0【解题思路】先将圆的一般方程写出，然后利用待定系数法即可求解.【解答过程】设圆的一般方程为一+y2+D%+Ey+F=0,圆心坐标为(一!一因为圆C经过两点4(0,2),8(4,6),且圆心C在直线1:2X-y-3=0上，CXV)-V)-3=0(D=-6所

10、以022EF=0，解得七一6,U2+62+4D+6E+F=01/7=8所以圆C的方程为无2+y2-6x-6y+8=0.故选：C.【变式2-3(2023秋全国高二专题练习)已知A(2,0),8(3,3),C(-1,1),则ABC的外接圆的一般方程为()A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+y2-2x4y+2=0C.x2+y2-2x-4y=0D.x2+y2-2%-4y+1=0【解题思路】设外接圆的方程为：x2+y2+DxEy+F=0,然后将A,8,C三点坐标代入解方程组求出O,E,F的值，从而可求出AABC的外接圆的一般方程.【解答过程】设外接圆的方程为：x2+y2Dx+Fy+F=0,(22+O

11、2+2D+0F+F=0(0=-2由题意可得：32+32+3D+3E+f=0，解得：=一4,.(-I)2+I2-D+F=0(F=0即4BC的外接圆的方程为：x2+y2-2x-4y=0.故选：C.【知识点2二元二次方程与圆的方程】1 .二元二次方程与圆的方程(1)二元二次方程与圆的方程的关系：二元二次方程NM+Bxy+cy+Dx+F=。，对比圆的一般方程2+y2+m+a+F=o(D2+E2-4F0),我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.(2)二元二次方程表示圆的条件：IA=CO二元二次方程/+Bq，+cy+)+4+yr=。表示圆的条件是RBO5) S)(

12、9【题型3二元二次方程表示圆的条件】【例3】(2023春广东湛江高二统考期末)己知/+y2+2H-4y+H+k-2=0表示的曲线是圆，则A的值为()A.(6,+8)B.-6,+)C.(-8,6)D.(-8,6【解题思路】方程配方后得(x+k)2+(y-2)2=6-3根据圆的半径大于0求解.(解答过程】由方程/+y2+2kx-4y+k2+k-2=O可得(+A)?+(y-2)2=6-匕所以当r=S=T0时表示圆，解得AV6.故选：C.变式3-1(2023春河南高三阶段练习)iia。可得答案.【解答过程】因为方程2+2y2+2ax+6y+5a=0,即一+/+以+3y+手=。表示圆，等价于a?9IOa

13、0,解得9或Q1.故a1C.mvD.m1【解题思路】根据二元二次方程表示圆的条件，可以求得若方程/+/+4皿一2丫+5小=0表示圆，必有16m2+4-20m0,即可求出m的取值范围.【解答过程】方程/+y?+4m2y+5n=O表示圆，必有162+420n0,p4m25n+10,解可得，m1,故选：B.【题型4圆过定点问题】【例4】(2023全国高三专题练习)已知点A为直线2x+y-IO=O上任意一点，。为坐标原点.则以OA为直径的圆除过定点(0,0)外还过定点()A.(10,0)B.(0,10)C.(2,4)D.(4,2)【解题思路】设08垂直于直线2x+尸-10=0,可知圆恒过垂足8；两条直线方程联立可求得B点坐标.【解答过程】设OB垂直于直线2%+y-10=0,垂足为B,则直线08方程为：y=x,由圆的性质可知：以OA为直径的圆恒过点B,由y=1x得：；=；,以。4为直径的圆恒过定点(4,2).