专题03 离心率范围(最值)模型(原卷版).docx

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1、专题03离心率范围（最值）模型解决离心率范围（最值）问题的基本思路是建立目标函数或构建不等关系：建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达离心率，利用求函数的值域（最值）的方法将离心率表示为其他变量的函数,求其值域（最值），从而确定离心率的取值范围；构建不等关系是根据试题本身给出的不等条件,或一些隐含条件或椭圆（双曲线）自身的性质构造不等关系，从而求解.【例题选讲】7y例8（41）过双曲线，一方=1（0,历0）的右焦点且垂直于X轴的直线与双曲线交于A,B两点，与双曲线的渐近线交于C,。两点，若A88,则双曲线离心率e的取值范围为（）答案B解析将X=C代吟一方=1得，=吟,

2、不妨取A（C,（cf-勺，所以IAB1=子.将X=C代入双曲线的渐近线方程y=A,得尸弯，不妨取a年），D（c,一,所以ICQ1=等.因为IAB18,所以手邛*，即6冷，则盘c2,即/（42）已知椭圆C：-a2c2f即c,所以,所以立|,故选B.1360）的右焦点为F,短轴的一个端点为P,直线/：4-3尸0与椭圆C相交于A,8两点.若HFI+1M=6,点P到直线/的距离不小于2则椭圆离心率的取值范围是（）5-9B32答案C解析如图所示，设尸为椭圆的左焦点，连接AF,BF,则四边形AFBF,是平行四边形,.6=4F+阳F1=IA尸+AH=2,：.a=3.取P(0,协,丁点P到直线/：4x+3y=

3、0的距离不小于*,.P二616+9-5解得b2.，椭圆E的离心率范围是卜，故选C.(43)己知Fi，B是椭圆言+=(abO)的左、右焦点，过尸2且垂直于X轴的直线与椭圆交于4,B两点，若AA5R是锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是()A.(2-1,+)B.(0,2-1)C.(2-1,1)D.(2-1,2+D答案C解析由题意可知，A,8的横坐标均为C,且A,8都在椭圆上，所以/十方=1,从而可得y=g,不妨令49，),“，由AAM是锐角三角形知/b1FQa2-b/AFiF245o,所以tanZAFF21,所以出11/4尸|尸2=斤京=五1,故0,解得eKn一1或e一也一1,又因为柳圆中，0

4、e1,所以，1e1,故选C.(44)己知用,尸2分别是椭圆C：+f=1的上下两个焦点,若椭圆上存在四个不同点P,使得APQ尸2的面积为小，则椭圆C的离心率的取值范围是()A-(r坐)B.&1)C.停1)D.惇,1)答案A解析尸，尸2分别是楠圆C=1的上下两个焦点，可得2c=24-m,短半轴的长：trf楠圆上存在四个不同点Pf使得aPF72的面积为小，可得京244mXbi*5,可得?一4m+30)的左、右焦点分别为F(-c,0),F2(c,0),若椭圆上a1bSinZPFiF1SinZPF2Fi思路点拨在APH尸2中，使用正弦定理建立PF,IPB1之间的数量关系，再结合椭圆定义求出PBI,利用-

5、cPBI+c建立不等式确定所求范围.答案(&-1,1)解析根据已知条件PQB,NPBQ都不能等于0,即点P不会是椭圆的左、右顶点，故P,P,B构成三角形，在B中，由正弦定理得一JsinNPF1F2-Ipz-1J-,则由已知，得即IPBI=IPB1.根据椭圆定义，IPFiISinZPF2F1PF2PFa+PBI=，.由解得，IPF2I=,因为4-XPBI3+c,所以一1+工ac二一+c,即从2/0,即/+2e10,解得e近一1,又e(0,1),故椭圆的离心率o(忘一1,1).，b0)t若存在过右焦点户的直线与双曲线C相交于A,8两点，且第=3昴，则双曲线C的离心率的最小值为.答案2解析因为过右焦

6、点尸的直线与双曲线C交于A,8两点，且万=3灵，故点A在双曲线的左支上，8在双曲线的右支上，如图所示.设A(X1,y),8(x2,”)，右焦点F(c,0),因为A尸=38尸，所以C-x=3(c-Xz),即3x2-x=2ct由图可知，xa,所以一x加，3x23,故3.也一x4,即2cN4,故在2,所以双曲线C的离心率的最小值为2.(47)己知双曲线方程为一一一力=1，若其过焦点的最短弦长为2,则该双曲线的离m+4b2心率的取值范围是()A.(1,B.,+oo)C.(1,知D.(冬oo)答案A解析过焦点的最短弦长有可能是2a或是过焦点且垂直于长轴所在直线的弦长为I=.2=+44,2破42,所以过焦

7、点的最短弦长为=2,ayjm2+4aym2+4即b2=-Jm2+42,e=-=二:也=J1+-1,(K-4，所以+,a+4bh2b2b221vJ1+Q手,即(1,y.故选A.72(48)椭圆M：，+方=1(bO)的左、右焦点分别为尸1，F2,P为椭圆M上任一点，且IPRIPBI的最大值的取值范围是2序，3为，椭圆M的离心率为e,则e十的最小值是答案一坐解析由椭圆的定义可知IPRI+1PBI=勿，PRHPB(殴竽包=02,.2b3/，即2a2-2c1a23a2-3c1tj1),与直线/的方程联立0,解得a,所以e=g,所以e的最大值为坐.方法2A(-1,0)关于直线/:y=x+3的对称点为4(-

8、3,2),连接48交直线/于点P,则此时椭圆C的长轴长最短，为|4招|=2小，所以椭圆C的离心率的最大值为七=坐.故选A.(50)已知双曲线5一方=1(0,於0)的左、右焦点分别为尸,尸2，点尸在双曲线的右支上，且IpEI=6PB,此双曲线的离心率e的最大值为.答案j解析由定义，知PQ1PBI=2又IPQI=6PBI，2-5a.当P,F,尸2三点不共线时，在APFiF?中，由余弦定理，得CosZFiPF2=442?2IPQI2+IPBF-IQBI225“十25牝37252PFiPF22W37122,即/=后一天CoSN尸P772Vcos/尸,尸2右(一1,1),.e(1,)当尸，B，尸2三点共

9、线时，.PQI=6PB,.e=2=77M综上，e的最大值为多还可用三角形两边之和大于第三边构造不等式.【对点训练】47.过椭圆C：，+，=I(G比0)的左顶点A且斜率为2的直线交椭圆C于另一点8,且点B在X轴上的射影恰好为右焦点尸.若;40)的右顶点为A,O为坐标原点，若QAIV2,则双曲线。的离心率的取值范围是()A.停+8)B.(1,DC.管,D.(1,2)49.已知椭圆E：7+方=1（。0）的右焦点为凡短轴的一个端点为M,直线/：3x4y=0交椭圆E于4,4B两点.若IAF1+8T=4,点M到直线/的距离不小于点则椭圆E的离心率的取值范)阴(b围A.C_3-4-B.,3-4,92T50

10、.已知双曲线，一%=1（0,历Q）的左、右焦点为尸、F2,双曲线上的点P满足4PZ+泊N3恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（）3344A.12C.1jJ251 .已知点尸,尸2分别是双曲线方一方=Im0,b0）的左、右焦点，过F2且垂直于X轴的直线与双曲线交于M,N两点，若碇I.而|0,则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A.（2,2+1）B.（I,2+1）C.（1,3）D.（3,+）9252 .正方形ABCD的四个顶点都在椭圆，+/=13泌乂）上,若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（）53 .如图，椭圆的中心在坐标原点O,顶点分别是4,A2,8,焦点分别为R,F2,延

11、长囱尸2与42%交于P点，若82为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为.54 .已知尸I，尸2分别是椭圆C+W=1S）的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使NFIP出为钝角,则椭圆C的离心率的取值范围是（）A.俘，1)B.Q,1)C,1,孝)D.(0,y2255 .己知椭圆N+方=1(0)的左、右焦点分别为Q,F2,P是椭圆上一点，是以F2P为底边的等腰三角形，且6()oNPFF20,bX)的左焦点且垂直于X轴的直线与双曲线交于A,B两点,。为虚轴的一个端点，且AABO为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为X2V257 .已知点尸为双曲线E：2-p=1(a0,比0)的右焦点，直线y=心”0)与E

12、交于不同象限内的M,N两点，若MFNF,设/MNF=B,且作有都则该双曲线的离心率的取值范围是()A.f2,2+6B.2,3+1C.2,2+6D.2,3+158 .过双曲线，-R=1(nO,bO)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为.59 .已知产尸2分别是椭圆C：5+=1(0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P,使得线段PFy的中垂线恰好经过焦点广2,则椭圆C的离心率的取值范围是()A.1,1)B,1,坐C,1)D,(0,I60 .已知尸I，尸2是椭圆/+/=1(aZO)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PQ_1PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是()A律1)B.，1)C(,9D.(,即61 .己知双曲线CW=1(O,b0)的左、右焦点分别为尸B，点P为双曲线右支上一点，若IPQF=8PB,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.(1,3B.3,+)C.(0,3)D.(0,3、262.已知B(-c,0),F2(c,0)为椭圆，+=13b0)的两个焦点,点尸在椭圆上且满足希港=C2f则该椭圆离心率的取值范围是()A净I)B.惇,用C.|,1D