专题14 双曲线标准方程(轨迹)的模型(解析版).docx

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1、专题14双曲线标准方程（轨迹）的模型3.双曲线标准方程的模型【例题选讲】、2例3（11）（2017全国In）已知双曲线C：，一%=1（。，80）的一条渐近线方程为y=冬,且与椭圆&+号=1有公共焦点，则C的方程为（）A一且=1R_q=1c工_e=iD_汇=A.8o1B.451c54-143一1答案B解析由），=察可得t=坐，.由椭所X=I的焦点为（3,0）,（3,J20）,可得/+/=9,.由可得/=4,b2=5.所以C的方程为一=1故选B.（12）（2016天津）已知双曲线，一W=1（。0,b0）的焦距为2小，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（）答案A解析依题意得

2、，又/+=d=5,，联立得。=2,b=1.所求双曲线的方程为-y2=1.v22（13）（2018天津）已知双曲线，一齐=130,历0）的离心率为2,过右焦点且垂直于X轴的直线与双曲线交于A,8两点.设A,4到双曲线的同一条渐近线的距离分别为4和小,且4+4=6,则双曲线的方程为（）A-4=1B-4=1C.号弋=1Df-f=1答案C解析因为双曲线的离心率为2,所以5=2,c=20,b=54,不妨令A（2,3）,BQa,3），双曲线其中一条渐近线方程为y=5X,所以dM=2小；（3）2+（-D22|2小”+342小4+301BX生2小。3,2小+3Wer必=-=-j1-5；依题意得：-+-2H-=

3、6,解得：a=3,b(3)2+(-D2222,2=3,所以双曲线方程为：J=1.、2（14）已知双曲线，一方=1（。0,心0）的右焦点为凡点A在双曲线的渐近线上，AOAF是边长为2的等边三角形（0为原点），则双曲线的方程为（）D.x2-=A.2=1BT2-f=1cy2=1答案D解析根据题意画出草图如图所示(不妨设点A在渐近线y=%上)由AAO尸是边长为2的等边三角形得到NAOF=60。，C=IoF1=2.又点A在双曲线的渐近线N=务上，*=tan60o=3.又2+=4,=1,b=小,工双曲线的方程为/一(15)已知双曲线千一方=ISX),以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条

4、渐近线相交于A,B,G。四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()a4-T=1b4T=1c44=1d412=1答案D解析根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCo为矩形.双曲线的渐近线方程为产电，圆的方程为x2+y2=4,不妨设交点A在第一象限，由尸鼠，x2+f=4得XA=V,故四边形ABCo的面积为A=言/=2儿解得=12,故所求的双曲线方程为，一右=1,选D.(16)已知双曲线E的中心为原点，尸(3,0)是E的焦点，过户的直线/与E相交于A,B两点，且AB的中点为N(T2,-15),则E的方程式为()22D.三上54A(M,y),8(22)，答案B解析设双曲线方程为r=1,即从

5、/一“2,2=。26,由b2x-a2y=a2h2ib2xy2-a2y=a2b2得，b2(x1+x2)-a2(y1+二)。=0,U1-x2)又中点N(T2,-15),kAB=kPN,:.-2b2+15a2=0,即4=5a2,b2+a2=9,所以a1=4,Z2=5.【对点训练】20.已知双曲线，一方=1(0,QO)的焦距为4小，渐近线方程为2)=0,则双曲线的方程为()A-4=14=199C工_E=Ic1664-1X2V2DM16=19220 .答案A解析易知双曲线今一方=1(0,b0)的焦点在X轴上，所以由渐近线方程为2x.y=0,得，=2,因为双曲线的焦距为4小，所以C=2#.结合C2=/+/

6、,可得=2,b=4,v2t2所以双曲线的方程为一言=1.21 .(2017天津)已知双曲线方一1=1(,比。)的左焦点为尸，离心率为啦.若经过尸和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()a4-4=1B.-=1OOcH=I21 .答案B解析由e=5知=b,且。=啦.，双曲线渐近线方程为y=x.又灯F=0+7=h792.c=4,则=护=曰=8.故双曲线方程为日一5=1.ZOO22 .己知双曲线M：，一条=1(0,/0)与抛物线y=*有公共焦点凡尸到M的一条渐近线的距离为小，则双曲线方程为(A.y2-=)B-J-V2=IC.f-f=i97D二一JD.37-22.答案A解析

7、抛物线y=g2,即W=8y的焦点为尸(0,2),即c=2,双曲线的渐近线方程为y=身，可得尸到渐近线的距离为d=IP二=b=小,即有。=AP二P=产三=1,则双曲ya2+b2线的方程为jj2-y=1.23 .己知双曲线今一方=1(a0,历0)的左、右焦点分别为丹，产2，以Fi,尸2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则双曲线的方程为()A-16-9B-4,c4,D2上=u9164-3=24在双曲线的渐近线y=%上,2的方程为一汽=1.24 .已知双曲线C，-W=I的一条渐近线/的倾斜角为全且C的一个焦点到/的距离为3,则双曲线C的方程为（）A.方一；=1B.-2=1C.y/=1D.

8、2-=13124 .答案D解析由，一方=。可得了=*工，即渐近线的方程为y=%,又一条渐近线/的倾斜角为去所以，=tan=5.因为双曲线C的一个焦点（Go）到/的距离为小，所以，=b=小,所以=1,所以双曲线的方程为x2，=1.故选D.9225 .已知双曲线C:-p=1（a0,比0）过点（13）,且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是（Tr-Or-I-2A.-3-9B.-2VT-X2Cor3-2-X2-2-3D.7J25 .答案C解析由双曲线C，一W=1（aO,历0）过点（M3）,且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得-2317P=h心解得

9、；双曲线C的标准方程是b=邓,26 .己知双曲线C：，一方=1（。0，方0）的右焦点为尸，点B是虚轴的一个端点，线段B/与双曲线C的右支交于点人若忌=正，且I诟二4,则双曲线。的方程为（）A工一上=1R王_E=IC工_e=1Da65-1b8I2-1C841d46-,27 .答案D解析不妨设8（0,。），由忌=2AXF（J0）,可得A仔，代入双曲线。的万程可得4-9R4-9-=,所以=，.又I防=亚耳声=4,c2=a2-h2f所以22Z2=16,.由可得，a2=4tb2=6r所以双曲线,C的方程为1卞=1,故选D.27 .已知双曲线，一m=1(40,Qo)的离心率为|,过右焦点尸作渐近线的垂线，

10、垂足为M.若产OM的面积为小，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为()27.答案C解析由题意可知e=可得(=坐，取双曲线的一条渐近线为尸坛,可得尸到渐近线y=x的距离d=be2Z2b,在Rt/OM中，由勾股定理可得IoM=MO砰一子用(b51- 1Ja2，j=2,=yc2h2=af由题意可得%6=小，联立解得Ir所以双曲线的方=5,H?2程为故选C.28 .已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(巾，0),直线y=-1与其相交于M,N两点,2MN中点的横坐标为一导则此双曲线的方程是().OO?OO00A王一E=Ir工一E=IC三一汇=1H工_t=a-341b431c521251229 .答案D解析：

11、设所求双曲线方程为，-y=1.由2=c2-2=2,：双曲线,的方程为2-5=1.故选B.4.动点的轨迹方程【方法总结】求动点轨迹方程的六大方法1.待定系数法；2.直译法；3.定义法；4.代入法；5.参数法；6.交轨法.【例题选讲】例4(17)设点A为圆(-1)2+j2=1上的动点，布是圆的切线，且照|=1,则点尸的轨迹方程是()A.y1=2xB.(x-1)2+j2=4C.y1=2xD.(-1)2+/=2答案D解析如图，设P(X,y),圆心为f(1,0),连接M,则AM_1抬，且M=1,又.=1,PM=fA2+M2=2,即IPM?=2,.,.(-1)2+y2=2.(18)设线段AB的两个端点A,

12、B分别在X轴、y轴上滑动，且8=5,f=+瓦则点M的轨迹方程为()A.B.C.费+5=1d*+f=1.323答案A解析设MeGj),A(X0,0),8(0,和)，由OM=WQA+503,得(x,丁)=?如2X=/，0)+0，涧)，则1C解得1JZ55由A8=5,得(IX)+(Iy)=25,化简得会+：=1.J)=子(19)已知两圆Ci：(-4)2+?2=169,C2：+4)2+y2=%动圆在圆G内部且和圆Ci相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A高一太=1bM=1C.焦磊=1D.普+乐答案D解析设圆M的半径为r,则IMG1+MC2=(13-r)+(3+r)=168=GC2,所以M的轨迹是以G,。2为焦点的椭圆，且2a=16,2c=8,所以a=8,c=4,h=ya2-c2=43,故所求的轨迹方程为看+9=1.(2O)SABC,I就=4,AABC的内切圆切BC于。点，且|丽1b=2则顶点A的轨迹方程为.答案y-y=1(2)解析以BC的中点为原点，中垂线为y轴度立如图所示的坐标系，E,尸分别为两个切点.则IBE