专题18 斜率型定值型问题(解析版).docx

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1、专题18斜率型定值型问题定值问题一巧妙消参定值问题就是证明一个量与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表达求证目标，通过运算求证目标的取值与变化的量无关.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决.题型一斜率问题【例题选讲】例1已知椭圆C：a+$=1(。力0)的离心率为半，且过点A(2,1).(1)求椭圆C的方程；(2)若尸，Q是椭圆C上的两个动点，且使/以Q的角平分线总垂直于X轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.规

2、范解答I(1)因为椭圆C的离心率为坐，且过点A(2,1),所以/=1，=2-因为42=/+，解得拄=2,a2=8所以椭圆C的方程为+5=1.OZ(2)因为NBAQ的角平分线总垂直于X轴，所以以与AQ所在直线关于直线x=2对称.设直线布的斜率为4,则直线AQ的斜率为一匕所以直线PA的方程为y1=k(-2),直线AQ的方程为y-=-k(x-2).x24y2=8,设点P(X1,y),0(X2,”)，由JJ.1j=k(-2)1,消去y得(1+42)2-8(2Kk)x+16炉一I6A4=0,因为点A(2,1)在椭圆C上，所以x=2是方程的一个根,8尼+8&21+4F16后一16人一4C1r8炉一8A22

3、x产1+我即1+4公.rrf16kV.z1x.16748k所以即-刈=_+4d又y-y2=k(+2)-4=1+42-4k=-1+4jt2,所以直线P。的斜率为公O=1所以直线P。的斜率为定值，该值为今X1X2/乙21例2已知椭圆C/+%=13功X)的离心率为力右焦点为凡右顶点为EP为直线x=1a上的任意一点，且(讲+屋)那=2.(1)求椭圆C的方程；(2)过尸且垂直于X轴的直线A8与椭圆交于A,3两点(点A在第一象限)，动直线/与椭圆C交于M,N两点，且M,N位于直线AB的两侧，若始终保持NMAB=NNA8,求证：直线MN的斜率为定值.规范解答(1)设PG)，F(c,O),E3,0),则苏=(

4、C等，一)星=(号一)EF=c-af0),所以屏+西用=(C-%,2(c-a,0)=2,即(C-(ca)=2,又e=：9，所以=2,c=1,Z=3,从而椭圆。的方程为，+1=1.(2)由知A(1,I),设MS,V),Ng”)，设MN的方程：y=k-m,代入椭圆方v2程2=八得伊2+?)%2+4?2-12=。，所以Xi+X2=一工；X1JQ=：；?+；.又M,N是椭圆上位于直线48两侧的动点，若始终保持NMAB=/NA8,1)=0,即(2I)(2m+2-3)=0,得上;.故直线MN的斜率为定值;.例3J如图所示，抛物线关于X轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2),A(x1,),8(x2,力)

5、均在抛物线上.(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当力与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值.I规范解答(1)由题意可设抛物线的方程为V=2px0O).则由点P(1,2)在抛物线上，得22=2p1,解得p=2,故所求抛物线的方程是y2=4x,准线方程是X=-1Vi-2V?2(2)因为用与尸8的斜率存在且倾斜角互补，所以M1=一而出即=一.X1-1X2-1又A(即，J),(2,方)均在抛物线上，所以XI=及=予，从而多=一1才T即熹=5,得)-”=4,故直线AB的斜率加=卡=T,为定值.例4如图，在平面直角坐标系Xo)，中，椭圆：a+g=I(QQO)的离心率为坐直线/：)

6、=5与椭圆七相交于A,B两点,AB=4yf5,C,。是椭圆E上异于A,B两点，且直线AC,BD相交于点M,直线AQ,BC相交于点M(1)求a,b的值；(2)求证：直线MN的斜率为定值.I规范解答I(1)因为e=5=坐，所以C?=%?,即/一=/，所以/=2护；故椭圆方程为器+=1;由题意，不妨设点4在第一象限，点B在第三象限,FF解得A(邛%,坐6)；又48=4小，所以OA=25,即/+9?2=2。,京+%=1解得=12.i=26,=23;v22(2)由知，椭圆E的方程为言+的=1,从而A(4,2),B(-4t-2);当CA,CB,DA,斜率都存在时，设直线CA,DA的斜率分别为k?,C(x0

7、,闻，,8-显然M#2；即丘=套黑=谭三/得味=T所以总c=一点同理。S=1一诟于是直线AD的方程为y-2=Z4),直线8C的方程为y+2=一点(x+4)；y+2=+4)y2=k2(x4)84必一8左42+1解得V,C1-4自改28V+2从而点N的坐标为(8k伙218&i-42攵必+1-4%伙2-8A+222必+1)用心代h,k代依得点M的坐标为C弘的一8女2-422危+1-4kZ-85+22kk1V-2-1一软色8Z+2-4攵曲一8舟+22火血+12k曲+18(MT2)8k次218k148心22一触一48(A：2i)212i2+1-即直线MN的斜率为定值一1；当CA,CB,DA,DB中,有直

8、线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(4,-2)；仍然设DA的斜率为攵2,由知任8_J_=一说14此时C4:x=4,DB:y+2=一诟(”+4)，它们交点M(4,一/一2)；4BC：y=2tAD：y-2=k2(x-4)t它们交点M4瓦，-2),从而公的=1也成立;由可知，直线MN的斜率为定值一1；【对点训练】1.已知椭圆C的中心在原点，离心率等于去它的一个短轴端点恰好是抛物线f=85y的焦点,(1)求椭圆。的方程；(2)如图，已知P(2,3),Q(2,3)是椭圆上的两点，A,8是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.若直线AB的斜率为右求四边形

9、APBQ面积的最大值;当4,8运动时，满足/APQ=ZBPQ,试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由.?21 .解析设椭圆C的方程为，+3=1(a加0),抛物线的焦点为(O,23).=23.由彳=3，/=/+护，得。=4,；.椭圆。的方程为寻+抬=1.(2)设A(X1,y),8(必，)?2).设直线AB的方程为y=%+f,代入存+方=1，得/+以f-12=0,由40,解得一4bO)的左焦点和下顶点，坐标原点O到直线/的距离为1(1)求椭圆C的离心率；(2)若椭圆C经过点P(2,1),点A,8是椭圆C上的两个动点，且NAPB的角平分线总是垂直于)，轴，试问：直线A3的斜率是否为定值？若是，求出

10、该定值；若不是，请说明理由.2.解析(1)过点(一c,0),(0,一力的直线/的方程为bx+y+bc=0,则坐标原点O到直线/的跑离为d=辞1考得可得=2bc,=4(2c2)c2,1.4/-4/+1=0,解得=坐.(2)由(1)易知a=仇则精圆C：五i+$=1经过点P(2,1),72解得护=3,则椭圆C：3+=1因为NAPB的角平分线总垂直于y轴，所以AP与BP所在直线关于直线y=1对称.则以P=一总,设直线AP的斜率为女，则直线B2的斜率为一匕所以直线PA的方程为y-1=k(-2),直线BP的方程为y-1=一岚)-2).+=1,设点A(Xby),8(如丹)，由63J=MX2)+1,消去y得(

11、I+2F)A2+4伏一23比+83-84一4=0,E1j-we八Ir,1,82-82-44公一4k2424-2因为点P(2,1)在椭圆C上，贝IJ有2x=J_|_22，即x=+2.2.可理x=+2Ar,所以项-M=-JTjT而.又9一”=MX1+必)-4女=一+2妤，所以直线AB的斜率为公B=江*=1所以直线A6的斜率为定值，该值为1.X1X23.已知椭圆C：a+=1(b)的离心率为坐，且过点P(2,-1).(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点Q在椭圆。上，且尸Q与X轴平行，过?点作两条直线分别交椭圆C于Aa,y)，8(X2,力)两点，若直线PQ平分NAP以求证：直线AB的斜率是定值，并求出这

12、个定值.3.3-4-20以所解析(1)因为椭圆。的离心率为5=坐,所以椭圆C的方程可化为f+4)2=4A又椭圆C过点P(2,-1),所以4+4=4从，解得护=2,4=8,所以椭圆C的标准方程为5+=1.O1由题意，知直线必,PB的斜率均存在且不为0,设直线用的方程为y+1=k(-2)(0),x24y2=8,联立方程，得I消去y得(I+40”-8(23+好x+16A2+I6A-4=0,j=(x2)1,所以2x=16炉+16攵-41+4即XI=81+弘一21+4F8Ar-821+4f因为直线尸。平分NAPB,且尸。与X轴平行，所以直线网与直线尸8的斜率互为相反则直线P8的方程为y+1=-k(-2)(k0)f同理可得X2=fy1=(x-2),又1+1=Ts2),所以“f3+、2)一依16Xf=中访63一4Sk即川一”=曲为+及)_必=&+4&2一软=-而，一仍I+4炉1所以直线AB的斜率以。=2_*=而=一5，为定值.Xi-X21621+4F4.已知椭圆C：也十方=1(b0)的离心率为坐且C过点(1,明.(1)求椭圆。的方程；(2)若直线/与椭圆C交于P,。两点(点P,。均在第一象限)，且直线OP,/,0。的斜率成等比数列，证明：直线/的斜率为定值.4=2,2C*1,故椭圆C的方程为了+产-Ccy32,解析由题意可得41上17+4?,(2=b2+c2,(2)由题意可