专题13 椭圆(抛物线)的标准方程模型(解析版).docx

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1、专题13椭圆(抛物线)的标准方程模型求解圆锥曲线标准方程的方法(1)定型，即指定类型，也就是确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程.(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的后,从或p.另外，当焦点位置无法确定时,抛物线常设为y2=2px或x2=2PyS0),椭圆常设为mx2+ny2=(m0,Z2O),双曲线常设为nrny2=1(mnO).1.椭BI的标准方程【例题选讲】721例1已知椭圆C，+方=13功0)的离心率为且椭圆C的长轴长与焦距之和为6,则椭圆C的标准方程为()A.5j=1B.+*2=1C.y=1D.3+餐=1W1r1答案D解析依题意椭圆C:/+方=1(abO)的离心率为得,

2、=5，椭圆C的长轴长与焦距之和为6,2+2c=6,解得=2,c=1,则=5,所以椭圆C的标准方程为：，=1,故选D.(2)一个椭圆的中心在原点，焦点Q,B在X轴上，PQ，小)是椭圆上一点，且IPa|,IRF2,IPBI成等差数列，则椭圆的方程为()1、,2A答案A解析设椭圆的标准方程为/+方=13功乂)，由点P(2,5)在椭圆上，知宗=1.又IPFI1I尸典，IPBI成等差数列，则IPQ1+IPFd=WBI,即20=2X2c,则*+亳=1,22又/=2加，联立0)的右焦点为F(3,0),过点尸的直线交椭圆E于A,8两点.A二+二=1A45十361若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为

3、(B.99X-1r,36+27=197c-27十18一1D.=1答案D解析0(1)由题意知直线AB的斜率k=；,设4但,J1乙y),B(x2f,2),+=1，一整理得M=乎.患.尤一J.er22a292a2-b2=c2=9t,/=18,h2=9.)椭圆E的方程为+g=I.10V(5)(2019全国I)已知椭圆C的焦点为/1(一1,0),2(1,0),过尸2的直线与C交于A,8两点.若IAF2=2IB剧，1AB=BFi,则C的方程为()A.=1B.=1c4+f=,D-54=答案B解析解法一由题意设椭圆的方程为5+g=1(b0),连接F1Af令F2B=zw,则HF2=2m,BFI=3m.由椭圆的定

4、义知，4m=2af得团=今故|尸2川=方川，则点A为辅圆C的上顶点或下顶点.令NOA尸2=优。为坐标原点)，则sin。=%在等腰三a21112角形A8F中，CoS2。=五=,所以彳=12,得=3.又C2=I,所以护=一/=2,222椭圆C的方程为+3=I.故选B.解法二设椭圆的标准方程为，+方=1(abO).由椭圆的定义可得IAQ1+1AB1+IMI3=4a.=IASI=IWUAF2=2F2,；|A用=6FII=RAF水AF+3AF2=4.又TAM+1ABI=24,.AQ=IAB1=0.点A是椭圆的短轴端点，如图.不妨设A(0,-b)t由F2(1,O),F2=2F2B,由点B在椭圆上,护一4针

5、十9-4?=2.,椭圆C的方程为亨+5=1.故选B.2(6)设尸I，尸2分别是椭圆氏f+=1(0V8VI)的左、右焦点，过点尸1的直线交椭圆E于A,B两点，若IAQ1=3Q3,AB1r轴，则椭圆E的方程为.答案+y2=1解析设8在X轴上的射影为&),由题意得，|8。不=；IK玛吾，得氏坐标为5多)，即B点横坐标为音.设直线A8的斜率为k,又直线过点Q(-c,y=k(x+c),0),；直线AB的方程为y=A(x+c).由0),若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（）2 .答案B解析椭圆长轴长为6,即勿=6,得=3,V两焦点恰好将长轴三等分，2c=2d=2,得c=1,因此，

6、从=一/=9一1=8,此椭圆的标准方程为5+?=1.故选B.3 .已知椭圆的中心在原点，离心率e=*且它的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点重合,则此椭圆方程为（）A.?+尹1B.j+f=1C.f+y2=1D.j+y2=1jy23 .答案A解析由题可知桶圆的焦点在轴上，所以设楠圆的标准方程为，+/=1（4bO）,而抛物线y2=-4x的焦点为（-1,0）,所以c=1,又离心率e=：=；,解得=2,b2=a2c2=3,所以椭圆方程为，+，=1.故选A.4 .己知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在X轴上，离心率为坐，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为（）A-+9-=1B.f+=1

7、C.ff=D.f+7=15 .答案A解析依题意设椭圆G的方程为，+=13历0）,.椭圆上一点到两焦点的距离之和为12,.2=12,=6,二椭圆的离心率为坐，:e=彳=N1生=坐,即yJ1一号=堂,解得力2=9,.椭圆G的方程为芯+5=1,故选A6 .已知椭圆C：a+g=1（Q0）的左、右焦点分别为尸I,F2,离心率为|,过户2的直线I交C于A,B两点,若A4尸归的周长为12,则椭圆C的标准方程为（）A.5+y2=1B.y2=1C.+j=1D.+O5=15 .答案D解析由椭圆的定义，知IARI+|A&|=，|8户+8F2=2,所以AAF8的r2+ABI+8F+8尸2=4=12,所以=3.因为椭圆

8、的离心率e=,=予所以c=2,所以从=一d=5,所以椭圆。的方程为+=1,故选D.6 .已知产i(1,O),2(1,0)是椭圆C的焦点，过尸2且垂直于X轴的直线交椭圆C于A,B两点,且IA用=3,则C的方程为()j22/7 .答案C解析由题意，设椭圆方程为5+方=1(0),将A(c,y)代入椭圆方程得+1=1,由M2h2此求得炉=1所以IA8=3=工，又c=1,cr-b2=c1t可解得=2,Zr=3,所以椭圆C的方程为5+5=1.8 .中心为(0,0),一个焦点为尸(O,56)的椭圆，截直线y=3-2所得弦中点的横坐标为当则该椭圆的方程是()2a：,2A-75125d-25+9 .答案C解析。

9、=5啦，设椭圆方程为/$+5=1,联立方程C-5+T消去y,整理得(IOa2-450)j-12(a2-50)x+4(2-50)-a2(a2-50)=O,由根与系数的关系得xx2=12(-50)r2V21-2N-=I,解得2=75,所以椭圆方程为行+充=1.IOf1-45()23/J8.已知椭圆C4+A=1(ob)的离心率为由.双曲线F-J2=I的渐近线与椭圆Ca2b22有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为()X2y2.CX2X2y2X2y2A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1821261642058.答案D解析双曲线2-j2=i的渐近线为y=,与椭圆C有四个

10、交点，以这四个交点为顶点的四边形面积为16,可得四边形为正方形，其边长为4,双曲线的渐近线与椭圆C的一个交点为(2,2),所以有3+2=1,又因为e=也，a2=b2+c2,联立解方程组得标aba2=20,b2=5,故选D项.929.设尸I,尸2为椭圆C5+%=1360)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于4,B两点,若AFzAB的面积为4小的等边三角形，则椭圆C的方程为.?29 .答案f+f=1解析FFMB是面积为4小的等边三角形，ABJ_x轴，,A,B两点的横坐标为一a代入椭圆方程，可求得IBA1=IQ阴=?又尸周=2c,NQBA=30。，：=半2c.又Sfm8=:X2cX誓=4小，.d2

11、=2+c2,.由解得/=9,h2O,2=6,c2=3,I椭圆C的方程为+=1.10 .已知椭圆C：5+g=1(Z0)的左、右焦点为Q,尸2,左、右顶点为M,N,过F2的直线/交C于A,8两点(异于M,M，尸山的周长为4#,且直线与AN的斜率之积为一东则C的方程为()A-f=1B+4=1C.y+2-=1D.y+y2=111 .答案C解析由AARB的周长为43,可知+AB+8A+8尸2=4=45,解得=3,则用(一#,0),N牵,0).设点A(M,泗)(xo5),由直线AM与AN的斜率之积为-y可得辞疔向与=y即M=一就一办,又年+=1，所以H=MT),.由解得y=2.所以C的方程为+=1.11

12、.已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为尸(1,0),点尸关于直线=5的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为.11.答案罟+竽=1解析设椭圆方程为S+W=13z),由题意可知C=I,即。2。2=1，设点F(1,0)关于直线)，=5的对称点为(如)，可得公号=一2.又因为点尸与其对称点3w=7,即对称点为G，5的中点坐标为3）,且中点在直线y=%上，所以有W=Jx%，联立,QIA,代入椭圆方程可得赤+翡=1，联立，解Q45厂5v得/=1,b2=,所以椭圆方程为于+于=199?212 .椭圆Ci：/+方=1的离心率为e,双曲线C2:-f=的离心率为玲，其中，abO,e3古e23，旦线/：xy+3=0与椭