专题13 椭圆(抛物线)的标准方程模型(原卷版).docx

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1、专题13椭圆(抛物线)的标准方程模型求解圆锥曲线标准方程的方法(1)定型，即指定类型，也就是确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程.(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的后,从或p.另外，当焦点位置无法确定时,抛物线常设为y2=2px或x2=2PyS0),椭圆常设为mx2+ny2=(m0,Z2O),双曲线常设为nrny2=1(mnO).1.椭BI的标准方程【例题选讲】721例1已知椭圆C，+方=13功0)的离心率为且椭圆C的长轴长与焦距之和为6,则椭圆C的标准方程为()A.5j=1B.+*2=1C.y=1D.3+餐=1W1r1答案D解析依题意椭圆C:/+方=1(abO)的离心率为得,

2、=5，椭圆C的长轴长与焦距之和为6,2+2c=6,解得=2,c=1,则=5,所以椭圆C的标准方程为：，=1,故选D.(2)一个椭圆的中心在原点，焦点Q,B在X轴上，PQ，小)是椭圆上一点，且IPa|,IRF2,IPBI成等差数列，则椭圆的方程为()1、,2A答案A解析设椭圆的标准方程为/+方=13功乂)，由点P(2,5)在椭圆上，知宗=1.又IPFI1I尸典，IPBI成等差数列，则IPQ1+IPFd=WBI,即20=2X2c,则*+亳=1,22又/=2加，联立0)的右焦点为F(3,0),过点尸的直线交椭圆E于A,8两点.A二+二=1A45十361若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为

3、(B.99X-1r,36+27=197c-27十18一1D.=1答案D解析0(1)由题意知直线AB的斜率k=；,设4但,J1乙y),B(x2f,2),+=1，一整理得M=乎.患.尤一J.er22a292a2-b2=c2=9t,/=18,h2=9.)椭圆E的方程为+g=I.10V(5)(2019全国I)已知椭圆C的焦点为/1(一1,0),2(1,0),过尸2的直线与C交于A,8两点.若IAF2=2IB剧，1AB=BFi,则C的方程为()A.=1B.=1c4+f=,D-54=答案B解析解法一由题意设椭圆的方程为5+g=1(b0),连接F1Af令F2B=zw,则HF2=2m,BFI=3m.由椭圆的定

4、义知，4m=2af得团=今故|尸2川=方川，则点A为辅圆C的上顶点或下顶点.令NOA尸2=优。为坐标原点)，则sin。=%在等腰三a21112角形A8F中，CoS2。=五=,所以彳=12,得=3.又C2=I,所以护=一/=2,222椭圆C的方程为+3=I.故选B.解法二设椭圆的标准方程为5+g=1(ab0).由椭圆的定义可得IAQ1+1AB1+IBQI3=4”.9AB=BFtAF2=2F2,；|A用=6FII=RAF水AF+3AF2=4.又YHBI+1ABI=2,.AQ=A尸2=,，点A是椭圆的短轴端点，如图.不妨设A(0,-b)t由由点B在椭圆上,F2(1,O),F2=2F2B,护一4针+9

5、-4?=2.,椭圆C的方程为亨+5=1.故选B.2(6)设尸,尸2分别是椭圆氏f+方=I(OV8VI)的左、右焦点，过点尸1的直线交椭圆E于A,B两点，若IAQ1=3Q3,AB1r轴，则椭圆E的方程为.答案+y2=1解析设8在X轴上的射影为&),由题意得，|8。不=；IK玛吾,得氏坐标为卜;0)即B点横坐标为-冷.设直线A8的斜率为k,又直线过点B(-c,y=k(x+c),0),；直线AB的方程为y=A(x+c).由0),若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为()A+=19+f=1c9+f=1D-+i=3 .已知椭圆的中心在原点，离心率e=；,且它的一个焦点与抛物线y2=

6、-4x的焦点重合,则此椭圆方程为（）A.2+5=1B.f+f=1C.f+y2=1D.j+y2=14.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在X轴上，离心率为坐，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为（）a%+9=|B.+=1C.+=1D.+f=5 .已知椭圆C：5+W=1（0b0）的左、右焦点分别为尸I,B，离心率为|，过B的直线/交C于A,B两点，若AAF/的周长为12,则椭圆C的标准方程为（）-2十X2-3B.=4十x29C+x2-9D.6 .已知H（-1,O）,F2（1,0）是椭圆C的焦点，过尸2且垂直于X轴的直线交椭圆C于A,B两点,且网=3,则C的方程为（）7.中心为（

7、0,0）,一个焦点为尸（0,5例的椭圆，截直线产3X2所得弦中点的横坐标为则该椭圆的O9cJE=IC25+75一1D-25+方程是（）A=18 .已知椭圆C1+A=1（obO）的离心率为正.双曲线/一产=1的渐近线与椭圆Ca2b22有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为（）22222222yC厂厂厂yC厂1A.F-=1B.1=1C.J-=1D.1=182126164205929 .设Q,B为椭圆。：方=1（。）的左、右焦点，经过尸1的直线交椭圆C于A,B两点，若的面积为4小的等边三角形，则椭圆C的方程为10 .已知椭圆C：W+%=13z*）的左、右焦点为Q，/2,

8、左、右顶点为M,N,过户2的直线/交C于48两点（异于M,M，A4产出的周长为4小，且直线与AN的斜率之积为一东则C的方程为（）11 .已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为尸（I,0）,点尸关于直线y=%的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为.?9?212 .椭圆C:潦十方=I的离心率为ei，双曲线。2：U-M=I的离心率为62,其中，ab0,e23,且线/：xy+3=0与椭圆G相切，则椭圆G的方程为（）113 .若椭圆W4=1的焦点在X轴上，过点（1,：）作圆x2+j2=1的切线，切点分别为A,crh22B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（）14 .已知Q,尸2为椭圆C+1

9、=1（GZ0）的左、右焦点，过原点。且倾斜角为30。的直线/与椭圆C的一个交点为A,若ABJ_A尸2,Safaf,=2,则椭圆C的方程为（）2.抛物线的标准方程【例题选讲】例2（7）已知抛物线y2=2pMp0）上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大则抛物线的标准方程为（）A.y1=xB.yr=2xC.y1=4xD.y1=Sx答案B解析由抛物线y2=2pMp0）上的点M到其焦点尸的距离比点M到），轴的根据抛物线的定义可得g=4,p=1,所以抛物线的标准方程为V=Zr.故选B.距离大;，（8）如图,过抛物线y2=2px（p0）的焦点尸的直线/交抛物线于点A,8,交其准线于点C,若8C=2BF

10、,且IAf1=3,则此抛物线方程为（）A.)?=9xD.y2=y3x答案C解析法一：如图，分别过点A,8作准线的垂线，分别交准线于点瓦。设IBFI=,则由已知得出C=2,由抛物线定义，得旧f=,故N8CO=30。，在RtZkACE中，.E=HF1=3,IAa=3+34,2E=AC,即3+34=6,从而得=1,IFa=3。=3.，p=|尸G1=因此抛物线方程为y2=3x,故选C.法二：由法一可知NM=60。，则由IM=3,=3,.抛物线的标准方程为=3x.（9）已知圆G：/+。，-2）2=4,抛物线C2：V=2pS0）,C1与C2相交于A,B两点，HB1=呼，则抛物线C2的方程为.答案r解析由题

11、意，知圆G与抛物线C2的一个交点为原点，不妨记为8,设A(n,).因为H用=即A（5，号）将点A的解得8-577xyr联立仔3j3=84x坐标代入抛物线方程得管）=2PX冬所以P=S所以抛物线。2的方程为尸裂（10）己知尸I,尸2分别是双曲线3f-y2=330）的左、右焦点，P是抛物线j2=8r与双曲线的一个交点，若IPaI+PB=12,则抛物线的方程为（）A.y2=9xB.y2=8C.j2=3D.j2=3x答案y2=8.r解析将双曲线方程化为标准方程得一品=1,PF1+PF2=12,=x=3u,即点P的横坐标为3.而由J=PB=6-,又易知尸2为抛PF-PF=2a物线的焦点，.PBI=3+2=6-,得=1,，抛物线的方程为y2=8x【对点训练】15 .已知抛物线C的顶点是原点0,焦点产在X轴的正半轴上，经过点尸的直线与抛物线C交于A,B两点，若5油=-12,则抛物线C的方程为（）A.x1=SyB.f=4yC.y2=8xD.y2=4x16 .直线/过抛物线y2=-2pNpO）的焦点，且与该抛物线交于A,8两点，若线段AB的长是8,AB的中点到了轴的距离是2,则此抛物线的方程是（）A.y2=12xB.y2=-8xC.y2=6xD.y=-x?217 .已知双曲线G：a一/=1（0,/0）的离心率为2.若抛物线J：W=2pM0）的焦点到双曲线G的渐近线的距离为2