专题2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）.docx

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1、专题2.2直线的方程(一)：直线方程的几种形式【八大题型】【人教A版(2019)【题型1直线的点斜式方程及辨析】2【题型2直线的斜截式方程及辨析】2【题型3直线的两点式方程及辨析】3【题型4直线的截距式方程及辨析】4【题型5直线的一般式方程及辨析】5【题型6直线一般式方程与其他形式之间的互化】6【题型7求直线的方向向量】7【题型8根据直线的方向向量求直线方程】7【知识点1直线的点斜式、斜截式方程】1 .直线的点斜式方程(1)直线的点斜式方程的定义：设直线/经过一点尸(XOJ0),斜率为人,则方程y泗=MXXo)叫作直线/的点斜式方程.(2)点斜式方程的使用方法：已知直线的斜率并且经过一个点时，

2、可以直接使用该公式求直线方程.当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角a=90。，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示,但因为/上每一个点的横坐标都等于Xi,所以直线方程为X=汨；若直线的倾斜角。户90。，则直线的斜率k=tana,直线的方程为yy0=(tana)(xx0)2 .直线的斜截式方程(1)直线的斜截式方程的定义：设直线/的斜率为上在)，轴上的截距为瓦则直线方程为广去+力，这个方程叫作直线/的斜截式方程./a(0,加X(2)斜截式方程的使用方法：已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.【题型1直线的点斜式方程及辨析】【例1】（2023春江西九江高二校考

3、期中）过两点（0,3）,（2,1）的直线方程为（）A.Xy-3=0B.X+y-3=0C.%+y+3=0D.%y+3=0【变式1-1（2023上海高二专题练习）过点P（-5,7）,倾斜角为135。的直线方程为（）A.X-y+12=0B.x+y-2=0C.x+y-12=0D.xy+2=0【变式1-2（2023秋广东广州高二校考期末）经过点（1,2）,且斜率为2的直线方程是（）A.2%y=0B.2x+y=0C.x2y+1=0D.x+2y-3=0【变式1-3（2023全国高二专题练习）方程y=k（x-2）表示（）A.通过点（2,0）的所有直线B.通过点（2,0）且不垂直于F轴的所有直线C.通过点（2,

4、0）且不垂直于X轴的所有直线D.通过点（2,0）且除去彳轴的所有直线【题型2直线的斜截式方程及辨析】【例2】（2023全国高二专题练习）直线2x+y-3=0用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（）A.9+9=1B.y=2x+3-32c.y-3=-2（x-0）D.X=-jy+1【变式21】（2023秋高二校考课时练习）与直线y=-x+2垂直，且在X轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（）.A.y=X+2B.y=X-2C.y=-X+2D.y=+4【变式22】（2023秋重庆南岸高二校考期中）经过点A（2,3）,且倾斜角为的直线的斜截式方程为（）4A.y=X+1B.y=X1C.y=-x-1D.y=x

5、+1【变式2-3（2023秋江西吉安高二校考期中）与直线2x-y-1=0垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（）A. y=-%+4J2B. y=x+4或y=x4C. y=x+4D. 丫=+4或丫=；%-4【知识点2直线的两点式、截距式方程】1 .直线的两点式方程(1)直线的两点式方程的定义：设直线/经过两点Ka,凶)，p2(2,y2)(.2fM%)，则方程匕=H二A叫作直线/的两点式yyX2-M方程.(2)两点式方程的使用方法：已知直线上的两个点Aa,K),R(X2,%)，且MM,M%时，可以直接使用该公式求直线方程.当M=X2,凹分2时，直线方程为X=M(或X=X2).当XX2,凹

6、=丁2时，直线方程为N=M(或y=%)2 .直线的截距式方程(1)直线的截距式方程的定义：设直线/在X轴上的截距为。，在)，轴上的截距为。，且。和，厚0,则方程?+方=1叫作直线/的截距式方程.y8(01A(a,0)X(2)直线的截距式方程的适用范围：选用截距式方程的条件是存0,bo,即直线/在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.(3)截距式方程的使用方法：己知直线在X轴上的截距、)，轴上的截距，且都不为。时，可以直接使用该公式求直线方程.已知直线在X轴上的截距、)，轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为产射，利用直线经过的点的坐

7、标求解匕得到直线方程.【题型3直线的两点式方程及辨析】【例3】(2023全国高三专题练习)已知直线，过点G(1,-3),H(-2,1),则直线1的方程为()A.4xy7=0B.2x3y-11=0C.4x+3y+5=0D.4x+3y-13=0【变式3-1(2023秋浙江温州高二统考期末)过两点4(3,-5),B(-5,5)的直线在y轴上的截距为()A.-B.-C.-D.I4455【变式3-2(2023秋浙江杭州高二校联考期中)已知直线/过点G(1,-3),H(2,1),则直线E的方程A.4x+y+7=OB.4x-y-7=0C.2x-3y-11=OD.4xy+7=O【变式3-3（2023高二课时练

8、习）已知直线/经过（一2,-2）、（2,4）两点，点（1348,m）在直线/上,则旭的值为（）A.2023B.2023C.2023D.2024【题型4直线的截距式方程及辨析】例4（2023春上海闵行高二校考阶段练习）经过点4（5,2）,并且在两坐标轴上的截距相等的直线/有（）条A. 0B.1C.2D.3【变式4-1（2023秋吉林高二校联考期末）过点（3,-6）且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（）B. 2x+y=0B.x+y+3=0C. x-y+3=0D.%+y+3=0或2%+y=0【变式4-2（2023全国高二专题练习）若直线I过点A（-2,0）,8（0,3）,则直线I的方程为（）A.3

9、x2y+6=0B.2x3y6=0C.3x2y-6=0D.3x+2y-6=0【变式4-3（2023秋安徽六安高二校考期末）己知直线I过4（-2,1）,且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线I的方程是（）.A.x+2y=0Ex-y+3=0B.%-、-1=0或工少+3=0C.xy1=0或x+y3=0D.%+2y=0或x+y3=0【知识点3直线的一般式方程】1 .直线的一般式方程（1）直线的一般式方程的定义：在平面直角坐标系中，任何一个关于X,y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于X,y的二元一次方程A1+8y+C=0（其中A,B不同时为0）叫作直线的一般式方程.对于方程Ar+）H-C=0（A,B

10、不全为0）：ACC当即0时，方程A计砂+C=O可以写成产-Jx-,它表示斜率为-9在y轴上的截距为-的直UDDD线.特别地，当A=O时，它表示垂直于y轴的直线.C当8=0时，A0,方程A+3y+C=O可以写成户-它表示垂直于X轴的直线.（2）一般式方程的使用方法：直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.2.辨析直线方程的五种形式方程形式直线方程局限性选择条件点斜式y-yo=k（x-x不能表示与X轴垂直的直线已知斜率：已知点斜截式y=kx+b不能表示与X轴垂直的直线已知在y轴上的截距；已知斜率两点式U仍=1N1的一%一比2一CI不能表示与工轴、y轴垂直的直线已知两个定

11、点：己知两个截距截距式+=1ab不能表示与X轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线已知两个截距；已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积一般式Ar+H-C=0（48不全为0）表示所有的直线求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程【题型5直线的一般式方程及辨析】【例5】（2023秋高二课时练习）经过点（0,-4）,且倾斜角为60。的直线的一般式方程为（）A.y3xy1=0B.V3xy+1=0C.xV3y+1=0D.x3y1=0A.一、二、三象限B.直线-2y+3=0经过（）-、二、四象限二、三、四象限已知直线/过点4（一3,1）,且与直线K-2y+3=0垂直，2x+y+5=0C.2x+y-1=0D.2x

12、+y-2=0直线4x+By+C=0（A,8不同时为0）,则下列选项正【变式5-1（2023全国高二专题练习）在直角坐标系中,C.一、三、四象限D.【变式5-2（2023秋北京西城高二校考期末）则直线/的一般式方程为（）A.2x+y+3=0B.【变式5-3（2023秋广东江门高二统考期末）确的是（）A.无论4B取任何值，直线都存在斜率B.当4=0,且B0时，直线只与轴相交C.当A0,或B0时，直线与两条坐标轴都相交D.当A0,且8=0,且C=O时，直线是y轴所在直线【题型6直线一般式方程与其他形式之间的互化】【例6】（2023秋河南商丘高二校考期末）经过点（0,-1）且斜率为的直线方程为（）A.

13、2x+3y+3=0B.2%+3y-3=0C.2x3y+2=0D.3x2y2 =0【变式6-1（2023秋江苏盐城高二校考期末）如果ABV0,BC0,那么直线4x+By+C=0不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.笫四象限【变式62】（2023秋四川雅安高二统考期末）若直线+y-1=0的倾斜角为拳则实数的值为（）A.1B.-1C.2D.-2【变式6-3（2023秋甘肃兰州高二校考期末）己知直线I过点（2,4）,且在轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则直线I的方程为（）A. %+2y-10=0B. X+2y+10=0C. 2%-y=0或+2y4=0D. 2x-y=0或+2y-10=0【

14、知识点4方向向量与直线的参数方程】1.方向向量与直线的参数方程除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.如图1,设直线/经过点P（Xo,北），丫=（皿）是它的一个方向向量，Paj）是直线/上的任意一点，则向量R）尸与y共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数使小0二W,即（X-Xo,yj）=f（肛），所以X=XO+mty=No+fit.在中，实数，是对应点P的参变数，简称参数.由上可知，对于直线/上的任意一点PaJ）,存在唯一实数/使成立；反之，对于参数，的每一个确定的值，由可以确定直线/上的一个点尸（XJ）.我们把称为直线的参数方程.【题型7求直线的方向向量】【例7】(2023上海高二专题练习)直线-2y+1=O的一个方向向量是()A.(2,1)B.(1,2)C.(2,-1)D.(1,-2)【变式71】(2023秋广东肇庆高二统考期末)直线2m%+my-3=0的一个方