专题10 几何法解决的最值模型(解析版).docx

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1、专题10几何法解决的最值模型【例题选讲】例1过椭圆会+*=1的中心任作一直线交椭圆于P,Q两点,尸是椭圆的一个焦点，则APFQ的周长的最小值为()A.12B.14C.16D.18答案D解析由椭圆的对称性可知，P,Q两点关于原点对称，设尸为椭圆另一焦点，则四边脑PFQ尸为平行四边形，由桶圆定义可知：P+PF+QQ+。尸=44=20,又IPQ=IQ尸,I。/I=IP尸,IPF1+QF1=1O,又尸Q为椭圆内的弦，|PQ|min=2/?=8,.ZPFQ周长的最小值为：10+8=18.故选D.(2)已知点尸为椭圆C：1+y2=1的左焦点，点尸为椭圆C上任意一点，点。的坐标为(4,3),则IPQ1+1P

2、F1取最大值时，点P的坐标为.答案(0,-1)解析设椭圆的右焦点为E,PQ+PQ=PQ+%一IPf=PQ-PE+2啦.当P为线段QE的延长线与椭圆的交点时，IPQ+俨月取最大值，此时，直线PQ的方程为y=-1,QE的延长线与椭圆交于点(0,-1),即点P的坐标为(0,-1).(3)椭圆,+=1的左焦点为广，直线x=m与椭圆相交于点M,N,当AEWV的周长最大时，AFMN的面积是()立65r85n45A,55C,5D,5答案C解析如图所示，设椭圆的右焦点为尸，连接MFr,N尸.因为IMQ+1Mq+M尸+NNMA+WE+MN,所以当直线=/n过椭圆的右焦点时，AFMN的周长最大.此时N=斗=芈，又

3、C=ya2-b2=y5-4=1,所以此时尸MN的面积S=52x理故选C.(4)设P为双曲线/一g=1右支上一点，M,N分别是圆G：(x+4)2+j2=4和圆。2：(x-4)2+y2=1上的点，设IPM|PM的最大值和最小值分别为相，6则以一川=()A.4B.5C.6D.7答案C解析由题意得，圆G：3+4)2+y2=4的圆心为(一4.0),半径为门=2;圆C2：(-4+9=1的圆心为(4,0),半径为2=1设双曲线f一*=1的左、右焦点分别为尸1(一4,0),F2(4,0).如图所示，连接PR,PF2,FiW,F2Ny则IPR1IP尸2=2.又IPM1naN=IPA1+门，IPNImin=IP0

4、|一出所以IPM一IPNI的最大值m=PB1PF2+r+A=5.又IPMmin=IPQIr,PUx=|尸匕1+冷，所以IPMI-IPN的最小值=IPF1I-IPF2|一一r2=一1,所以|用一川=6.故选C.(5)已知点M(3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线j2=2的焦点为F,点。是该抛物线上的一动点，则IMQ1-IQF1的最小值是()D.27-2A.3B.5-2C答案c解析抛物线的准线方程为X=一；,过Q作准线的垂线，垂足为,如图.依据抛物线的定义，得IQMI-Ig=IQM-IQQI,则当QM和Q。共线时，|。历|一1。|的值最小，最小值为一3一(一例2(6)已知抛物线的方程为x2=8y,

5、尸是其焦点，点A(2,4),在此抛物线上求一点尸，使AAPF的周长最小，此时点P的坐标为.答案一2,g解析因为(一2V84,所以点A(-2,4)在抛物线x2=8y的内部，如图，设抛物线的准线为/,过点P作P。Ij于点Q,过点A作于点8,连接AQ,由抛物线的定义可知aAPF的周长为P1+M71=PQ+aM+AFeAQ+AQe3+AF,当且仅当P,8,A三点共线时，XXPF的周长取得最小值，即A8+AQ.因为4一2,4),所以不妨设尸的周长最小时，点P的坐标为(一2,州)，代入A2=8y,得知4故使厂的周长最小的抛物线上的点P的坐标为(一2,；).【对点训练】1.已知椭圆的方程为弓+?=I,过椭圆

6、中心的直线交椭圆于A,8两点，尸2是椭圆的右焦点，则aA5B的周长的最小值为，ZXAW72的面积的最大值为.1 .答案io25解析设a是椭圆的左焦点.如图，连接Aa.由栖圆的对称性，结合椭圆的定义知IAB1+伊尸d=24=6,所以要使AAB尸2的周长最小，必有A8=2b=4,所以AAB尸2的周长的最小值为10.5=Sn=2cyA=5yA25,所以面积的最大值为2小.?22 .设尸I,尸2分别是椭圆A+*=1的左、右焦点，尸为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4),则IPM一IPRI的最小值为.3 .答案一5解析由椭圆的方程可知尸2(3,0),由椭圆的定义可得IPBI=加一IPB1,PMTPRI

7、=IPW1-(2a-P2)=PM+PF2-2aMF2-2a,当且仅当M,P,B三点共线时取得等号，又MF,=(6-3)2+(4-0)2=5,2a=10,；.|PM-IP尸25-IO=-5,即IPM-IP川的最小值为一5.4 .已知F是椭圆5f+9y2=45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点.则+PF的最大值为,最小值为.5 .答案6+26-2解析如图所示，设椭圆右焦点为尸则P+PQ=6.所以+PF=-IPRI+6.利用一AB11P同WIAFIK当P,A，K共线时等号成立).V26 .椭圆C5+j2=I(A1)的离心率为竽，F1,尸2是。的两个焦点，过B的直线/与C交于A,B两点

8、、,则HBI+18尸2的最大值等于7 .答案7解析因为椭圆C的离心率为坐，所以犯尸=坐，解得=2,由椭圆定义得IAF2I+I8F2I17+IA阴=4a=8,即IAB1+BB1=8|4同，而由焦点弦性质，知当AB1r轴时，IA现取最小值2X=1,因此AF2+8B的最大值等于8-1=7.8 .已知圆M：(-2)2+y2=1经过椭圆C+=1(机3)的一个焦点，圆M与椭圆C的公共点为4,B,点P为圆M上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为()A.210-5B.2K)-4C.4K)-11D.4U)-109 .答案A解析易知圆/与X轴的交点为(1,0),(3,0),3=1或m3=9,则机=4或Zn=(x

9、2)2+y2=1,12.当加=12时，圆M与椭圆。无交点，舍去.所以n=4.联立得f-16x+24=0.又xW2,所以x=8-21b.故点P到直线A8距离的最大值为3(82币6)=2/一5.926.设P是椭圆会+=1上一点，M,N分别是两圆：(x+4)2+V=1和(x4)2+y2=1上的点，则IPM+1PM的最小值和最大值分别为()A.9,12B.8,11C.8,12D.10,126 .答案C解析如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|两|+P8=2=10,连接心,P8分别与圆相交于M,N两点，此时IPM+1PN1最小，最小值为I以|+俨用-2R=Si连接用，PB

10、并延长，分别与圆相交于M,N两点，此时IPM+1PN1最大，最大值为%+P8+2K=12,即最小值和最大值分别为8,12.7 .P是双曲线C：1-y2=1右支上一点，直线/是双曲线。的一条渐近线，P在/上的射影为Q,R是双曲线C的左焦点，则IPQI+PQ的最小值为()A.1B.2+2C.4+雪D.22+17 .答案D解析如图所示，设双曲线右焦点为尸2,则IPFII+PQ=2+PBI+PQ,即当PQ+PBI最小时，IPQI+1Po1取最小值，由图知当尸2,P,。三点共线时PQ+P尸2取得最小值，即产2到直线/的距离d=1,故所求最值为2+1=2g+1故选D.8 .双曲线。的渐近线方程为y=手X,

11、一个焦点为尸(O,-7),点A(10),点P为双曲线上在第一象限内的点，则当点P的位置变化时，抬厂周长的最小值为()A.8B.10(a2j3b=3C=巾C.437D.3+372=4,y7解得伊=3,则双曲线C的方程为一=1,设双曲线,c2=7,的另一个焦点为尸，则IPF1=IP尸|+4,必产的周长为P+必+AFI=IP尸+4+RM+3,又点P在第一象限，则IP尸+4的最小值为IAFI=3,故孤尸的周长的最小值为10.9.过双曲线X2一0=1的右支上一点P,分别向圆Ci：(x+4)2+)2=4和圆。2：(x4+y2=1作切线，切点分别为M,M则IpmPtpnP的最小值为()A.10B.13C.1

12、6D.199 .答案B解析由题意可知，PM2-PN2=(IPGF一明一(IPQF-D,因此IPM2PN2=PG2-PC22-3=(PC-PC2)(PC1+PC2)-3=2(PC,PC2)-32CC2-3=13.故选B.10 .已知点尸是抛物线V=4x的焦点，P是该抛物线上任意一点，M(5,3),则PQ+PM的最小值是()A.6B.5C.4D.311 .答案A解析由题意知，抛物线的准线/的方程为工=-1,过点P作尸EJJ于点已由抛物线的定义，得IPE1=IP凡易知当P,E,M三点在同一条直线上时，PQ+PM取得最小值，即(IPFI+1PM)min=5-(-1)=6,故选A.12 .已知抛物线y2

13、=2x的焦点是凡点P是抛物线上的动点，若点4(3,2),则+PQ取最小值时，点P的坐标为.11 .答案(2,2)解析将x=3代入抛物线方程y2=Zr,得)，Y2,在抛物线内部.如图，设抛物线上点尸到准线/:X=-的距离为乩由定义知B4+PF=%+d,当出Ij时，PA-3t-d77有最小值，最小值为5，即+PQ的最小值为5，此时点P纵坐标为2,代入.y2=2x,得x=2,，点户的坐标为(2,2).12 .已知抛物线CV=2px(p0)的焦点为尸，准线为/,且/过点(一2,3),M在抛物线C上，若点、N(1,2),则MV+MF的最小值为()A.2B.3C.4D.512 .答案B解析由题意知刍=2,

14、即=4.过点N作准线/的垂线，垂足为V,交抛物线于点则M,N,=M,F,则有MN+1MQ=IMM+M72MW+M,N=WMI=I-(-2)=3.13 .已知点M(x,y)是抛物线y2=4x上的动点，则Ia2+(，一+4卯1)2+产的最小值为()A.3B.4C.5D.614 .答案A解析因为N(X-1+y2表示点f(x,)，)到点尸(1,0)的距离，即点Ma,y)到抛物线y2=4x的准线X=-I的距离，因为(2)2+。，-1)2表示点Ma,y)到点4(2,1)的距离，所以(X2)2+，-1)2+:(X1+y2的最小值为点A(2,1)到抛物线y2=4的准线X=-I的距离3,(yj(-2)2+(y-)2-(-1)2+y2)min=3.故选A.15 .已知P是抛物线=4x上的一个动点，Q是圆(-3)2+G，-1)2=1上的一个动点，M1，0)是一个定点，则PQ+PM的最小值为()A.3B.4C.5D.2+114 .答案C解析由抛物线方程j2=4x,可得抛物线的焦点网1,0),又N(1,0),所以N与尸重合.过圆(-3)2+(y1产=1的圆心M作抛物线准线的垂线”，交圆于。，交抛物线于P,则PQ+PN的最小值等于IMH1-