专题15 已知核心方程(显性)之直线过定点模型 (解析版).docx

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1、专题15已知核心方程(显性)之直线过定点模型定点问题一确定方程定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.证明直线(曲线)过定点的基本思想是是确定方程，即使用一个参数表示直线(曲线)方程，根据方程的成立与参数值无关得出X，)，的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线(曲线)所过的定点.核心方程是指已知条件中的等量关系.【方法总结】(1)单参数法设动直线PM方程为y=&(xXo)+泗；联立直线与椭圆(抛物线)，解出点M的坐标为(A),B(k),同理(由核心方程代换),得出点N的坐标为(CU),D(k);写出动直线MN方程，并整理成

2、0(x,y)+g(x,y)=0;根据直线过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组危，y)=o,g。，y)=0：方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.(2)双参数法设动直线MN方程(斜率存在)为y=履+/；由核心方程得到盘，/)=0(常用韦达定理)；把t用k表示或把k用t表示，即做X,y)+g(,y)=0(或叭X,y)+g(,y)=0);根据直线过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组加，y)=o,Ig(x，y)=0；方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.【例题选讲】例1如图所示，设椭圆M：，+=1(公功0)的左顶点为A,中心为O,若椭圆M过点

3、K一/ORAPA.OP.(1)求椭圆M的方程；(2)若ZUPQ的顶点Q也在椭圆M上，试求ZUPQ面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为玄，的直线交椭圆M于。，E两点，且&怖2=1，求证:直线QE过定点.规范解答I(1)由AR1oP,可知以又点A的坐标为(一a,0),1122III所以一p一二)=-1,解得=1.又因为椭圆M过点P,所以不+/=1,解得护=不z7所以椭圆M的方程为/+宁=1.3(2)由题意易求直线AP的方程为产=耳一，即-y+1=0.2-021因为点。在椭圆M上，故可设cos。，乎sin。)，又IAPI=当，BcosJ一与SinJ+1I7H/r所以SAAPQ=屋冷忑=rcos

4、(g+)+1当，+*=2E伏Z),即。=2履一*Z)时，Sq取得最大值乎十；.(3)法一：单参数法由题意易得，直线AD的方程为y=M(x+1),代入x2+3y2=1,消去y,I得(3后+1)+6后x+36一1=0.设。(切，W),则(-1)xd=Y+,日1M1-31)2k3B2心1设ECgyE),同理可得X=1436冲=1+36又kkz=1且Ari#2,可得灼=6且hH1,2k2k所以Xe=后32k后+3*=3+3,行Nb*一如好+3I+3讨2k、所以kDE=xE-xp=ki-31-3tf=3(+i)好+31+3后故直线Z)的方程为y尚=庶H曷部令y=0,可得X=T拓一十不#=一2故直线OE过

5、定点(一2,0).法二：双参数法设DCVD,W),E(xe,Je).若直线DE垂直于y轴，则Xe=一切，杵=如，此时尢%2=-%UG=杀=；与题设矛盾，XD-VIXf+11-Xb3)力3若OE不垂直于Iy轴，可设直线。E的方程为x=ry+s,将其代入f+3y2=1,消去x,-2/v-I得(2+3)y2+2rsy+s2-1=0,则)+,公=不启，)协后=再三.,_VdyF0,2切+1独+1(,D51)(tyf51)S?-2f$可得(r21).加加+Ns+1)GQ+)+(s+1P=0,所以(产1)y_1_3+心+1)(s+1-=0,可得S=2或s=-1.又OE不过点A,即s-1,所以$=2.所以D

6、E的方程为x=y-2.故直线OE过定点(-2,0).例2已知椭圆C的中心在原点，焦点在X轴上，离心率为坐，它的一个焦点恰好与抛物线y2=4的焦点重合.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的上顶点为A,过点A作椭圆。的两条动弦AB,AC,若直线AB,AC斜率之积为:，直线BC是否恒过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.I规范解答由题意知椭圆的一个焦点为尸(1,0),则c=1.由e=，坐得=i,:b=1,椭圆C的方程为W+y2=1.(2)双参数法由知4(0,1),当直线BC的斜率不存在时，设B&X=X0,设8(沏，涧)，则C(Xo,一州)，=和1.1一=三=*=制,不合题意.故直线

7、8C的斜率存在.XoXoXbXQ24设直线BC的方程为：y=xn(w1),并代入椭圆方程，得：(122)x2+4k%x+2(/1)=0,由=(4*m)2-8(i+2k2)(m2-)0,得23加2+().设8(x,y),Ca2,”)，则由，X2是方程的两根，由根与系数的关系得，4km2(2-1)y-1y2-11s.z1z,x.y1Xi十M-R1而，XiXi=14-22,由kABkAc=即J二一不得:4yy2-4(jy2)4=X1X2，即(4/比1及+4左(加一1)(x2)4(w-1)2=0,整理得(，一1)(用-3)=0,又因为旭1,所以旭=3,此时直线BC的方程为y=履+3.所以直线8C恒过一

8、定点(0,3).例3已知尸是抛物线E：y2=2pMpO)上一点，P到直线-y+4=0的距离为P到E的准线的距离为d2,且力+刈的最小值为32.(1)求抛物线E的方程；(2)直线八：y=k(x1)交E于点A,B,直线以&2。-D交E于点C,D,线段A8,CD的中点分别为M,N,若由依=-2,直线MN的斜率为上求证：直线/：k-y-kkx-82=0恒过定点.规范解答I抛物线E的焦点为啰，0),由抛物线的定义可得d2=PQ,则4+4=d+Pf,1f+4其最小值为点尸到直线xy+4=0的距离，-=32,解得p=4或.=-20(舍去)，抛物线E的方程为y2=8x.(2)单参数法v2=8r,设A(X1,y

9、),8(X2,竺)，由f.z,、可得好X2(2后+8)x+后=0,1)-1)则m+m=驾詈，所以川+及=舟(处1)+Ma21)=1(x+m)-2M=笠，-2Q=26+82后_8X=R好+44后+44线段48的中点M的坐标为(看1)，同理可得点N的坐标为(二一，方)，_4_4_h一公2直线MN的斜率Z=T+49+4=一不”则A(M+依)=一2，K，直线/的方程k-y-kk2=0可化为y=Axk+依)，即y=x2,令x=0,可得y=2,，直线/恒过定点(0,2).I例4(2017.全国I)已知椭圆C5+1=13功乂)，四点P(1,1),P2(O,1),P3(,坐)，中恰有三点在椭圆C上.(1)求C

10、的方程；(2)设直线/不经过B点且与C相交于4B两点.若直线P2与直线的斜率的和为一1,证明：/过定点.规范解答I(1)由于8,8两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过B,尸4两点.又由*+*+磊知，椭圆C不经过点P,所以点。2在椭圆C上.从fa2=4tv2因此I,解得,2故椭圆C的方程为5+y2=1.J-+-1W=1412+2h(2)双参数法设直线P2A与直线PzB的斜率分别为k,k2.如果/与X轴垂直，设/：X=，,由题设知#0,且|犷2,可得48的坐标分别为Q咛目，G-与则巧产=-1,得f=2,不符合题设.从而可设/：y=kx+m(nt).将y=x+m代入，+y2=1得，(4k2+1)2

11、+Skn+4n24=0,由题设可知/=16(4二m2I)0.4tm4设A(X1,y),8(X2,”)，则汨+及=_彳7+，X1X2=4小m_.,.,yj1iy2IAxiw_1.AX2+，11kxX2-(m-1)(xx2)而K-TK2-+5=+=.X2X1X2X1X24w-4由题设卜+2=1,故(2k+1)xi2+(阳一1)(即+m)=O,即(22+1)44二+()力一SkmDg1解得&=一1当且仅当加一1时，JX),于是/：y=一4工+?，即y+1=(x-2),所以/过定点Q,1).例5如图，过顶点在原点、对称轴为)，轴的抛物线E上的点A(2,1)作斜率分别为心，心的直线，分别交抛物线E于B,

12、C两点.(1)求抛物线E的标准方程和准线方程；(2)若将+依=2次2,证明：直线BC恒过定点.X【规范解答(1)设抛物线E的标准方程为f=y,0,将A(2,1)代入得，a=4,所以抛物线E的标准方程为f=4.y,准线方程为y=-1.(2)单参数法由题意得，直线AB的方程为y=2ht+1-2&i,直线AC的方程为y=22%+1-2火2,y=4y,联立，C,消去y得f-4Mx-4(1-21)=0,1y=kx-2k,解得4=2或X=M-2,因此点6(4一2,(2-1)2),同理可得。(4心一2,(22-1)2).下国杳殛A厂油以求1(2-1)2-(261)24伏|-&2)(后+，-1),-7,.于正

13、直乂BC茂#,攵-(412)-(46一2)一4的一心)一心+21,又怎+kkk,所以直线BC的方程为y-(2%2-1)2=(Z业21)口一(4代一2),即y=(M221”一2自e一1=(所女21)(x2)3.故直线BC恒过定点(2,3).例6(2019.北京)已知椭圆C：，+1=1的右焦点为(1，0)，且经过点A(0，1)(1)求椭圆C的方程；(2)设。为原点，直线/：y=+*r1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与X轴交于点M,直线力。与X轴交于点N.若IoMOM=2,求证：直线/经过定点.规范解答(1)由题意，得从=1,c=1,所以/=+=2.所以椭圆C的方程为亨+J2=1(2)双参

14、数法设P(X1,),0(X2”)，则直线AP的方程为y=%x+1.人I令y=0,得点”的横坐标XM=-U.又y=如+r,从而IoM=kw1=U1.同理，IoM=y=k-t,f+r=*得(122)+4to+22-2=0,则XX2=Aki2?-21+2PX1M=+2户所以IoMON=FXIX2+21)(X1+及)+(/I)22?-21+2F2/一22TP-1)1Akt1+22+(11)21+rt又IoMQM=2,所以2zj=2.解得工=0,所以直线/经过定点(0,0).例7己知椭圆C，+=1(。心0)的离心率为乎，其左、右焦点分别为尸I,F2,点尸为坐标平面内的一点，且5=,PFvPF,2=-O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程；(2)设M为椭圆C的左顶点，A,B是椭圆C上