专题21 数量积、角度及参数型定值问题(解析版).docx

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1、专题21数量积、角度及参数型定值问题题型一数积型定值问题【例题选讲】例1已知椭圆，+/=1(力0)的离心率为挈右焦点为尸(1,0),直线I经过点F,且与椭圆交于A,8两点，O为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程；(2)当直线/绕点F转动时，试问：在X轴上是否存在定点M,使得苏林为常数?若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.规范解答I(1)由题意可知，c=1,又e=5=乎，解得=1所以=/一/=,所以椭圆的方程为，+y2=1.(2)若直线不/垂直于X轴，可设/的方程为y=k(x1).联立椭圆方程，+y2=1,化为(1+2*-4公+2标-2=0,设A(X1,y),5(X2,”)，则ki+x

2、2=2+,即检=而不j设M(f,0),则诚=(即一hj),Mb=(x2-t,州)，=(xi-t,yI)(X2_f,J2)=(xt)(X2r)+W=U1t(X2/)+2C1)(X2-1)2!c-2A1c=(I2)X12-(r+)(xX2)r2+2=(1+2)27+-(，+/)2K+/2(2r2-4+1)+r2-222+1,要使得苏前=42为常数)，只要炉蓝2*F*-2=1即(2-一4.+1-2)2(z2-2-)=0.22-4z+1-22=0,对于任意实数要使上式恒成立，只要2r.八，解得,1i2-2-=0若直线，垂直于X轴，其方程为X=1,此时，直线，与椭圆两交点为A(1,孚)，8(1,54*点

3、取1-41-4=(-)(-)+2(-2)=-=综上所述，过定点尸(1,0)的动直线/与椭圆相交于A,8两点，当直线/绕点尸转动时,存在定点0),使得磁讳=一5.例2已知。为坐标原点，椭圆CY+y2=1上一点E在第一象限，若。=乎.(1)求点E的坐标；(2)椭圆C两个顶点分别为4(-2,0),8(2,0),过点M(0,-1)的直线/交椭圆C于点D,交X轴于点P,若直线4。与直线”/3相交于点。，求证：办远为定值.j万规范解答(D设E(M,yo)(xoO,yoO),因为IoEI=彳,所以Mro。+y/=彳，又因为点E在椭圆上，所以号+泗2=，40=1,广由解得：3,所以E的坐标为(1,鸣；Jo=2

4、，(2)设点ZXr,y),则直线A的方程为丫=7为%+2)，直线8M的方程为y=%-1，由解得R=等芝普，又直线。M的方程为y=*x1,an2zx忏|、川-2(x+2y+2)12(黯+力:中+21)令),=0,解得.卬=赤,所以办曲=12a+2v+2=w+x12W+2-,X2,2,的wR2(x/+2q，i+2xi)又7-+y=1,所以OPoq=5-2=4.-ty+x3-例3椭圆有两顶点41,0),8(1,0),过其焦点网0,1)的直线/与椭圆交于C,D两点,并与X轴交于点P.直线AC与直线B。交于点Q.(1)当ICD1=平时，求直线/的方程：(2)当点P异于A,3两点时，求证：的为定值.规范解

5、答I(1)因椭圆焦点在y轴上,由已知得b=1,c=1,所以=5,椭圆方程为为5+f=1直线/垂直于X轴时与题意不符.设直线/的方程为y=x+1,将其代入椭圆方程化简得，(炉+2)f+2依-1=0.2kI设C(X1,y),Oa2,力)，则x+m=一百，X1X2=一百工，噜护=挈解得矩所以直线/的方程为丁=，2丫+1或y=qx+1.(2)直线/与X轴垂直时与题意不符.设直线/的方程为y=b+1(0且原1),所以尸点坐标为(一工，0).2k1设Ca1,1),Oa2,J2),由(1)知X1+#2=一百工，X1X2=_7+2,直线AC的方程为J=扁(x+1),直线BD的方程为y=湛Ia1),将两直线方程

6、联立，消去y得Ej=t因为一1Vm,X21,所以与?异X1yI(X21)1/1号.21x+12_儿2(即+1)2_2垃2Cn+1)2_(1+x)(1+x2)_I-+2R+2_2-1,(rP一劝2(刈一1)2-2X2(X2-1)2-(1即)(1M)2k1-P*1?+2+F2又M，2=*+檎)+.=%铲人-会曷空与小异号，答与同号，EH解得X=T，因此。点坐标为(一七yd).分屈=(一OX鼠泗)=1,故芬而为定值.79例4如图，点M在椭圆5+=1，(0h,=c2=.*b=a1-c1=1.(2)设M(X0,yo),xoO,oO将(0.抑)代入圆与椭圆的方程，可得.xo2+yoi-2tyo-1=0,x

7、o2+2yo2=2,消去刈，得=/%，代入(*)得：J2-yJ-1=0,即1y2r(jf)y=0,所以3加+和)=，过K,B,M的圆与y轴交于点P,Q(P在Q的上方).所以y=(,yQ=一如11yo72yo.则幻M=T2则直线PM的方程为y=T+2,XoXoJo由直线PM与x=2的交点为N.所以在直线PM的方程中，令x=2,，日”川rII20/-1),11X。/=.I-XO.得y=-2-=-+-=.得M2,),Xoyo松Iyoyo和,加”设T(d,0),TMTN=(XOd,o)(2-J,)=(xo-b0)的离心率为坐过右焦点且垂直于X轴的直线与椭圆。交于A,B两点，且A8=1直线Zy=MXM(

8、mR,成与椭圆。交于M,N两点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点/?(0),若就前是一个与女无关的常数，求实数用的值.规范解答(1)联立,十”1解得)，=4，故亭=e=I=当,a2=b2+c2f.x=c,联立可得。=由，b=c=1,故椭圆C的标准方程为5+y2=1.(2)设Ma.y),N(X2,良)，联立方程1=xX2-Cn+x2)+2(x-w)(x2-W)=(x2-(wAr)(x1x2)+2w2=羽+，,(这里的计算使用点乘双根法更便捷)令(1+2F)X24w2Hcin1-I=(12Ar)(x-)(x-),_77(1+21r)5mk2+31n22MA5,5、，5Io再令X=不得(乃一(

9、也一=汨Tj,、Hn,rk一2,.*yy2=c(xm)(x2m)t，再令X=加，得1(xm)(x2-w)=；，/5、/5.(3m25m2)A?225.x.-4)(x2-4)y1y2=唳中+讳(选择自己熟练的计算方法进行计算，务必保证计算不能出错)又褊丽是一个与2无关的常数，3户一5w-2=-4,即3-5m+2=0,23Awt=1或刖=，又,*w,zw=1,当m=1时，J0,直线/与椭圆C交于两点，满足题意，w=1.题后悟通本题的关键点就在于如何使1弼Tj成为一个与k无关的常数,在这里应用了比例的性质，即令分子分母中的同类项成比例，可以观察到分子分母的常数项的比例为一2,则令分子分母中3的系数的

10、比例也为一2,即令3/一51一2=4,则可求出参数的值.【对点训练】1.已知椭圆E的中心在原点，焦点在X轴上，椭圆的左顶点坐标为(一也，0),离心率为e=啦2.(1)求椭圆E的方程；(2)过点(1,0)作直线/交E于P、Q两点，试问：在X轴上是否存在一个定点M,使面A7为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.1 .(1)设椭圆E的方程为+g=1(4b0),-c=2-1,Jf1=2,由已知得IC2解得，1所以乂=1.所以椭圆E的方程为5+产=】.(2)假设存在符合条件的点河(阳，0),设人(即，y),8(X2,y2),则研=(X1m，yi),7=(X2-”),MtPM2=x-

11、ni)x2-ni)-yy2=xX2-m(xX2)w2JOj2*当直线，的斜率存在时，设直线/的方程为y=U-1),联立椭圆方程弓+/=1,化为(1+2K)X2-42x+2d-2=0,则X1+X2=M+,XIX2=/2+；:=K-(即+二2)+即刈+1=-2曾+，语砸=P(2一+1)+产一222I对于任意的攵值，上式为定值，故2加24m+1=2(2-2),解得，W=(，此时，孙后。=?22=一专为定值；当直线/的斜率不存在时，直线/：x=19xX2=1ki+x2=2,yiyi=,由，w=,得祈A破=12、,+1|3=一/为定值，综合知，符合条件的点M存在，其坐标为,0).2 .已知椭圆+W=1(

12、ab0)的一个焦点与抛物线y2=45x的焦点尸重合，且椭圆短轴的两个端点与点尸构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线I与椭圆交于不同的两点P,Q,试问在X轴上是否存在定点E(m,0),使屋9恒为定值？若存在，求出E的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由.3 .解析(1)由题意，知抛物线的焦点为尸(小，0),所以c=:片一少2=小因为椭圆短轴的两个端点与尸构成正三角形，所以b=5坐=1.可求得=2,故椭圆的方程为+f=1(2)假设存在满足条件的点石，当直线/的斜率存在时设其斜率为k,则/的方程为y=Hr-1).zy2=1,由14得(42+1)2-8Mx+4R-4=0.设P(内，y)fQa2,”)，y=k(-1)t所以M+及=4i+,XIM=淤+则屋=(m即，y),QE=(m-X2y-Iy2),所以PtQE=(m-)(m-2)yy2=m2-m(x+及)+KIX2yj2=nr-m(x+m)+用及+2(xI)(X2-1)3k2m42-444+1+4/+1