专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

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1、专题1.4空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】【人教A版(2019)【题型1求空间点的坐标】1【题型2空间向量运算的坐标表示】3【题型3空间向量数量积运算的坐标表示】4【题型4根据空间向量的坐标运算求参数】6【题型5空间向量模长的坐标表示】8【题型6空间向量平行的坐标表示】11【题型7空间向量垂直的坐标表示】13【题型8空间向量夹角余弦的坐标表示】15【知识点1空间直角坐标系】1 .空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底i,j，A,以。为原点，分别以i,j,k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：X轴、y轴、Z轴，它们都叫做

2、坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.相关概念：。叫做原点，I,j,k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、OyZ平面、OZX平面，它们把空间分成八个部分.(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向X轴的正方向，食指指向)，轴的正方向，如果中指指向Z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.2 .空间一点的坐标在空间直角坐标系OjyZ中，I,女为坐标向量，对空间任意一点4,对应一个向量而U且点A的位置由向量方唯确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(居y,z),使=xi+W+z生在单位正交基底i,j,灯下与向量OA对应的有

3、序实数组(x,y,Z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z),其中X叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.【题型1求空间点的坐标】【例1】(2023春山东青岛高二校联考期中)空间直角坐标系中，已知4(-1,1,3),则点4关于)Oz平面的对称点的坐标为()A.(14,-3)B.(-1,-1,-3)C.(1,1,3)D.(-1,-3)【解题思路】根据空间直角坐标系中点关于)OZ平面的对称点的特征可得答案.【解答过程】根据空间直角坐标系的对称性可得4(-1,1,3)关于yz平面的对称点的坐标为(1,1,3),故选：C.【变式1-1(2023秋陕西宝鸡高二统考期

4、末)已知点4(3,-1,0),若向量荏=(一1,6,-3),则点B的坐标是()A.(1,-6,3)B.(5,4,-3)C.(-1,6,-3)D.(2,5,-3)【解题思路】设B(x,y,z),表达出近=(%-3,y+1,z),从而列出方程组，求出点B的坐标为(2,5,-3).【解答过程】设B(x,y,z),则近=(X-3,y+1z),因为彳S=(1,6,-3),所以3=-1,y+1=6,z=-3,解得：x=2,y=5,z=-3,故点8的坐标为(2,5,-3).故选：D.【变式1-2(2023秋北京怀柔高二统考期末)若点4(1,2,3),点B(4,-1,0),且m=2而，则点C的坐标为()A.(

5、3,(H)B.(2,1,2)c(pp)d(FpI)【解题思路】设C(x,y,z),根据元=2万列方程组即可求解.【解答过程】设C(X,y,z),则尼二(X-1,y-2,z-3),CB=(4-x,-1-y,-z)fX-I=2(4-x)(X=3因为前=2而，所以y-2=2(-1-y),解得y=0.z-3=2(-z)(Z=I故点C的坐标为(3,0,1).故选:A.【变式1-3(2023高二单元测试)在空间直角坐标系中，已知点P(%y,z)下列叙述中正确的是()点P关于K轴的对称点是P1(X-y,Z)点P关于yz平面的对称点、是P2(-y,z)点P关于y轴的对称点是P3(,-y,z)点P关于原点的对称

6、点是”(一%-y,-Z)A.B.C.D.(2X3)【解题思路】根据空间坐标的对称性进行判断即可.【解答过程】点P关于轴的对称点的坐标是(,-y,-Z),故错误；点P关于yz平面的对称点的坐标是(-，y,z),则正确；点P关于y轴的对称点的坐标是(-X，y，-z),则错误：点P关于原点的对称点的坐标是-y,-z),故正确，故正确的命题的序号是，故选：C.【知识点2空间向量的坐标运算】1 .空间向量的坐标在空间直角坐标系QXyZ中，给定向量m作为=.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=xi+0+zA.有序实数组(x,yfZ)叫做。在空间直角坐标系O-XyZ中的坐标，上式可简

7、记作=(x,yfz)2 .空间向量的坐标运算设=3,。2,仍)，b=(bi岳，历)，有向量运算向量表示坐标表示加法a-rb+A=(+b,s+岳，6+)减法a-ba-b=(a-bf做一历，的一加)数乘Iaa=1a,az,23),R数量积abab=ab+。2历+”3。3【题型2空间向量运算的坐标表示】【例2】(2023春全国高二校联考开学考试)已知向量2=(3,-4,2),B=(2,-3,1),则,-23=()A.(7,-10,4)B.(5,-7,3)C.(1,-1,1)D.(-1,2,0)【解题思路】根据向量线性运算的坐标表示得出答案.【解答过程】d-2b=(3-22-4-2(-3),2-2x1

8、)=(-1,2,0),故选：D.【变式2-1(2023秋江西吉安高二校考期末)已知向量荏=(2,3,1),尼=(4,5,3),那么近=()A.(-2,-2,-2)B.(8,15,3)C.(6,8,4)D.(2,2,2)【解题思路】利用向量减法的法则及坐标运算即可求解.【解答过程】因为而=(2,3,1),笈=(4,5,3),所以近=前一同=(4-2,53,31)=(2,2,2).故选：D.【变式2-2(2023全国高二专题练习)已知向量五=(2,3,-4)1=(一4,一3,-2)石=：一22则5=()A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)【解题思路】推

9、导出3=4+2石,利用向量坐标运算法则直接求解.【解答过程】向量,=(2,3,-4)石=(一4,-3,-2)范=尹一2由c=4d+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).故选:B.【变式23】(2023秋河南信阳高二校考阶段练习)在空间四边形48CO中，若向量荏二(-3,5,2),而二(-7,-1,-4),点区尸分别为线段8C,Ao的中点，则方的坐标为()A.(2,3,3)B.(-2,-3,-3)C.(5,-2,I)D.(-5,2,-1)【解题思路】根据空间向量的加法减法运算及三角形中线的性质求解.【解答过程】如图，取4C中点M,连接ME,MF,如图，则丽=1希=

10、(-p,1),MF=CD=(-p-p-2),而而=MF-ME=(-2f-3,-3),故选：B.【题型3空间向量数量积运算的坐标表示】【例3】(2023全国高二专题练习)若4(2,-4,-1),B(T5,1),C(3,-4,1),C4GB=()A.-11B.3C.4D.15【解题思路】先求出色5,3的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可【解答过程】由已知,C4=(2-3,-4-(-4),-1-1)=(-1,0,-2),=(-1-3,5-(-4),1-1)=(-4,9,0),CJCB=40+0=4.故选：C.【变式31】(2023春高二课时练习)若五=(2,3,2)石=(1,2,2),F=

11、(-1,2,2),贝J(2-B)I的值为()A.-1B.0C.1D.2【解题思路】直接利用数量积的坐标运算即可求得.【解答过程】因为M=(2,3,2),S=(1,2,2)1=(-1,2,2),所以(d-S)-c(1,1,0)(-1,2,2)=-12+0=1.故选：C.【变式3-2(2023春山东济宁高三校考阶段练习)已知棱长为1的正方体力8C。-&B1GD1的上底面必占GDI的中心为0,则砧彳B的值为()A.-1B.0C.1D.2【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出福苑.【解答过程】建立如图所示空间直角坐标系，4(iAoo1Q,),c1(o,u),丽=(一(川，西=(,i),AO1

12、AC1=(-,-,1)(-1,1,1)=221=2【变式33】(2023春.广西桂林高二校考期中)已知正六棱柱ABC。EF-AIBIC1。IE1FI的底面边长为1,P是正六棱柱内(不含表面)的一点，则而荏的取值范围是()A.(-p)B.(-,i)C.(-p1)D.(O,Q【解题思路】建立空间直角坐标系，设P(%y,z),由正六边形的性质可知一(V不再根据空间向量数列积公式，即可求出结果.【解答过程】建立如图所示的空间直角坐标系，且AB=BC=CD=DE=EF=AF=I,由正六边形的性质可得，4(0,0,0),8(1,0,0),F(-g今0),C(,今0),设P(%y,z),其中一IVXVM所以

13、荏=(1,0,0),AP=(xfyfz),所以荏布=，所以荏而的取值范围(一表.故选：A.【题型4根据空间向量的坐标运算求参数】【例4】(2023秋广东江门高二校考期中)=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(3,2,z),若e=2d+I则实数;I等于()A.2B.3C.4D.5【解题思路】根据向量的数乘运算和向量坐标的相等即可求解.【解答过程】因为F=2d+认所以岸=(3,2,)=2(2,-1,3)+(-1,4,-2)=(3,3,4),所以/1=4,故选：C.【变式4-1(2023秋广西南宁高二校考期中)已知a=(3,2,5),b=(1,%,4),且五b=2,则X的值是()A.6B

14、.5C.4D.3【解题思路】根据空间向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可.【解答过程】解：因为d=(-3,2,5),5=(1,K-1),且,5=2,所以GB=3x1+2x+5x(1)=2,解得%=5；故选：B.【变式4-2(2023秋北京丰台高二校考期末)若向量益=(1,-1,Q4=(1,-2,1),/=(1,1,1),满足条件(ca)-b=-1,则=()A.-1B.-2C.1D.2【解题思路】首先通过向量的减法的坐标运算可得仁-d)=(0,2,1-4),再通过数量积运算即可得解.【解答过程】根据向量的运算可得：(c-d)=(0,2,1-)所以R通7=0X1+2X(-2)+(1-)1=-4+1=-3-A=-I,所以A=-2,故选：B.【变式4-3(2023秋河南郑州高二校考阶段练习)已知点4(1,-1,2),8(2,-1,1),C(3,3,2),又点P(%,7,-2)在平面4BC内，则X的值为()A.11B.9C.1D.-4【解题思路】根据向量的坐标表示求出向量屈、AB.前的坐标，再结合空间向量的共面定理即可得出结果.【解答过程】由题意，得A(1f-1,2),B(2,-1,1),C(3,3,2),P(x,7,-2),则而8,-4),A=(1,0,-