专题1.2 空间向量的数量积运算【五大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）.docx

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1、专题1.2空间向量的数量积运算【五大题型】【人教A版(2019)【题型1空间向量数量积的计算】2【题型2空间向量的夹角及其应用】2【题型3利用空间向量的数量积求模13【题型4向量垂直的应用】4【题型5投影向量的求解】5，举一反三【知识点1空间向量的夹角与数量积】I.空间向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量”,b,在空间任取一点O,作5=,h=b,则NAo8叫做向量mb的夹角,记作(a，b).bObB(2)范围：OW。，b).特别地，当(a,b)=?时，ab.2 .空间向量的数量积定义已知两个非零向量,b,则版ICOS。，b)叫做。，力的数量积，记作。力.即b=MIIbICOSa,b.规定：零

2、向量与任何向量的数量积都为0.性质O_1bQab=O()aa=a1=a1运算律(ab=(ab)tR.b=b(交换律).S+c)=Qb+c(分配律).3 .空间向量夹角的计算求两个向量的夹角：利用公式CoSG,今=磊求CoSG,力，进而确定QZ.Hh4 .空间向量数量积的计算求空间向量数量积的步骤：（I）将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为己知模和夹角的向量的数量积.（3）代入a.6=同同CoSG力）求解.【题型1空间向量数量积的计算】【例1】（2023秋高一单元测试）在空间四边形4BCD中，乐丽+尼而+而正等于（）A.-1B.0C.1D.不确定

3、【变式1-11（2023春江苏盐城高二校联考期中）如图，各棱长都为2的四面体ABC。中CE=ED,AF=2FD,则向量而存=（）C.【变式1-2（2023春陕西西安高一校考期末）在正三棱锥P-ABC中，。是48C的中心，PA=AB=2,则丽（刀+丽）等于（）A.，B.独C.随DT9333变式1-3K2023秋山东荷泽高二统考期末）在棱长为2的正方体ABCD-4/传1。中,EF是正方体ABCD-AGD外接球的直径，点P是正方体48CD-4BGDI表面上的一点，则而方的取值范围是（）A.-2,0B.-1,0C.0,1D.0,2【题型2空间向量的夹角及其应用】【例2】（2023春高二课时练习）若非零

4、向量五，B满足同=同,（2a-b）b=0,则五与B的夹角为（）A.30oB.60oC.120oD.150【变式2-1（2023江苏高二专题练习）已知空间向量31满足,+B+1=6,a=2fb=3tc=4,则衣与B的夹角为（）A.30oB.45C.60D.以上都不对【变式2-2（2023春高二课时练习）空间四边形。4BC中，OB=OC,AOB=AOC=则COS（Hi,前）的值是（）A.-B.C.-D.0222【变式2-3（2023春高二课时练习）已知瓦,瓦是夹角为60。的两个单位向量，则五二可+瓦与石=瓦-2部的夹角为（）A.60oB.120C.30oD.90【题型3利用空间向量的数量积求模】【

5、例3】（2023春福建宁德高二校联考期中）已知单位向量入石,不中，a1b,（a,c）=（btc）=60ot则-2c=（）A.5B.5C.6D.6【变式3-1（2023江苏高二专题练习）己知在平行六面体ABCD-A1BIGDI中，向量而，AD,丽*两两的夹角均为60。，且I荏I=I,I同I=2,I苑I=3,则I温I=（）A.5B.6C.4D.8【变式3-2（2023秋山东滨州高二统考期末）如图，二面角/I-EF-C的大小为45,四边形ABFE、CDEFA.2B.3C.3-2D.3+2【变式3-3（2023春江苏南京高二校考阶段练习）如图，三棱锥。-ABC各棱的棱长是1,点。是棱4B的中点，点E在

6、棱OC上，且丽=A沆，则DE的最小值为（）A玛B.苧7DJ【题型4向量垂直的应用】【例4】（2023春甘肃武威高二统考期中）在空间，已知可，芍为单位向量，且可1五，若益=2百+3孩,G=k国-4石，a1b,则实数2的值为（）A.-6B.6C.3D.-3【变式4-1（2023全国高二专题练习）已知长方体ABCD-41BIC1D1，下列向量的数量积一定不为0的A.ADBCB.西X?C.ABADD.BDBC【变式4-2（2023春上海杨浦高二校考开学考试）设A、8、C、Z）是空间不共面的四点，且满足,而而=0,荏而=0,点M为BC的中点，则是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不能确定

7、【变式43】（2023秋浙江高二校联考期中）在如图所示的平行六面体48。-4*C。中，己知AB=44=AD,BAD=BAA,=DAA,=60o,BM=BC,N为CD上一点，且标=AD7Crf若DM1AN,则;I=【知识点2向量的投影】1.向量）的投影（1）如图（1）,在空间，向量”向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c,C=IaICOS（a,b）自，向量。称为向量。在向量方上的投影向量.类似地，可以将向量。向直线/投影(如图(2).(2)如图(3),向量。向平面夕投影，就是分别由向量。的起点A和终点8作平面夕的垂

8、线，垂足分别为A,8,得到斤向量丁广称为向量。在平面4上的投影向量.这时，向量0,VF的夹角就是向量。所在直线与平面4所成的角.【题型5投影向量的求解】【例5】(2023春高二课时练习)如图，在三棱锥尸一ABC中，PA1平面48C,CB1AB,AB=BC=C,P4=b.试确定正在存上的投影向量，并求定荏.【变式5-1(2023全国高三专题练习)如图，在长方体4BCD-4夕封笛中,已知IAB1=I,4D=2,IAAI=3,分别求向量近7在荏、AD.彳不方向上的投影数量.【变式5-2(2023春高二课时练习)如图，在三棱锥P-ABC中，%_1平面A3C,CB1AB,AB=BC=a,=b.试确定正在直线A8上的投影向量，并求正南.【变式5-3(2023春高二课时练习)如图，在三棱锥P-ABC中，PA1平面48C,CB1AB,AB=BC=a,(1)确定而在平面ABC上的投影向量，并求而布;(2)确定在而上的投影向量，并求无丽.