专题2.3 直线的方程（二）【七大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

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1、专题2.3直线的方程(二)【七大题型】【人数A版(2019)【题型1求直线方程】1【题型2直线过定点问题】3【题型3求与已知直线垂直的直线方程】4【题型4求与已知直线平行的直线方程】6【题型5根据两直线平行求参数】7【题型6根据两直线垂直求参数】9【题型7直线方程的实际应用】10【知识点1求直线方程的一般方法】I.求直线方程的一般方法(1)直接法直线方程形式的选择方法：已知一点常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；己知在两坐标轴上的截距用截距式；己知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.(2)待定系数法先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.利用待定系数法求

2、直线方程的步骤：设方程；求系数；代入方程得直线方程.若己知直线过定点彳Go,M),则可以利用直线的点斜式y尤=h(xXo)求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).【题型1求直线方程】【例1】(2023全国高三专题练习)过点(2,1)和(1,2)直线方程是()A.y=X+3B.y=%+1C.y=x1D.y=x-3【解题思路】先利用斜率公式求得直线的斜率，再利用点斜式即可得解.【解答过程】因为直线过点(2,1)和(1,2),所以k=Z=-1,所以直线方程为y2=1X(%1),即y=X+3.故选：A.【变式1-1(2023全国高三专题练习)经过点P(-1

3、,0)且倾斜角为60。的直线的方程是()A.y3xy1=0B.3x-y+V3=0C.3x-y-3=0D.x-3y+1=0【解题思路】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程；【解答过程】由倾斜角为60。知，宜线的斜率A=V1因此，其直线方程为y-0=V5(x+1),即y+V5=0,故选：B.【变式1-2(2023秋辽宁沈阳高二校考期末)过点4(1,2)在两坐标轴上的截距相等的直线方程是()A.y=2xB.X+y-3=0C.%=,或%+、-3=0D.丫=2%或%+、-3=0【解题思路】按截距为0和不为。分类讨论分别求得符合题意的直线方程【解答过程】当截距0时，设直线方程为+=1,aa将无=1

4、y=2代入得=3,，方程为+y3=0当截距=。时，过原点和点力(1,2)的直线方程为y=2x又y=2%且在两坐标轴上的截距相等，.过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为y=2%和X+y-3=0故选：D.【变式13】(2023秋高一单元测试)经过点P(-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是()A. 8x+5y+20=0或2%Sy-10=0B. 8%-5y-20=0或2x-5y+10=0C. 8x+5y+10=0或2%5y-10=0D. 8x5y+20=0或2%5y10=0【解题思路】由题意设直线为履-y+5k4=0,根据直线与坐标轴所围成三角形的面积，应用三角形面积公式

5、求参数h即可确定直线方程.【解答过程】由题意，直线斜率定存在，设所求方程为y+4=k(x+5)(k0),BPkx-y5c-4=0.由；|5女-4|?-5|=5,得Z=：或k=g.故所求直线方程为2x-5y-10=。或8%-5y+20=0.故选：D.【题型2直线过定点问题】【例2】(2023全国高二专题练习)直线k%-y+1=3Z,当Zc变动时，所有直线恒过定点坐标为()A.(0,0)B.(0,1)C.(3,1)D.(2,1)【解题思路】整理所得直线方程为Aa-3)-y+1=0,根据题意，即可求得结果.【解答过程】把直线方程整理为k(x-3)-y+1=0,令二3：。故比；，所以直线恒过定点为(3

6、,1).(一yT1_uIy1故选：C.【变式2-1(2023全国高二专题练习)直线(Q-I)X-(+1)y+2=0恒过定点()A.(1,1)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(-1,-1)【解题思路】将直线变形为(-、)。-、+2=0,由-y=0且-X-y+2=0,即可求出定点.【解答过程】将(1)x(+1)y+2=0变形为：(%-y)ax-y+2=0f令X-y=0且xy+2=0解得=1,y=1所以直线恒过定点(11).故选：A.【变式2-2(2023春安徽安庆高二校考阶段练习)不论取任何实数，直线1(m-1)x-y+2m+1=(B过一定点，则该定点的坐标是()A.(2,3)B.(-2,3)

7、C.(-2,0)D.【解题思路】整理直线方程，根据直线过定点的求法直接求解即可.【解答过程】直线方程可整理为：(x+2)n-x-y+1=0,则由f得：即直加恒过定点(-2,3).故选：B.【变式2-3(2023全国高三对口高考)以下关于直线3%-ay+1=0的说法中，不正确的是()A.直线3%-ay+1=0一定不经过原点B.直线3%-ay+1=0一定不经过第三象限C.直线3x-ay+1=0一定经过第二象限D.直线3%-ay+1=0可表示经过点(一：,0)的所有直线【解题思路】首先求出直线过定点坐标，即可判断A、D,再分a=0、0QVO三种情况讨论，分别判断直线所过象限，即可判断B、C；【解答过

8、程】对于直线3x-qy+1=0,令y=0,解得=故直线恒过点（一，0）,一定不经过原点，故A正确；当=0时直线即为X=-%直线过二、三象限，当0时直线即为y=（x+?若0,则!0,?0,直线过一、二、三象限，若。0,则工0,-0,直线过二、三、四象限，aa所以直线一定过二、三象限，故B错误，C正确；因为宜线恒过点（一1,O）,所以直线3%-y+1=0可表示经过点（一：,0）的所有直线，故选：B.【知识点2两条直线的位置关系】1 .两条直线的位置关系斜截式一般式方程/iy=kx+bb:y=kix+b2A：4z+B】y+G=0（留+8i20）12,.A2x+B2yC,2=0（A2+B20）相交kk

9、A1B2-A2B10（当42B2O时，记为4qB1）垂直k1k2=-14a2+8B2=0（当5H20时，记为442J5D=-1yn2平行k=k2且hb（A1B2-A2B1=O或JA1B2-A2B1=OB1C2-B2C10IA1C2-A2C10（当A2B2C20时，记为义_且C1）W=瓦*瓦重合%=依且b=b4=A2,3=82,c=C2（0）（当42B2C20时，记为生=且=G）A2B2。2【题型3求与已知直线垂直的直线方程】【例3】（2023春新疆伊犁高二校考期中）过点P（-1,3）且垂直于直线+2y-3=0的直线方程为（）A. %+2y+5=OC.x2y5=OB. 2x-y+5=OD.2xy

10、-5=O【解题思路】根据两百.线垂直关系，设出所求直线方程，(-1,3)代入，即可求解.【解答过程】设所求的直线方程为2%-y+c=0,(一1,3)代入方程解得c=5,所求的直线方程为2-y+5=0.故选：B.【变式3-1(2023秋高二课时练习)过点4(4,-5),且与原点距离最远的直线方程为()A.y=-SB.4x+5y41=0C.4x5y-41=0D.4x5y+41=0【解题思路】根据垂直关系可得斜率，由点斜式即可求解.【解答过程】当直线与OA垂直时，此时原点到直线的距离最大，心人=一*所以所求直线斜率为右由点斜式可得直线方程为y=g-4)-5,即4x-5y-41=0,故选：C.【变式3

11、-2(2023高三课时练习)已知4(3,1),B(1,-2),C(11),则过点C且与线段AB垂直的直线方程为().A.3+2y-5=0B.3x2y1=0C.2%3y+1=0D.2x3y5=0【解题思路】求出直线AB的斜率，可得其垂线的斜率，再利用点斜式可求出答案【解答过程】解：因为心8=pJ=j1-3Z所以与48垂直的直线的斜率为.所以过点C且与线段AB垂直的直线方程为y-1=-(x-1),EP2x+3y-5=0,故选：D.【变式3-3(2023吉林统考模拟预测)4Be中,4(3,2),8(1,1),C(2,3),贝必B边上的高所在的直线方程是()A.2x+y-7=0B.2x-y-1=0C.

12、 %+2y-8=0D. X2y+4=0【解题思路】设43边上的高所在的直线为1,求出直线/的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案.【解答过程】设AB边上的高所在的直线为2,由已知可得，纵8=N=3所以直线/的斜率用=-2.1-3Z又，过C(2,3),所以1的方程为y-3=-2(x-2),整理可得，2%+y-7=0.故选：A.【题型4求与已知直线平行的直线方程】例4(2023春天津北辰高二校考阶段练习)过点(-1,3)且平行于直线2%-3y+1=0的直线方程为()A.2x3y+11=0B.3x+2y3=0C.2x3y7=0D.3x+2y+3=0【解题思路】先设出平行于直线2%-3y+1=0的直

13、线系方程，再将点(-1,3)代入方程，进而求得所求直线的方程.【解答过程】平行于直线2无-3y+1=0的直线方程可设为2x-3y+h=0(1)又所求直线过点(-1,3)则2X(1)-33+=0,解之得五=11,则所求直线为2x-3y+11=0故选：A.【变式4-1(2023全国高三专题练习)若直线Z1:2%-3y-3=0与。互相平行，且%过点(2,1)，则直线G的方程为()A.3x+2y-7=0B.3x-2y+4=0C.2x3y+3=0D.2x3y1=0【解题思路】由题意设直线%的方程为2x-3y+m=0,然后将点(2,1)代入直线小2x-3y-m=0中，可求出m的值，从而可得直线%的方程【解

14、答过程】因为直线占2%-3y-3=0与1互相平行，所以设直线%的方程为2%-3y+m=0,因为直线G过点(2,1),所以4-3+zn=0,得?n=1,所以直线%的方程为2%-3y-1=0,故选：D.【变式4-2(2023秋陕西西安高二西安市铁一中学校考期末)与直线y=-2x+3平行,且与直线y=3x+4交于X轴上的同一点的直线方程是()A.y=-2x+4B.y=+4C.y=-2x-D.y=-j3z23【解题思路】先求出直线y=3%+4交于X轴交点P(-g,O),再设与直线y=-2%+3平行的直线方程y=-2x+n,代入点的坐标得解.【解答过程】设直线y=3%+4交于%轴于P点，令y=0,则X=P(-g,O)所求直线与y=-2%+3平行，设y=-2x+n,把P(-g,O)代入得一2X(-1)+m=0.m=-g所求直线方程为：y=-2x-g故选：C.【变式4-3(2023秋.天津西青.高二校考期中)直线m%-y-m+2=0过定点A,若直线过点A且与2%+y-2=0平行，则直线的方程为()A.2x+y-4=0B.2x+y4=0