专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）.docx

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1、专题14空间向及其运算的坐标表示【八大题型】【人教A版(2019)】【题型1求空间点的坐标】1【题型2空间向量运算的坐标表示】2【题型3空间向量数量积运算的坐标表示】3【题型4根据空间向量的坐标运算求参数】3【题型5空间向量模长的坐标表示】4【题型6空间向量平行的坐标表示】6【题型7空间向量垂直的坐标表示】7【题型8空间向量夹角余弦的坐标表示】8【知识点1空间直角坐标系】1.空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念空间直角坐标系：在空间选定一点。和一个单位正交基底i,/，A,以。为原点，分别以i,j,k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：X轴、y轴、Z轴，它们都叫做坐标轴，这

2、时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.相关概念：。叫做原点，i,j,k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为O盯平面、OyZ平面、OZr平面，它们把空间分成八个部分.(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向K轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向Z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.2.空间一点的坐标在空间直角坐标系0W中，i,j,A为坐标向量，对空间任意一点A,对应一个向量近1,且点4的位置由向量方!唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(斯y,z),使苏=*+力+水.在单位正交基底i,j，A下与向量OA对应的有序实数组(

3、x,y,Z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(tytz),其中X叫做点4的横坐标，y叫做点4的纵坐标，Z叫做点4的竖坐标.【题型1求空间点的坐标】【例1】(2023春山东青岛高二校联考期中)空间直角坐标系中，已矢4(-1,1,3),则点A关于)，0z平面的对称点的坐标为()A.(1,1,-3)B.(-1,-3)C.(1,1,3)D.(-1,3)【变式1-1(2023秋陕西宝鸡高二统考期末)已知点4(3,-1,0),若向量荏=(一1,6,-3),则点3的坐标是()A.(1,-6,3)B.(5,4,3)C.(-1,6,-3)D.(2,5,-3)【变式1-2(2023秋北京怀柔高二统考期末

4、)若点4(1,2,3),点8(4,-1,0),且麻=2而，则点C的坐标为()A.(3,0,1)B.(2,1,2)C.D.f-,i)222/2227【变式1-3(2023高二单元测试)在空间直角坐标系中，已知点Pay,z)下列叙述中正确的是()点P关于轴的对称点是A(,-y,Z)点P关于yz平面的对称点是P2C-%y,Z)点P关于y轴的对称点是鸟(x,-y,z)点P关于原点的对称点是尼(一%,-y,-z)A.B.C.D.【知识点2空间向量的坐标运算】1 .空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量,作5=.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组Coy,z),使=M+W+4.有序实数组(

5、x,y,Z)叫做。在空间直角坐标系0乎中的坐标，上式可简记作=(x,y,z)2 .空间向量的坐标运算设二(,a21G),b=(b岳，方3),有向量运算向量表示坐标表示加法aba-b=(ab,42+b2,3+3)减法a-ba-b=a-ba2b2,0363)数乘aa=(a2,26)，R数量积abab-ab+262+3岳【题型2空间向量运算的坐标表示】【例2】(2023春全国高二校联考开学考试)已知向量6=(3,-4,2),b=(2,-3,1),则a-2石=()A.(7,-10,4)B.(5,-7,3)C.(1,-1,1)D.(-1,2,0)【变式2-1(2023秋江西吉安高二校考期末)已知向量而=

6、(2,3,1),而=(4,5,3),那么说=()A.(-2,-2,-2)B.(8,15,3)C.(6,8,4)D.(2,2,2)【变式2-2(2023全国高二专题练习)已知向量a=(2,3,-4)1=(-4,-3,-2)石=-2区则=()A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)【变式2-3(2023秋河南信阳高二校考阶段练习)在空间四边形48Co中，若向量荏=(-3,5,2),CD=(-7,-1,-4),点E,尸分别为线段BeAo的中点，则前的坐标为()A.(2,3,3)B.(-2,-3,-3)C.(5,-2,1)D.(-5,2,-1)【题型3空间向量

7、数量积运算的坐标表示】【例3】(2023全国高二专题练习)若A(2,-4,-1),B(-1t5f1)tC(3,-4,1),!G4CB=()A.-11B.3C.4D.15【变式3-1(2023春高二课时练习)若6=(2,3,2),B=(1,2,2),F=(-1,2,2),则(五一B)Y的值为()A.-1B.0C.1D.2【变式3-2(2023春山东济宁高三校考阶段练习)已知棱长为1的正方体4BC0-4/的。1的上底面A】BiGA的中心为。I,则福宿的值为()A.-1B.0C.1D.2【变式3-3(2023春.广西桂林.高二校考期中)己知正六棱柱48。0尸-4816。1/1的底面边长为1,P是正六

8、棱柱内(不含表面)的一点，则存的取值范围是()C.(一;,1)D.(0,1)【题型4根据空间向量的坐标运算求参数】【例4】(2023秋广东江门高二校考期中)d=(2,-1,3),2=(-1,4,-2),c=(3,2,),c=2d+b,则实数/1等于()A.2B.3C.4D.5【变式4-1(2023秋广西南宁高二校考期中)已知(i=G325),B=(I且石=2,则%的值是()A.6B.5C.4D.3【变式4-2(2023秋北京丰台高二校考期末)若向量&=(1,一1,/I)I=(I,一2,1)1=(1,1,1),满足条件(c-d)-b=1,则2=()A.-1B.-2C.1D.2【变式4-3(202

9、3秋河南郑卅高二校考阶段练习)己知点4(1,一1,2),8(2,-1,1),C(3,3,2),又点P(%,7,-2)在平面ABC内，则X的值为()A.11B.9C.1D.-4【知识点3用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题】1 .空间向量的平行、垂直及模、夹角设a=31,6,。3)，b=(bi,岳，方3),则有当6工0时，a/ba=b,a2=b2ta3=b3(R);Qj_力Oa力=00。力1+。2岳+。3岳=0;Ia1=a=，山+止+4；ab曲|+s岳+s力3cosmabWH-十山丁一+岳+用2 .空间两点间的距离公式设P1(XI,yi,Z1),尸2(及，”，Z2)是空间中任意两点，则P1P2

10、=|P|PN=J(X2X1)2+(1+一Z1.3 .利用空间向量基本定理解决几何问题的思路：(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用空间向量的坐标运算可以求得.【题型5空间向量模长的坐标表示】【例5】(2023春商二课时练习)如图，在棱长为1的正方体A8CO-A8GO中，E,F分别为0/0,BD【变式5-1(2023春福建龙岩高二校联考期中)如图,在直四棱柱ABCD-4%GDI中AB1AD,AA1=AB=2AD=2CD=4,E,F

11、,G分别为棱DD】，A1Dv8少的中点.(1)求线段FG的长度;(2)求无EF.【变式52】(2023春福建龙岩.高二校考阶段练习)如图，在直三棱柱ABC-AaCi中，CA=CB=1,BCA=90o,44=2,MN分别是8传1，A1A的中点.(1)求M,N的距离;求cos(西,可)的值.【变式5-3(2023秋福建.高二校联考阶段练习)已知空间三点，/1(0,2,3),8(-2,1,6),C(1,T,5).求以ABMC为边的平行四边形的面积；若I而=7,RDAB=DAC=60,点P是BC的中点,求|而|的值.【题型6空间向量平行的坐标表示】【例6】(2023春高二课时练习)已知空间三点4(-2

12、,0,2),8(-1,1,2),C(-3,0,4),设万=瓶,E=前.若(fc+ft)(-3),求实数&的值.【变式6-1(2023高二课时练习)已知4(3,4,0),8(2,5,5),C(0,3,5),且ABC。是平行四边形，求顶点。的坐标.【变式6-2(2023春上海浦东新高二统考期末)已知d=(1,4,-2),b=(-2,2,4).(1)若1=求cos/中，E是棱。/Q的中点，P、。分别为线段8/。/,8。上的点，且3瓦A=而I，PQYAE,JD=WQf求的值.【题型7空间向量垂直的坐标表示】【例7】(2023春高二单元测试)已知空间三点4(-2,0,2),8(-1I,2),C(-3,0

13、,4),设d=荏石=前.若m(+b)+n(-5)与2日-5垂宜，求n,满足的关系式.【变式7-1(2023春江苏连云港高二校考阶段练习)已知&=(3,2,-1),b=(2,1,2).求(G-B)(d+2b)；(2)当(万一冷_1(万+瓦)时，求实数欠的值.【变式7-2(2023春江苏连云港高二校联考期中)已知空间中三点4(2,0,-2),B(1,-1,3),C(3,0,1),设G=荏,b=AC.(1)若=3,且训配,求向量原(2)已知向量+上族与加互相垂直，求k的值.【变式7-3(2023秋江西吉安高二校考期末)已知万=(1,-4,5),b=(-2,3,2),点4(-3,-2,3),B(-2,

14、-3,2).(1)求2d+的值.(2)在线段48上，是否存在一点E使得荏1石？若存在，求出点石的坐标；若不存在，请说明理由.(0为坐标原点)【题型8空间向量夹角余弦的坐标表示】【例8】(2023春高二课时练习)如图，在棱长为1的正方体ABCZ)A/B/GQ中，E,F分别为0/0,BD的中点，G在棱CD上，且CG=；CD.求cos(瓯弓初【变式8-1(2023秋河南周口高二统考期末)已知向量4=(-4,2,4),b=(-6,3,-2).求同；(2)求向量五与石夹角的余弦值.【变式8-2(2023春高二课时练习)己知空间中的三点P(-2,0,2),M(-1,1,2),N(-3,0,4),(i=丽，石=丽.(1)求4PMN的面积；(2)当上方+族与上万一2石的夹角为钝角时，求女的范围.【变式8-3(2023江苏高二专题练习)棱长为2的正方体中，E、尸分别是。5、OB的中点，G在棱。上，且CG=；C。，H是C1G的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：EF1B1Ci(