专题2.5 点、线间的对称关系【六大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

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1、专题2.5点、线间的对称关系【六大题型】【人教A版(2019)【题型1点关于点的对称问题】1【题型2直线关于点的对称问题】3【题型3点关于直线的对称问题】5【题型4直线关于直线的对称问题】7【题型5光线反射问题】8【题型6将军饮马问题】11举一反三【知识点1点关于点的对称】1.点关于点的对称求点P关于点4(,b)的对称点P的问题，主要依据Z是线段PP的中点来求解.设尸Go,%)，对称中心为力(,b),则尸关于力的对称点为严(21-Xo,2b一乂).【题型1点关于点的对称问题】【例1】(2023四川高二专题练习)若A(4,0)与8点关于点(2,1)对称，则8点坐标为()A.(0,4)B.(0,2

2、)C.(-2,4)D.(4,-2)【解题思路】根据中点坐标公式即可求解.【解答过程】解：设8(,b),由题知，点A和点8的中点为(2,1),则所以8点的坐标为(0,2)故选：B.【变式1-1(2023江苏高二专题练习)点4(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为/_【解题思路】由中点坐标公式求解即可【解答过程】设点4(1,2)关于点P(3,4)对称的点为B(Xy),则点P为AB的中点.(r1+X3 =,J.2+y4 =-解得;:0点4(1,2)关于点(3,4)对称的点的坐标为(5,6).故答案为：(5,6).【变式1-2(2023全国高二专题练习)点A(5,8),B(4,1),则A点关于8

3、点的对称点C的坐标为(3.(16)【解题思路】设出4点关于B点的对称点C的坐标，然后直接代入中点坐标公式计算.【解答过程】设C(x,)，)，由4(5,8),B(4,1)且8点是A,C的中点，1X+5_42Z解得所以C的坐标为(3,-6).故答案为：(3,6).【变式1-3(2023江西高二阶段练习(理)已知点A(%5)关于点(1,y)的对称点为(一2,-3),则点P(%y)到原点的距离是I7.【解题思路】根据对称性，结合中点坐标公式、两点间距离公式进行求解即可.【解答过程】根据中点坐标公式，得辞=1,且彳=y.解得=4,y=1,所以点P的坐标为(4,1),则点P(%y)到原点的距离d=(4-O

4、)2+(1-O)2=17.故答案为：17.【知识点2直线关于点的对称】1 .直线关于点的对称求直线/关于点4(g,6)对称的直线/的步骤：(1)由平行直线系设出直线/的方程；(2)在/上任取一点?G,y),求尸关于彳的对称点尸(2-X,2b-y);(3)将户的坐标代入直线厂的方程，求出参数，得到F的方程.【题型2直线关于点的对称问题】【例2】(2023全国高三专题练习)直线，:x+2y-1=0关于点(1,一1)对称的直线。的方程为()A.2x-y-5=0B.x+2y-3=0C.%+2y+3=0D.2xy-1=0【解题思路】根据直线关于直线外一点的对称直线互相平行可知其斜率，再取，上一点求其关于

5、点(1,一1)的对称点，即可求出，的方程.【解答过程】由题意得故设y%+2y+c=0(c-1),在/上取点A(1o),则点4(1,0)关于点(1,一1)的对称点是H(I,-2),所以1+2x(2)+c=0,即c=3,故直线1的方程为+2y+3=0.故选：C.【变式2-1(2023高二课时练习)点P(1,2)在直线1上，直线匕与/关于点(0,1)对称，则一定在直线匕上的点为()ioo1A.(p)B(F)C.(-1,0)D.(pO)【解题思路】根据两直线关于点对称，利用中点公式即可求直线，上P(1,2)的对称点，且该点在直线匕上.【解答过程】由题设，P(12)关于(0,1)对称的点必在Z上，若该点

6、为(x,y),1=o即(一1,0)一定在直线，1上.故选：c.【变式2-2(2023全国高三专题练习)直线2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是()A. 3x-2y-10=0B. 3x2y-23=0C.2x+3y4=0D.2x+3y2=0【解题思路】设对称的直线方程上的一点的坐标为(3y),则其关于点(-1,2)对称的点的坐标为(一2-,4-y),代入已知直线即可求得结果.【解答过程】设对称的直线方程上的一点的坐标为y),则其关于点(一1,2)对称的点的坐标为(一2-x,4-y)，因为点(一2-x,4-y)在直线2%+3y-6=0,所以2(-2-x)+3(4-y)-6=0fiP2

7、x+3y-2=0.故选：D.【变式2-3(2023全国高二专题练习)直线ax+3y-9=0与直线一3丫+6=0关于原点对称，则a,b的值是A. q=-1,b=-9B. =-I,b=9C. Q=1,b=-9D. Q=1,b=9【解题思路】直线以+3.y-9=0上任意取点m,），关于原点对称点的坐标为（-/，-），分别代入已知的直线方程，即可求得结论.【解答过程】直线ar+3y-9=0上任意取点（机，），关于原点对称点的坐标为（加，），则（am+3n-9=0Im+3n+b=0.点（Jmn）是直线ax+3y-9=0上任意一点.=-1b=-9故选A.【知识点3直线关于点的对称】1 .两点关于某直线对称

8、设点力（历,则）关于直线/的对称点为B（Xj）.）x+x。=J12 .y=yoX=Xo（2）直线/的斜率为0时，设直线y=f,则y+y.-2=z（3）直线/的斜率存在且不为0时，设点4（%,必）关于直线/:小+5y+C=0的对称点为8（jy）.点对称轴对称点坐标Pab)X轴（。,4）y轴(-ayb)尸S,a)y=-x(也-a)x=m(n0)Qm-a,b)y=(0)(a,2n-b)【题型3点关于直线的对称问题】【例3】(2023全国高一专题练习)点P(2,0)关于直线%-y+3=0的对称点。的坐标为().A.(-3,5)B.(-1,-4)C.(4,1)D.(2,3)【解题思路】利用中点和斜率来求

9、得Q点坐标.【解答过程】设点P(2,0)关于直线，d-y+3=0的对称点的坐标为(,b),Ift-O_反二二，解得葭：22所以点。的坐标为(-3,5).故选：A.【变式3-1(2023秋吉林白城高二校考期末)点P(2,0)关于直线%+y+1=0的对称点Q的坐标为()A.(-1,-3)B.(-1,-4)C.(4,1)D.(2,3)【解题思路】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.【解答过程】设点P(2,0)关于直线为+y+1=0的对称点的坐标为(a,b),b-0(_则馅解得:222所以点Q的坐标为(一1,一3)故选：A.【变式3-2(2023秋高二校考课时练习

10、)已知点A(+2,b+2)和8)关于直线4x+3y=11对称，贝IJm8的值为().A.a=,b=2B.tz=4,b=-2C.a=2,b=4D.。=4,b=2【解题思路】利用点关于直线对称的性质即可求得结果.【解答过程】点A,8关于直线4x+3y=11对称，则心b=：，4即=2,+2-(ft-)4且AB中点（詈,1）在已知直线上，代入得2（b+2）+3=Ib联立组成的方程组，解得松二；，故选：D.【变式3-3（2023全国高二专题练习）已知点A（1,-2）,8（切，），关于直线x+2y-2=0对称，则n+n的值是（）A.-2B.3C.5D.7【解题思路】先利用线段的中点公式求出线段AB的中点坐

11、标，再把中点坐标代入直线+2y2=0,结合斜率关系列方程组，求得m,n,从而求得初+的值.【解答过程】VA（1,2）和B（mn）关于直线x+2y-2=0对称，线段AB的中点C（等，若）在直线x+2y-2=0上，,咛-2+八2=0.：m+2n=7,T+2,1、而(-)m-121,得2肋-=4,解方程组，+2九=:,可得?=3,=2,（2mn=4*w+=5.故选：C.【知识点4直线关于直线的对称】直线关于直线对称有两种类型：若已知直线。与对称轴/相交于点尸，则交点尸必在乙关于/对称的直线/2上，再求出1上除点尸外任意一个已知点B关于/对称的点尸2,那么经过交点?及点尸2的直线就是自（2）若已知直线

12、与对称轴/平行，贝”关于/对称的直线/2到直线/的距离和1到直线/的距离相等，由平行直线系和对称点即可求出1关于/对称的直线1【题型4直线关于直线的对称问题】【例4】（2023全国高三专题练习）直线2x+3y+4=0关于y轴对称的直线方程为（）A.2x+3y4=0B.2x3y+4=0C.2x-3y-4=0D.3x+2y-4=0【解题思路】利用对称性质可得原直线上的点关于y轴的对称点，代入对称点，即可得到答案.【解答过程】设点PQ,y）是所求直线上任意一点，则P关于y轴的对称点为P（-%y）,且在直线2x+3y+4=0,代入可得一2x+3y+4=0,即2x-3y-4=0.故选：C.【变式4-1（

13、2023全国高三专题练习）求直线+2y-1=0关于直线x+2y+1=0对称的直线方程（A.x+2y-3=OB.x+2y+3=0C.x+2y-2=0D.x+2y+2=0【解题思路】结合两平行线间的距离公式求得正确选项.【解答过程】设对称直线方程为+2y+c=0,瞿=舄，解得c=3或C=-1（舍去）所以所求直线方程为+2y+3=0.故选：B.【变式4-2（2023全国高三专题练习）如果直线y=Qx+2与直线y=3%-匕关于直线y=X对称，那么（）A.=g,b=6B.=,b=-6C.=3,b=-2D.=3,b=6【解题思路】由题意在y=Q%+2上任取一点（0,2）,其关于宜线y=x的对称点在y=3x

14、-b上，代入可求出b,然后在y=3%-b上任取一点，其关于直线y=X的对称点在y=ax+2上，代入可求出.【解答过程】在y=QX+2上取一点（0,2）,则由题意可得其关于直线y=X的对称点（2,0）在y=3x-。上，所以0=6b,得b=6,在y=3%-6上取一点(0,-6),则其关于直线y=X的对称点(一6,0)在y=ax+2上,所以0=-6q+2,得Q=%综上Q=g,b=6,故选：A.【变式4-3(2023全国高三专题练习)己知直线kax-y+3=0与直线关于直线心+y-1=0对称，直线G与直线办：x+3y-1=0垂直，则的值为()A.-B.-C.3D.333【解题思路】利用直线与直线%：%+3y-1=0垂直，求得1的斜率，然后求得匕与，的交点坐标，在直线A上取点(0,3),求出该点关于，的对称点，利用斜率公式求得的值.【解答过程】解：直线I?与直线4：x+3y-1=0垂直，k12k13=-1,即=3,;直线QX-y+3=0与直线关于直线心+y-1=0对称，