专题23 参数及点的坐标(横或纵)型取值范围模型(解析版).docx

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1、专题23参数及点的坐标(横或纵)型取值范围模型【例题选讲】例1(2019全国)己知尸I,尸2是椭圆C：，+方=1(bO)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.(1)若APO尸2为等边三角形，求。的离心率；(2)如果存在点P,使得PFI上PF2,且的面积等于16,求b的值和a的取值范围.规范解答I(1)连接尸F1(图略).由APOB为等边三角形可知，在ABP尸2中,NQPF2=90。，PF2=c,IPQI=5c,于是2=仍尸1|十|尸产2|=(5+1)6故C的离心率为e=5=5-1.Yy(2)由题意可知，若满足条件的点P(x,y)存在，则52c=16,j1=T,NX-CXC即CM=I6,，jr

2、+y2=c2,，又，+=1由及。2=从+2得y2=%.又由知V=,故匕=4.由及a2=b2-c2得所以c22,从而/=+金262=32,故a4y2.当6=4,的4啦时，存在满足条件的点R所以方=4,的取值范围为41+8).OO-例2已知标1,直线/：-my-=0,椭圆C：+y2=1,Q,匕分别为椭圆C的左、右焦点.(1)当直线/过右焦点正2时，求直线/的方程；(2)设直线2与椭圆C交于A,B两点,aAAB,2k8PI尸2的重心分别为G,H,若原点O在以线段G”为直径的圆内，求实数机的取值范围.规范解答(1)因为直线/：Xmy一百=O经过尸2(4户一1，0),所以1=勺,得m2=2.又因为切1,

3、所以m=1故直线/的方程为-v-1=0.(2)设A(X,y),B(X2、”),得2y2my+-1=0,则由/=评-8(N-IJ=_赤+80,知汴j,2=y-2.由于尸1(c,0),F2(c,0),可知Gg,，)，“住，/).因为原点。在以线段G为直径的圆内，所以万。说0,即由及+6)”0.所以X1X2yj2=(如+田鼠+夕+j2=(w2i)(y-)O,22.又0%V2,21),联立，可得=5V2V2,舒=/-(4,竽)，4V”XKT,*tKrNI.4M1VK31z1实数2的取值范围为(1,3).例4己知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C,其上一点Q到两个焦点居，民的距离之和为4,离心率喈.(1)

4、求椭圆C的方程；(2)若直线/与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN恰被直线x=-T平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y=七十机，求机的取值范围.I破题思路I(2)给出线段MN恰被直线X=一3平分，弦MN的垂直平分线方程为y=+?，用y=k-rn是弦MN的中垂线及MN的中点在直线=-,可设出中点坐标yo,建立泗与？的关系，通过把范围求范围或建立,与的关系式.注意到MN的中点在椭圆内部及直线X=-1,其隐含条件为线段MN的中点纵坐标的范围可确定或联立直线/与椭圆方程，利用判别式/X)求解.I规范解答(1)由题意可设椭圆C的方程为+E=ig比0),由条件可得=2,c=3,则6=1.2故椭圆C的方

5、程为:+f=1.（2）法一：设弦MN的中点为K一/yo）,M（M,加），Mm,孙），则由点M,N为椭圆。上的点，可知4+=4,4忌+成=4,两式相减，得4（XM-XN）aw+xN）+（yww）G%+）w）=0,将XM+必=2乂（一；）=-1,加+加=2加U：=-代入上式得2=一5.又点一泗）在弦MN的垂直平分线上，所以yo=一3+m，所以i=yo+*=5o.由点一今州）在线段B用上朋（,川），B（xb,冲）为直线X=-T与椭圆的交点，如图所示，所以yB,yfoyb,即一小和=4,4+=4,两式相减，得4（血一Xn）（XW+xn）+Gm-川）。以+加）=0,将xm+xn=2x（-：）=1,加+加

6、=2m一代入上式得y。=2九Xm-NK3-2又点K-V州）在弦MN的垂直平分线上，所以yo=-k+m,所以m=,o+=设直线/的方程为y+2k=一疝+号，即1一如一23一今42j2=4,联立,1消去X,得（4F+1）y2+8以2+y+16?+8炉-3=0,x=-ky-21r-yr/由/0,得k（坐O）U（0,理），所以?=一强（一手，O）U（0,坐）,即M的取值范围为（一邛O）U，I题后悟通I利用点差法求解第（2）问时，关键是利用点差法得到目标参数m与），（）的关系，再根据点不一今刊）与椭圆的位置关系得到.血的取值范围，从而求得目标参数相的取值范围.很多同学在解决本题时往往出现如下失误：忽视”

7、的取值范围而造成思路受阻无法正确求解；利用判别式法求解此题时，抓住直线与圆锥曲线相交这一条件，利用判别式d0构建加与攵的关系式，从而得所求，但部分考生忽视/X),导致思路段阻而无法求解.利用点在曲线内(外)的充要条件构建目标不等式的核心是抓住目标参数和某点的关系，根据点与圆锥曲线的位置关系构建目标不等式.利用判别式构建目标不等式的核心是抓住直线与圆锥曲线的位置关系和判别式J的关系速立目标不等式.例5己知离心率为坐的椭圆C焦点在y轴上，且以椭圆的4个顶点为各顶点的四边形的面积为4,过点M(0,3)的直线/与椭圆。相交于不同的两点A、B.(1)求椭圆C的方程；(2)设P为椭圆上一点，且温+彷=7分

8、(O为坐标原点).求当A8V5时，实数2的取值范围.规范解答I设椭圆的方程为g+5=1(abO),由题意可知%得a=2b.2又由题意知24b=4,所以以=2,h=t椭圆方程为+；=1(2)设4(即，y)9B(X2,”),Pa3,J3).当直线AB的斜率不存在时，直线AS的方程为X=0,此时IAB1=45,与题意不符.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=H+3,y=Ax+3,由,2+-消去y得(4+2)x2+6依+5=0,所以=(6A)2-20(4+公)，由/0,得35,6k524则加+及=4+4，XrX2=4+炉，y+j2=(+3)+(5+3)=4+,因为IAB1=J(xX2)2+(

9、,2)23，所以区小,解得一百VdV8,所以5VKV8.因为苏+彷=A分，即,X)+(X2,J2)=2(X3,)，所以当J=O时，由次+彷=0,6Z24得总+X2=在返=0,+”=备=0,解得20,所以此时符合条件的直线/不存在;当i0时，X3=Xi+m-6ky+)t224=44+FY1=;=44+Q)-6k因为点Pa3,”)在椭圆上，所以：(4+F)1-4十2z(42)2=1化简得下=14因为52f=-2(-1),直线BN：y=-,所以M一半).、_,2/2*72尸2设M(mf0),由A1M,N二点共线得7_=Fn于是m=?_=2+*_所以?2.经检验，m2满足题意.综上，点M的横坐标的取值

10、范围是(一8,0)U(2,+oo).I例7椭圆C：A+E=1(人0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为坐，过点人且垂直于“轴的直线被椭圆。截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PR,PF?,设NRP尸2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围.I规范解答将X=-C代入椭圆的方程5+3=1,得y=.由题意知平=1,故。=2户又e=5=零则5=3，即a=26，所以。=2,/?=1,故椭圆C的方程为，+y2=1.，”由84日rdz7A1E,zkZ的俎止11-四4PrJIPF11IF1M(2)由PAf/FiPB的角彳.小付IQM-IB

11、M，即PBI一尸2MT设点Pa0,yo)(-2=2+.vo,IPBI=(3-xo)2+=2o.又IQM=Im+41，F2=h-3,且一5VmV5,所以I尸IM=6+小，F2f1=3所以，2+2向_小+加亚3-w,22a,m.333化简得M=WXO,而一2VXoV2,因此一故实数a的取值范围为(一方，!).例8已知直线K=-2上有一动点,过点。作直线垂直于y轴，动点P在上,且满足芬殖=0(。为坐标原点)，记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知定点M(T0),心，0),4为曲线C上一点，直线AW交曲线。于另一点8,且点A在线段MB上,宜线AN交曲线。于另一点。,求AMBO的内切圆半径，的取值范围.I规范解答I(1)设点P(x,y),则。(一2,y)1=(x,y),=(一2,y).芬诙=O=O,=-2+y2=0,即y2=2