专题07 双曲线模型(原卷版).docx

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1、专题07双曲线模型双曲线线秒杀小题常用结论(1)双曲线定义：IIMF111MFRI=2(2aV内局).如图(10)(2)如图(11)双曲线的焦点到其渐近线的距离为反与双曲线一营=130,b0)有共同渐近线的方程可表示为A盘=f(0)(3)如图(12)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为萼，异支的弦中最短的为实轴，其长为2公(4)如图(13)尸是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，Q、B分别为双曲线的左、右焦点，则SAPF1F2=一，其中。为N7PB.系：e=1+(-)2=1+2.(6)若尸是双曲线右支上一点,尸1、22分别为双曲线的左、右焦点，则IPB1min=+c,I

2、PFdmin=c-a(7)如图(15)设P,A,8是双曲线W=1(h0)上不同的三点，其中A，B关于原【例题选讲】例2(9)过点P(2,1)作直线/,使/与双曲线?一)，2=1有且仅有一个公共点，这样的直线/共有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案B解析依题意，双曲线的渐近线方程是y=gr,点P在直线y=$上.当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=2,此时直线/与双曲线有且仅有一个公共点(2,0),满足题意.当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为)，-1=k(x2),即y=履+121y=)t+12k由00)的离心率为1则其渐近线方程为()A.y=2xB.y=y3xC.y=xD.y=鸟答

3、案A解析法一：由题意知，e=5=小，所以C=于出所以b=c1-a2=市a,所以=6，所以该双曲线的渐近线方程为y=i5v=Er,故选A.法二：由e=-=1+(9)=小,得(=啦,所以该双曲线的渐近线方程为y=各xf故选A.,y)已知双曲线C-=1(0,0)的左、右焦点分别为尸|,F2,。为坐标原点,P是双曲线在第一象限上的点，直线PO交双曲线C左支于点M,直线PB交双曲线。右支于点N,若IP尸=2PB,且NMF2N=60。，则双曲线C的渐近线方程为()A.y=2xB.y=丹-XC.y=2xD.y=2y2答案A解析由题意得，PF=2PF2,PF1-PF2=2a,PF=4,PF2=2af由于尸，M

4、关于原点对称，尸1,尸2关于原点对称，线段尸M，互相平分，四边形PF1MF2为平行四边形，PFi/MF2,VZfF22V=60o,ZFiPF2=60,由余弦定理可得4c2=6/+4。2244Zrcos60,c=小4,b=yc2-a2=y2a.；双曲线。的渐近线方程为y=v.故选A.v22(12)已知双曲线C：，一g=130,b0)的左、右焦点分别为R,F2,点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于R,尸2的对称点分别为A，B,线段MN的中点在双曲线的右支上，若HNI-IBNI=12,则=()A.3B.4C.5D.6答案A解析如图，设MN的中点为R为MA的中点，F?为MB的中点、,：.IAN1=2|

5、尸尸I1BN=2PF2t又IAM-IBN=12,/.PF-PF2=6=2,.a=3.故选A.(13)(2018全国I)已知双曲线C?一V=1，。为坐标原点，尸为。的右焦点，过户的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,M若AOMN为直角三角形，则IMM等于()A.3B.3C.23D.4答案B解析由已知得双曲线的两条渐近线方程为y=桔X.设两渐近线的夹角为2,则有tana=*=坐,所以=30o.所以NMoN=2=6(.又AoMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MA11oM如图所示.在RI尸中，0F=2,则KWI=5.则在RsoMN中，IMM=QNtan2tt=3tan60=3.故选B.（1

6、4）（2019全国I）双曲线C5一5=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若IPOI=IPQ,则APFO的面积为（）A.乎B.乎C.22D.32答案A解析双曲线一&=1的右焦点坐标为（加,0）,一条渐近线的方程为y=乎xt不妨设点P在第一象限，由于IPO1=IP月，则点尸的横坐标为坐，纵坐标为乎Qf=坐，即/小。的底边长为加，高为坐所以它的面积为某同X坐=乎.故选A.【对点训练】9.过双曲线条一g=130，QO）的右焦点尸（1，0）作X轴的垂线，与双曲线交于A,B两点，O为坐标Q原点，若“08的面积为东则双曲线的渐近线方程为.10 .已知双曲线C2一忘=13）的右顶点A和右焦

7、点尸到一条渐近线的距离之比为1:2,则C的渐近线方程为（）A.y=xB.y=2xC.y=2xD.y=3x11 .双曲线，-W=1（0,/X）的两条渐近线分别为,2,广为其一个焦点，若尸关于八的对称点在Z2上，则双曲线的渐近线方程为（）A.y=2xB.y=3xC.y=3xD.y=2x12 .已知尸1，尸2分别是双曲线一:=130,於0）的左、右焦点，P是双曲线上一点，若IPH1+1PBI=6小且APRB的最小内角城，则双曲线的渐近线方程为（）A.y=2xB.y=xC.）1=乎xD.y=2x13.已知尸2，尸1是双曲线方一盘=130,加0）的上、下两个焦点，过PI的直线与双曲线的上下两支分别交于点

8、8,4,若AAB尸2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A.y=2xB.y=坐XC.y=xD.y=乎X2214.已知丹，B是双曲线C：，一卓=1（。00）的两个焦点，?是C上一点，若IPaI+PBI=6,且AP尸1尸2最小内角的大小为30。，则双曲线。的渐近线方程是（）A.y2xy=0B.x2y=0C.x2y=0D.2xy=015 .已知双曲线八，一方=1（aX）,历0）的右顶点为A,与X轴平行的直线交厂于B,C两点，记NBAC=仇若的离心率为1则（）A.夕（0,B.=C.6（苧，）D.8=,16 .己知尸B为双曲线C：/一9=2的左、右焦点，点P在。上，IPF11=2PB|,贝IJCoS

9、ZF1PF2=.17 .如图，双曲线的中心在坐标原点。，A,C分别是双曲线虚轴的上、下端点，4是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与R7相交于点。.若双曲线的离心率为2,则NBO尸的余弦值是.则H8=（）A.22B.23C.33D.4319 .过点P（4,2）作一直线48与双曲线C：，一V=I相交于A、8两点，若P为45中点,则H8=（）A.22B.23C.33D.4320 .已知双曲线专一），2=1的左、右焦点分别为Q,点P在双曲线上，且满足IPQ1+PBI=25,则APR尸2的面积为（）21.已知双曲线CA.1B.3C.5D.I，力0）的离心率为2,左、右焦点分别为Q,巳，点A在双曲线C上，若AAQ尸2的周长为10小则RB的面积为（）C.302A.215erB.y5/D.5a222.己知双曲线x2一=1的左、右焦点分别为H,F2,双曲线的离心率为e,若双曲线上存在一点P使:石霖f则冲新的值为()A.3B.2C.-3D.-2