专题06 椭圆模型(原卷版).docx

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1、专题06椭圆模型椭圆秒杀小鹿常用结论(I)椭圆定义：MFI+MF2=2a(2aF2).如图(DQ)点P(X0,找)和椭圆示+笈=1(80)的关系Pa0,IyO)在椭圆内0*士修1；P(X0,No)在椭圆上=我+g=1;P(X0,No)在椭圆外Q%土如图(5),椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为IAB1=管，通径是最短的焦点图(5)图(6)图(4)焦点三角形：椭圆上的点Pao,光)与两焦点B,B构成的APFiB叫做焦点三角形.若2v2=PF,r2=PFFPF2=f),NQ尸2的面积为S,则在椭圆7+方=Imb0)中如图(6)：APBF2的周长为2(+c).S=ta.J2(5)如图(7)P为

2、椭圆，+g=1(bO)上的动点，F1，尸2分别为椭圆的左、右焦点，当椭圆上点P在短轴端点时与两焦点连线的夹角最大.92(6)P为椭圆5+1=13b0)上的点，F.,B分别为椭圆的左、右焦点，则尸到焦点的最长距离为。土C，最短距离为Q二C72如图(8)设P,4,8是椭圆5+g=3Q0)上不同的三点，其中4,8关于原点对称，则kpAkpB=,2如图(9)设A,8是椭圆”+方=1(Q0)上不同的两点，P为弦A3的中点，则心夕炀1.【例题选讲】例I(1)(2019全国m)设尸|,尸2为椭圆C：会+4=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若AMK尸2为等腰三角形，则M的坐标为.答案(3,石)解析设F

3、1为椭圆的左焦点，分析可知M在以Q为圆心、焦距为半22径长的圆上，即在圆(X+4)2+y2=64上.因为点M在桶圆为!击=1上，所以联立方程可20解得彳A=3,j=1T5.又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3,F).(2)已知椭圆E：，+：=1，直线/交椭圆于A,B两点,若AB的中点坐标为(一/1),则/的方程为()A.2x9y-10=0B.2-9y-10=0C.2x+9y+10=0D.2x9y+10=04xx22直线/答案D解析设Agy)tB(X2,”)，则普+=1,f+f=1两式作差并化简整zis22114X1X2H_11_1r理得J=_GX_1,，而即+”2=-1，y+2=2,所以

4、X2-X9yi+”zJX2XI的方程为y-1=x+),即2-9y+10=0.经验证可知符合题意.故选D.(3)设椭圆，+3=1(ZO)的左右焦点分别为尸1、尸2，上下顶点分别为A、B,直线A尸2与该椭圆交于A、M两点,若NFIAB=I20。，则宜线BM的斜率为()A.(B乎C.坐D.3答案B解析由题意，椭圆苏+1=13历0),且满足NQAF2=120。，如图所示,则在AABO中，IOAI=b,AF2=at且NOAF2=60。，所以a=2b,不妨设6=I,则47=2,所以C=Ma2-c2=小,则椭圆的方程为+y2=1,又由40,1),F2(3,0),所以乂尸2号，所以直线AB的方程为y=一当KH

5、,联立方程组),=一8+1Y+.J,整理得7小-83x=O,解得x=0或X=半，把X=半代入直线y=一阴+1,解得y=-,即又由点8(0,-I),所以的斜率为Om=74故选B.(4)已知P为椭圆C：，+(=1上的一个动点，Fi,尸2是椭圆C的左、右焦点，。为坐标原点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d,若IPQ1PBI=与，则d=.答案也解析法一：因为点P在椭圆上，所以有IPB1+PBI=4,又因为IPQHPF2?4IPFiP+1PFd2-IFF223S=y,由余弦定理可得COSNF1P尸2=2PFPF=4,所以有SinNRPP2=乎，所以AFiPF2的面枳为S=JX等*=IX2x%,解得加=余

6、，因为点P在椭圆上，所以XP=余.所43j.Pjy以过该点的椭圆的切线方程为3-+勺=1,即为x+y=市.所以原点。到直线的距离为.近Md=2.mrnv法二：设P(m,)，则切线方程为学+才=1,即3切x+4y-12=0.所以原点。到该12巾23勿尸切线的距离d=9zr-+d6因为点PS2,)在桶圆上，所以q+b=1,所以有-=3q-,所以d=.因为IPQIIP尸2=差所以有*(n+1)2+n2J(w-1)2w2=吊，即有(4+；川)+2m(4+；加2)-2j=4(62=,，解得6-62=笔所以d=,=142,(5)已知直线MN过椭圆，+丁=1的左焦点F,与椭圆交于M,N两点,直线尸Q过原点。

7、与例N平行，且与椭圆交于P,。两点，则篇=.答案22解析方法一特殊化，设MM1X轴，则IMM=斗=I=1PQp=4,箫=3=昭方法二由题意知产(-1,0),当直线MN的斜率不存在时，IMN1=工-=5,俨。=2力=2,则惊J=25;当直线MN的斜率存在时，设直线N的斜率为鼠则MN的方程为yy=A(x+1),=1),M(xty),Na2,J2),联立方程2I9整理得(2必+1)2+42x+22-2yr=,以222-2I-=0,J=8280.由根与系数的关系，得x+x2=-耒+.为M=2再7则IMW=N1+d、(由+必)2_4汨&=1+J,直线PQ的方程为y=H,P(3,y3),Q(4,y),则二

8、_17op2(1+N)解得f=TT诟，y2=TP则OP2=后+%=+2-又IPQI=2|。乃，所以PQ2=4OP28(1+F),p,1f211.05份卜IfC11-O5-1+2A2所以IMM-2/2.环上，IMM一22.(6)已知点Pa,y)在椭圆功+需=1上，F,B是椭圆的两个焦点，若尸2的面积为18,则NF1P&的余弦值为.3X2V2答案解析椭圆卷+也=1的两个焦点为Q(0,-8),F2(0,8),由椭圆的定义知|尸尸1|+IPF2=20,两边平方得IPQF+PF2F+2IPF1IIPF2=2()2,由余弦定理得IPa12+pbF-2PF1PF2cosZF1PF2=162,两式相减得2|P

9、R|PB|(1+cos/QP&)=144.又ShPFiF2=1PFHPF2IsinZF1PF2=18,所以1+cosRP尸2=2SinNQP&,解得COSNF1%=,.(7)在平面直角坐标系XOy中，直线x+，-25=O与椭圆若+1=1(aZO)相切，且椭圆C的右焦点尸(c,0)关于直线y=的对称点E在椭圆C上,则OE尸的面积为()A.B.坐C.1D.2答案c解析联立方程可得4A+2y-22=0,上+且_I消去彳，化简得32+2)y2-862y+b2(8-a2)=O,由4=0得2庐+/一8=0.设k为椭圆C的左焦点，连接尸E,易知尸E/,W/2d2从所以FEA.ER又点尸到直线/的距离d=-f

10、=-t所以IEF1=,|F=2a-EF=,y0),直线/不过原点O且不平行于坐标轴，/与。有两个交点A,B,线段AB的中点为M,则直线OM与直线/的斜率之积为()-9A.9-2-B.1-9-C223 .P为椭圆会+=1上一点，F1,尸2分别是椭圆的左、右焦点，过尸点作尸从1aF2于点H,若PFJPF2,则IPM=()254A.8-3B-9-4D.94 .已知AABC的顶点8,C在椭圆5+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则C的周长是()A.23B.6C.43D.125 .设B,B为椭圆5+f=1的两个焦点，点?在椭圆上，若线段Pa的中点在y轴上，则隅的值为()ADp)rt413J96 .已知椭圆C,+g=1(ZO)及点3(0,a),过点B与椭圆相切的直线交X轴的负半轴于点A,F为椭圆的右焦点，则NAB尸=()A.60oB.90oC.120oD.150/,27 .已知椭圆5+5=1的两个焦点是尸,22,点P在该椭圆上，若IPR1TP&|=2,则ZiPQB的面积是()A.2B.2C.22D.38 .设P为椭圆C而+m=1上一点，Fi,尸2分别是椭圆C的左、右焦点，且MQ尸2的重心为G若IpB1：PF2=3：4,那么AGPR的面积为()A.24B.12C.8D.6