专题2.6 圆的方程【七大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）.docx

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1、专题2.6圆的方程【七大题型】【人教A版(2019)【题型1求圆的标准方程】1【题型2求圆的一般方程】2【题型3二元二次方程表示圆的条件】3【题型4圆过定点问题】3【题型5点与圆的位置关系】4【题型6圆有关的轨迹问题】5【题型7与圆有关的对称问题】6【知识点1圆的方程】1 .圆的定义圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.2 .圆的标准方程(1)圆的标准方程：方程(x-)2+(y-b)2=(,0)叫作以点Q力)为圆心，为半径的圆的标准方程.(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.(3)

2、圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.3 .圆的一般方程(1)方程*2+/+以+切+/=O(Z)2+24尸0)叫做圆的一般方程.(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.下列情况比较适用圆的一般方程：已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数。，E,F；已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心5)代入圆心所在的直线方程，求待定系数,E,F.

3、【题型1求圆的标准方程】【例1】(2023全国高三专题练习)过A(0,0),8(1,1),C(4,2)三点的圆的一般方程是()A.X2+y2+8x+6y=0B.x2+y2Bx-6y=0【变式1-1(2023春重庆沙坪坝高一校考期末)在平面直角坐标系%0y中，已知PI(0,2)、Pz(4,4)两点,若圆M以BP2为直径，则圆M的标准方程为()A.(x-2)2+(y-3)2=5B.(x-2)2+(y-3)2=5C.(%-I)2+(y-4)2=5D.(x-I)2+(y-4)2=5【变式1-2(2023春湖北襄阳高二校考开学考试)过点学1,-1),B(-1,1),且圆心在直线4+y-2=0上的圆的方程

4、是()A.(x-I)2+(y-I)2=4B.(x+3)2+(y-I)2=4C.(x-3)2+(y+I)2=4D.(x+I)2+(y+I)2=4【变式1-3(2023秋河北石家庄高二校考期末)已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是()A.X2+y24x-2y=0B.x2+y2-4x2y-5=0C.X2+y2+4x2y-5=0D.x2+y24x+2y=0【题型2求圆的一般方程】【例2】(2023秋天津和平高二校考阶段练习)已知圆C经过原点0(0,0),A(4,3),8(1,-3)三点,则圆C的方程为()A.X2+y24x3y=0B.x2+y2-x+3y=

5、0C.x2+y2-5x-5=0D.x2+y2-7x+y=0【变式2-1(2023全国高二专题练习)与圆/+y2-2x+4y+3=0同圆心，且过点(1,一1)的圆的方程是()A.X2+y22x+4y-4=0B.x2+y22x+4y+4=0C.X2+y2+2x-4y-4=0D.x2+y2+2x-4y+4=0【变式22】(2023春天津武清高二校考开学考试)已知圆C经过两点4(0,2),8(4,6),且圆心C在直线上2%-y-3=0,则圆C的方程为()A.X2+y26x6y16=0B.x2+y2-2x2y8=0C.%2+y2-6x6y+8=0D.x2+y22%+2y56=0【变式23】(2023秋全

6、国高二专题练习)已知4(2,0),8(3,3),C(T1),则ABC的外接圆的一般方程为()A. X2y2-2x4y=0C.X2+y2-2x-4y=0B. X2+y22x+4y+2=0D.X2+y2-2%-4y+1=0【知识点2二元二次方程与圆的方程】1.二元二次方程与圆的方程(1)二元二次方程与圆的方程的关系：二元二次方程4/+C+DV+3+/=O,对比圆的一般方程/+必+Z)X+E=O(D2+E2-4F0),我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.(2)二元二次方程表示圆的条件：(A=CO二元二次方程4/+5y+C+Q+切+尸=o表示圆的条件是4用+

7、信)-份。【题型3二元二次方程表示圆的条件】【例3】(2023春广东湛江高二统考期末)已知/+/+24%-4丫+公+4-2=0表示的曲线是圆，则k的值为()A.(6,+8)B.6,+)C.(,6)D.(,6【变式3-1(2023春河南高三阶段练习)“a1”是“方程2/+2川+2ax+6y+5=0表示圆”的()A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【变式3-2(2023秋河南新乡高二统考期中)方程y+1=J表示的曲线为()A.圆(x-2)2+(y+I)?=4B.圆(-2产+(y+1产=4的右半部分C.圆(+2)2+。-1)2=4D.圆Q-2/+(y+1)2=4的

8、上半部分【变式3-3(2023全国两三专题练习)若方程/+丫2+477a-2丫+5771=0表示的曲线为圆，则771的取值范围是()A.-n1C.m1444【题型4圆过定点问题】【例4】(2023全国高三专题练习)已知点A为直线2%+y-IO=O上任意一点，O为坐标原点.则以04为直径的圆除过定点(0,0)外还过定点()A.(10,0)B.(0,10)C.(2,4)D.(4,2)【变式4-1(2023高二课时练习)点Pay)是直线2x+y-5=0上任意一点，。是坐标原点，则以OP为直径的圆经过定点()A.(0,0)和(),1)B.(0,0)和(2,2)C.(0,0)和(1,2)D.(0,0)和

9、(2,1)【变式4-2（2023春上海普陀高二校考阶段练习）对任意实数m,圆/+/-2mx-4my+6m-2=0恒过定点，则其坐标为.【变式4-3（2023全国高二专题练习）已知二次函数fa）=2+2+bR）的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为C,则圆C经过定点的坐标为（其坐标与b无关）.【知识点3点与圆的位置关系】1.点与圆的位置关系（1）如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.(2)圆A的标准方程为(xa)?+(y6)2=1，圆心为Z(,b),半径为=(尸0)：圆A的一般方程为X2+Z)x+F=O(Z)2+24F0).平面内一点M(XO,y0).

10、位置关系判断方法几何法代数法（标准方程）代数法（一般方程）点在圆上MA=r(.xo-a)2+(yo-b)2=r2器+褶+Dx0+Ey0+F=O点在圆内MAr(xo-a)2+(yo-b)2r(xo-a)2+(yo-)2r2器+求+Dxq+Eg。+F0【题型5点与圆的位置关系】【例5】（2023江苏高二假期作业）点P（1,3）与圆/+V=24的位置关系是（）A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不确定【变式5-1（2023全国高一专题练习）若点3,0）在圆/+y2=1的内部，则实数的取值范围是（）D.(1,+)A.(-1,1)B.(-,1)C.0,1)【变式5-2（2023全国高二专题练习）两个点M（

11、2,-4）、N（-2,1）与圆C:/+y2-2%+4y-4=0的位置关系是（）A.点M在圆C外，点N在圆C外B.点M在圆C内，点N在圆C内C.点M在圆C外，点N在圆C内D.点M在圆C内，点N在圆C外【变式5-3(2023全国高一专题练习)若点P(-1,2)在圆C:M+y2-2%+4y+k=0的外部,则实数k的取值范围是()A.(-5,5)B.(-15,5)C.(-8,-15)u(5,+8)D.(-15,2)【知识点4轨迹方程】1 .轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量Xj之间的方程.(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，

12、常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).(2)求轨迹方程时，一要区分“轨迹“与“轨迹方程”：二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.2.求轨迹方程的步骤：(1)建立适当的直角坐标系，用(Xj)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；(2)列出关于x,y的方程；(3)把方程化为最简形式；(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；(5)作答.【题型6圆有关的轨迹问题】【例6】(2023秋广西桂林高二校考期中)当点P在圆M+y2=上运动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是()A

13、. (x+3)2+y2=4C.(2x-3)2+4y2=1B. (x-3)2+y2=1D.(2t+3)2+4y2=1【变式6-1(2023秋.北京大兴.高二统考期中)己知点M1(-3,0)和点M2(3,0),动点May)满足IMMI1=2MM2,则点M的轨迹方程为()A. X2y218x+9=0C.X2+y2+6x9=0B. X2+y2+6x+9=0D.X2+y2-IOx+9=0【变式6-2】(2023.全国高二专题练习)己知点M(-2,0),V(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A. X2y2=4B. X2-y2=4C. X2+y2=4。2)D. X2-y2=4(

14、x2)【变式6-3(2023全国高三专题练习)古希腊儿何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k0,k1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系Xoy中，/1(-4,0),8(2,0),点M满足黑=2,则点M的轨迹方程为()A.(x+4)2+y2=16B.(%-4)2+y2=16C.x2+(y+4)2=16D.x2+(y-4)2=16【知识点5与圆有关的对称问题】1.与圆有关的对称问题(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.(2)圆关于点对称求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.(3)圆关于直线对称求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.【题型7与圆有关的对称问题】例7(2023秋河南焦作高二校考期末)圆C:(%-I)?+(y-I)2=2关于直线1y=X-1对称后的圆的方程为()A.(%-2)2y2=2B.(x2)2+y2=2C.%2+(y-2)2=2D.X2+(y2)2