专题2.1 直线的倾斜角与斜率【九大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

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1、专题2.1直线的倾斜角与斜率【九大题型】【人教A版(2019)【题型1求直线的倾斜角】2【题型2求直线的斜率】3【题型3已知直线的倾斜角或斜率求参数】5【题型4直线与线段的相交关系求斜率范围】6【题型5两条直线平行的判定】9【题型6由两直线平行求参数】10【题型7两条直线垂直的判定】11【题型8由两直线垂直求参数】13【题型9直线平行、垂直的判定在几何中的应用】14【知识点1直线的倾斜角与斜率】1 .直线的倾斜角(1)倾斜角的定义当直线/与X轴相交时，我们以X轴为基准，X轴画与直线/向上的方向之间所成的角叫做直线/的倾斜角.当直线/与X轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0。.(2)直线的倾斜角的

2、取值范围为OyaVI80。.2 .直线的斜率(1)直线的斜率把一条直线的倾斜角Q的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母女表示，即&=tana.(2)斜率与倾斜角的对应关系图示y/二J1OX11P7倾斜角(范围)Q=00o90oa-二90。90o180o斜率(范围)k=0DO不存在0(3)过两点的宜线的斜率公式过两点P1（X1，y）,尸2（松）j2）（K1X2）的直线的斜率公式为X2人1【注】（1）倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.（2）涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解.【题型1求直线的倾斜角】【例1】（2023春重庆沙坪坝高一校考期末）直线

3、-3y1=0的倾斜角是（）A.30oB.60oC.120oD.150【解题思路】根据倾斜角与斜率之间的关系运算求解.【解答过程】因为-何+1=0的斜率A=蠢=圣所以其倾斜角为30。.故选：A.【变式1-1（2023春山东青岛高二统考开学考试）已知直线，的斜率为-1,则2的倾斜角为（）A.30oB.45oC.60oD.135【解题思路】根据斜率和倾斜角之间的关系即可得倾斜角.【解答过程】解:因为斜率为“,设直线倾斜角为a,0V1800,所以tana=-1即a=135.故选:D.【变式1-2（2023春.江苏南京高二校考期中）直线经过力（-1,0）,8（1,2）两点，则直线I的倾斜角是（）A.-B

4、.-C.D.6434【解题思路】设出直线的倾斜角叫求出其正切值，即斜率，进而可得出倾斜角.【解答过程】设直线的倾斜角为%由己知可得直线的斜率k=tana=覆=1,又a0,7）,所以倾斜角是?故选：B.【变式1-3（2023全国高二专题练习）设直线/的斜率为亿且-1k）b0-i）u（1）C（肮）D.喝喏同【解题思路】根据倾斜角与斜率的关系得到-1tanaV5,结合正切函数的图象及a0,）,数形结合得到直线/的倾斜角的取值范围.【解答过程】由题意得：-1tanv5,因为aO,）,且tan1,tan三=VS,43所以IOW）U洋，）故选：D.【题型2求直线的斜率】【例2】（2023秋湖南娄底高二统考

5、期末）已知直线的倾斜角是全则此直线的斜率是（）A.yB.-3C.3D.3【解题思路】根据倾斜角与斜率的关系即可求解.【解答过程】因为直线的倾斜角是1所以此直线的斜率是匕咤=3.故选:C.【变式2-1（2023春上海高二阶段练习）将直线3x-5y=O绕着原点逆时针旋转90。，得到新直线的斜率是（）A.yB.一苧C.3D.-3【解题思路】由题意知直线的斜率为3,设其倾斜角为叫将直线绕着原点逆时针旋转90。，得到新直线的斜率为tan（+9（）,化简求值即可得到答案.【解答过程】由3x-5y=O知斜率为I,设其倾斜角为%则tan=5,将直线3%-3y=O绕着原点逆时针旋转90。,则tan(+90)33

6、sin(+90)cosa1,ZZZcos(+90o)-sinatana故新宜线的斜率是-学故选：B.【变式2-2（2023全国高三专题练习）已知直线的倾斜角的范围是a3,则此直线的斜率左的取值范围是（）A.-1,1B.-1,0）U（0,1C.-1,+）D.（-,-1u1,+）【解题思路】利用直线斜率的定义结合正切函数的性质即可计算作答.【解答过程】当直线的倾斜角aW时，直线的斜率k=tana,因QW给胃则当Q）时，tana1,即k1,当a（争时、tana1,即k-1,所以直线的斜率k的取值范围是（一8,-1u1,+8）.故选：D.【变式23】（2023全国高三专题练习）如图,设直线，12fG的

7、斜率分别为k2tZc3,则如，心，心的大小关系为（）A. fcjVk23C.k2k1k3B. k1k3k2D.k3k2k1【解题思路】直接由斜率的定义判断即可.【解答过程】由斜率的定义可知，k1k2:,一-2,t=10故选：A.【变式3-3(2023秋江苏连云港高二校考期末)经过两点A(1m),8(m-1,3)的直线的倾斜角是锐角，则实数机的范围是()A.(-,-3)U(-2,+)B.(-3,-2)C.(2,3)D.(-8,2)U(3,+8)【解题思路】根据题意列出相应的不等式，即可得答案.【解答过程】由题意经过两点4(1,m),B(Tn-1,3)的直线的倾斜角是锐角，可知m-11,且上二0,

8、解得2m3,即实数机的范围是(2,3),故选：C.【题型4直线与线段的相交关系求斜率范围】【例4】(2023秋广东深圳高二统考期末)已知4(2,-3)、8(2,1),若直线，经过点P(0,-1),且与线段AB有交点，则，的斜率的取值范围为()A.(8,2U2,+8)B.2,2C.(-8,-1u1,+oo)D.-U【解题思路】作出图形，数形结合可得出直线，的斜率的取值范围.【解答过程】过点P作PCIAB,垂足为点C,如图所示：设直线I交线段AB于点M,设直线I的斜率为匕且4=三;=一1,跖8=分=1，0-2Z-O当点M在从点A运动到点C(不包括点C)时，直线1的倾斜角逐渐增大，此时一1=kpAk

9、O;当点M在从点C运动到点B时，直线的倾斜角逐渐增大，此时0kkp8=1综上所述，宜线I的斜率的取值范围是-1,1.故选：D.【变式4-1(2023全国高二专题练习)已知4(3,1),B(1,2),若直线%+Qy-2=0与线段48没有公共点,则实数的取值范围是()A.(-,-1)U(p)B(-1,)C.(-8,-2)U(I,+8)D.(2,1)【解题思路】画出图象，对进行分类讨论，结合图象求得的取值范围.【解答过程】直线+y-2=0过点C(2,0),画出图象如下图所示，由于直线X+ay-2=O与线段AB没有公共点，当Q=O时，直线=2与线段AB有公共点，不符合题意,当0时，直线+-2=O的斜率

10、为一%根据图象可知的取值范围是(-2,0)U(0,1),所以的取值范围是(一8,-1)U(p+)【变式4-2(2023全国高一专题练习)已知点A(2,3),8(-3,-2),若直线，过点P(3,1)且与线段AB相交,则直线1的斜率k的取值范围是()A.-VC.k-2【解题思路】直接利用两点间的坐标公式和直线的斜率的关系求出结果.【解答过程】解：直线I过点P(3,1)且斜率为匕与连接两点4(2,3),8(-3,-2)的线段有公共点,由图，可知%p=芸=-2,kBP=p当一2k:时，直线与线段AB有交点.故选：B.【变式4-3（2023秋安徽六安高二校考期末）已知直线以一y-k-1=0和以M（-3

11、,1）,N（3,2）为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（）A.-cB.-2k1C.k-T或kID.k-2或kI【解题思路】根据直线方程k%-yi-1=O得到恒过定点4（1,一1）,利用坐标得到=：，kNA=1，然后结合图象可得k的取值范围.【解答过程】直线此一y-k1=0恒过定点A（IT）,且Am=-5kna=故选：C.【知识点2两条直线平行的判定】1 .两条直线（不重合）平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件=290o=-az=90对应关系hh=k=k?八，2=两直线的斜率都不存在图示J2J71【题型5两条直线平行的判定】【例5】（2023高二课时练习）“直线，1与平行”是“直线。与%

12、的斜率相等”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要【解题思路】根据直线平行与斜率之间的关系，逐个选项进行判断即可.【解答过程】充分性：直线匕与平行，但是及和都没有斜率，即当4和%都垂直于无轴时，匕与12仍然平行，但是，此时不满足直线，1与，2的斜率相等，故充分性不成立；必要性：直线，与k的斜率相等，则直线1与平行或重合，故必要性不成立；综上，“直线。与G平行是直线。与的斜率相等”的既非充分又非必要条件.故选：D.【变式5-1（2023秋江西上饶高二统考期末）下列与直线4x-y-2=0平行的直线的方程是（）.A.4xy4=0B.4x+y-2=0C.X4y-2=0D.x4y+2=0【解题思路】根据平行直线斜率相等，截距不等可得答案.【解答过程】直线4x-y-2=0斜率为4,纵截距为2,A选项：直线斜