专题26 单变量型三角形面积最值问题(解析版).docx

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1、专题26单变量型三角形面积最值问题最值问题一一构造函数最值问题的基本解法有几何法和代数法：几何法是根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；代数法是建立求解目标关于某个或两个变量的函数，通过求解函数的最值普通方法、基本不等式方法、导数方法等解决的.【例题选讲】例1在平面直角坐标系中，圆。交.I轴于点B，尸2，交y轴于点囱，B2.以8“比为顶点，B分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点(1,乎)(1)求椭圆E的标准方程；(2)设经过点(一2,0)的直线/与椭圆E交于M,N两点，求AFzMN面积的最大值.破JK思路题干

2、中给出直线/过点(一2,0),可设出直线/的方程，利用弦长公式求IMM,利用点到直线的距离求d,从而可求的面积，要求AaMN面积的最值，需建立相关函数模型求解.规范解答1(1)由已知可得，椭圆E的焦点在彳轴上.设椭圆E的标准方程为+/=1(4b0),焦距为2c,则b=c,.02=+/=2,，椭圆E的标准方程为5+=1.又椭圆E过点(1,号)，巧仔=1,解得=1.椭圆E的标准方程为务y2=1.(2)由于点(-2,0)在椭圆E外，J直线/的斜率存在.设直线/的斜率为攵，则直线/：y=Hx+2),设M(X,j),N(X2,yi)A=MX+2),由&2_消去y得，(1+22)+8+82-2=0.由/6

3、得6*2-41c(1+2A2)2,8炉8标一2炉(24M)(1+2K)2从而Xi+2=+2jpXK2=+2&2,IMN1=T1+比一X2=21+2二点B(1,0)到直线/的距离d=得N，:，AFzMN的面积S=MNd=3、/令1+22=G则r1,2),当即r=f传1，2)时，S有最大值，SmaX=此时A=。?.当直线/的斜率为士*时，可使ABMN的面积最大，其最大值为乎.99Iffi12己知。为坐标原点，(X1,y),Na2,”)是椭圆+，=1上的点，且XIX2+2y2=0,设动点P满足成+2曲.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若直线/：y=x+机(印0)与曲线C交于A,B两点，求面积的最

4、大值.规范解答(1)设点P(x,y)t则由孙=威+2凉，得(K,y)=(x,#)+2(也，”)，即x=x+22,y=y+2v2.因为点M,N在椭圆彳+勺=1上，所以后+2.y?=4,+2yi=4.故X2+2y2=(6+45+4a2)+2(j+4货+4yj2)=(x?+2,彳)+4(a+2钱)+4(X2+2y世)=20+4(x2+2yo).又因为X1M+2M=0,所以x2+2y2=20,所以动点尸的轨迹C的方程为x2+2y2=20.H2yZ=20,(2)将曲线C与直线/的方程联立，得j二一消去y得3f+4”ix+2加-20=0.y=xn,因为直线/与曲线C交于A,8两点，设A(X3，J3),8(

5、m,J4),4/勿所以=16243(2w/220)0.又m0,所以Ow23O,x3+x4=亍，X3X4=2,-一20-3-又点O到直线A8：-y+m=0的距离d=1,B=+Px3X41=(1+2)(x3+x4)2-4x3x4=j2x(14xhT20)=zJy(30-n2),所以Soab=Y果30-ix筮=率勺而(30-谓)0.所以AOAB面积的最大值为52.例3已知直线/1：a-y-1=0,直线/2：x+5y+5=0,直线/1与/2的交点为M,点用的轨迹为曲线C.(1)当。变化时，求曲线。的方程；(2)已知点以2,0),过点七(一2,0)的直线/与C交于A,8两点，求AABO面积的最大值.规范

6、解答(1)由Or-y+1=0x+54y+5=O消去,得曲线C的方程为彳+y2=1(y-1,即点(0,x=my2,得(小+5)y2-4my1=0,-1)不在曲线C上).设A3,y)t8(m,”)，/：X=my2,16m24452I(w2+5)2hw2+5m25则“+”=普？W=一房？故AABD的面积S=2帆-y11=24(y2+y-4y=2yJ;设/=、+,rit+oo),则|小，411当f=,即r=2,，=V时，AABD的面积取得最大值小.例4(2019全国H)已知点A(2,0),BQ,0),动点M(斯y)满足直线AM与BM的斜率之积为T记M的轨迹为曲线C(1)求C的方程，并说明C是什么曲线.

7、(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，1r轴，垂足为E,连接QE并延长交C于点G.证明：APQG是直角三角形；求APQG面积的最大值.规范解答1由题设得；=T化简得Y+S=1(2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在X轴上的椭圆，不含左右顶点.y=H,(2)设直线尸Q的斜率为公则其方程为y=(kO).由得x=/一.72i71+2K2设“=d+29则尸(，成)，2(-uk),Eu,0).于是直线QG的斜率为5，方程为y=全1).由尸杀一),衿=I,得(2+然)/2x+22-8=0.设G(g,如)，则一和XG是方程的解，故XG=山鞋0，由此得加=备.I必2+3一诙1从而直线PG的斜率

8、为(3d+2)-=一7所以尸。1PG,即APQG是直角三角形.“2+F-1+2(1+。由得IPQ1=2g1+F,IPG1=2啜詈上一1幽1+F)所以APQG的面积S=习P0PG=不会运命=设，=攵+力则由Q0得伫2,当且仅当左=1时取等号.Qf因为S=T在2,+8)单调递减，所以当f=2,即Z=I时，S取得最大值，最大值为竽.因此，APQG面积的最大值为竽.例5己知抛物线y2=2pMp0)的准线经过椭圆，+1=1的一个焦点.(1)求抛物线的方程;(2)过抛物线焦点尸的直线/与抛物线交于A,B两点(点A在X轴上方),且满足#=2协,若点T是抛物线的曲线段AB上的动点，求AABT面积的最大值.规范

9、解答I(1)因为椭圆5+5=1的左焦点为Q(1,0),抛物线的准线为直线工=一22所以一=1,解得p=2,所以抛物线的方程为k=4x.(2)设AaI,y),(x2,.V2),易知y0,y20,则y+2=4,%yi”=-4,1r=4x所以一2货=-4,即竺=一6，则y=2i,所以Zn=X9=乎.所以4B=1+m2,2)24x(4)=39-2解法一(切线法)：易知当AABT面积最大时，点T为与直线/平行且与抛物线相切的切点,设与直线/平行的直线方程为“=坐y+f,代入J2=M得y2-v-4r=0.令/=(一啦)24(4)=2+16f=0,解得F=一(,则与直线/平行且与抛物线y2=4x相切的直线方

10、程为X=坐y-/即4-+T=0.又直线/的方程为4-2y-4=0,所以这两条平行直线间的距离为d=42+(-2)2324.所以AABT面积的最大值S=5A用:k9-2X1-2-23解法二(切点法)：设点T的坐标为，-2O)的左、右两个焦点分别为E,B,离心率e=乎，短轴长为2.(1)求椭圆的方程;(2)点A为椭圆上的一动点(非长轴端点)，AB的延长线与椭圆交于8点，40的延长线与椭圆交于C点，求A48C面积的最大值.1.解析(1)由题意得,cy2e=a=22b=2,2=Z2c2,a=y2fb=1,(2)当直线AB的斜率不存在时,不妨取A1故椭圆的标准方程为上+j2=1.(1,乎),1,-乎)c

11、(-1,一孚),产总一I),号+)2=1,HB1=(1+2)(-i+x2)2-4x21=点0到直线k-y-k=0的距离d=4322+1-44+12A2+I,。是线段AC的中点,故Sc=522=2.当直线44的斜率存在时，设直线A8的方程为y=r-1),联立方程,消去y化简得(2K+1W422+2F2=0,4422设Aa1,y),5(X2,”)，则“+x2=本币，XIX2=2、+，点C到直线AB的距离为2d=,f=,y/K+1Jt2+4(2F+1)2b1)过点P(2,1),且离心率e=22.(1)求椭圆。的方程;(2)直线/的斜率为当直线/与椭圆C交于A,8两点，求雨8面积的最大值.2F3412

12、 .解析(I)V2=f12=42=4护，又/+讲=1，=8,b2=2.故所求椭圆C的方程为1+=1.O乙设/的方程为y=x+m,点4(即，y),Bg”)，联立V=1,消去y得2+21y2w2-4=0,-V2=2m2-4,因此Sa-8=J4B=;x、5(4，2)=、切2(4一加2)J=2,当且仅当m2=2即m=5时上式等号成立，故A%B面积的最大值为2.3 .己知椭圆C：宗+=1(b0)的左、右焦点分别为尸”F2,点P(1,监在椭圆上,且有IPQ1+IPBI=22.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过尸2的直线/与椭圆C交于A,B两点,求AO8(O为坐标原点)面积的最大值.、历r2V24 .解析(1)由IpFI1+PBI=26，得2=25,.=5,将尸(1,r)代入,+方=1,得2=1.椭圆C的标准方程为曰+y2=1Z/(2)由已知，直线，的斜率为零时，不合题意，设直线/的方程为-1=my,A(X),6(X2,V),x=nv1,联立，得r2+222消去X化简整理得(m2+2)y2+2Z)11=0,1-2m巾+及=寸，由根与系数的关系，得J_产二E.*.XAoB面积的最大值为乎.5 .己知抛物线G：)2=4X和C2：f=2pNP0)的焦