专题05 共焦点椭圆、双曲线模型(原卷版).docx

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1、专题05共焦点椭圆、双曲线模型秒杀结论已知椭圆G：a+$=1（其中4b0）与双曲线。2：和一%=1（其中m0f0）共焦点，e,62分别为G，Q的离心率，M是G,C2的一个交点，6=ZFiMF2,则*cos【方法技巧】结论I的推导是用椭圆与双曲线的定义，然后两式相加，相减.凡是已知公共焦点三角形中的一边（焦半径）或三边的比例关系（可取特值，特别是在直角三角形中），然后使用结论I：MF=a-mfPF2=a-mf找到,m,C的关系，从而解决问题.可免去用椭圆与双曲线的定义，节省时间.关于结论I的记忆是长边加，短边减，椭圆的长半轴在前，双曲线的实半轴在后.结论II的推导是先用桶圆与双曲线的定义，然后用

2、余弦定理，或用焦点三角形的面积相等.凡是已知公共焦点三角形中的顶角（或隐含如例2（6）,对点练5,6）,然后使用结论H：sin2CoszZ-+-=1,可快速到6，及2的关系，从而解决问题.如果求最值注意基本不等式的C12使用，如不能用基本不等式可利用三角换元转化为三角函数的最值（如例2（5）,对点练4,6）或用柯西不等式（选修4一5）.关于结论II的记忆类比平方关系，在正弦，余弦下分别加上桶圆与双曲线的离心率的平方.【例题选讲】例11（59）椭圆与双曲线有公共焦点B,F2,它们在第一象限的交点为A,且ABj_AF2,ZAFF2=30,则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（）A.23B.3C.2D.

3、10272答案B秒杀设椭圆方程为：5+*=130）,双曲线方程为5一=1（心0,0）,根据题意，可设IAQI=小，AF2=1,内尸2=2,则a-n=1,*=+C1C2C台审=5故选B.（60）中心在原点的椭圆G与双曲线C2具有相同的焦点，F（-c,0）,2（c,0）,P为C1与C2在第一象限的交点，P7=FBI且IPB1=3,若椭圆CI的离心率幻整号，则双曲线的离心率62的范围是()A.Q,jB.(j2)C.俘，2)D.(2,3)y292答案C秒杀设椭圆方程为：/+g=1(4bO),设双曲线方程为三一=1(心0,CC70),由题意有，w=2c,a-w=3*所以m=2c-a,又。2=一=T-=F

4、，因为C1m2c-aC律312律1-e1以所41万你(61)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为B,F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,4PAB是以PA为底边的等腰三角形，若IPa1=I0,椭圆与双曲线的离心率分别为约，62,则6162+1的取值范围为()A.(1,)B.g,+)C.(p+)D.$，)答案B秒杀设椭圆方程为：，+*=13玩0),设双曲线方程为常一今=1(亦0,5c20),由题意有，+m=10,a-m=2c,所以=5+c,m=5-cfcy又62+1=-+C2524-3【对点训练】88 .F,B是椭圆G与双曲线C2的公共焦点，A是G，。2在第一象限的交点，且AH

5、_1A尸2，N4尸1尸2=会则G与C2的离心率之积为()A.2B.3C.D.乎89 .己知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1,F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,APHF2是以Pa为底边的等腰三角形，若双曲线的离心率为3,则椭圆的离心率3-7(A.4-7B.5-6C9-10D.90 .已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在X轴上，左、右焦点分别为F2,且它们在第一象限的交点为P,ZiPBB是以PF1为底边的等腰三角形.若IPBI=I0,双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是()121121A.(y2)B.(5，2)Cq,7)D.伤，1

6、)91 .已知Q,B是椭圆与双曲线的公共焦点，尸是它们的一个公共点，且IPaIPB,线段PF1的垂直平9e-）分线过尸2,若椭圆的离心率为白，双曲线的离心率为62,则f+券的最小值为（）1A.6B.3C.6D.392.如图，Fi,尸2是椭圆G与双曲线。2的公共焦点，A,8分别是G，。2在第二、四象限的交点，若AF1IBF1,且NAQo=冬则C1与。2的离心率之和为（）例12（62）己知椭圆、双曲线均是以直角三角形48C的斜边AC的两端点为焦点的曲线，且都过B点，它们的离心率分别为臼，62,则5+*=（）35A.2B.2C.2D.4答案B通解以AC边所在的直线为X轴，AC中垂线所在的直线为），轴

7、建立直角坐标系（图略），设#有圆方程为言+方=1,设双曲线方程为也一女=1,焦距都为2c,不妨设IABAIBa椭圆和双曲线都过点8,则AB+3q=加I,IAB1-8q=2a2,所以IABI=卬+仪,BC=a-a2t又因为AABC为直角三角形，AC1=2c,所以31+汲）2+（。1一2）2=（2。）2,即aHa1=2c2t所以卡詈=2,即5+=2.故选B、22-4cos211=1f得/+=2故选B（63）（2013浙江）已知R,B为椭圆G：+）2=1和双曲线C2的公共焦点，?为它们的一个公共点，48分别是G，C2在第二、四象限的交点，若四边形AR8F为矩形，则C2的离心率是（）3氏3-2C62a

8、,把2snzzcos2.A答案D秒杀由已知=：，又由得/+最=2,又约=当，02=故选D.（64）（2016全国高中数学联赛四川预赛）已知Q,B为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且NQP尸2=?则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为（）A.坐B.坐C.1D.3ASin-2coszz1答案B秒杀由已知尸蚩又由+-=,得或+最=4,4=e2坐（当且仅当。2=审约时取等号），故选B.r22r22（65）已知椭圆G：a+$=1（其中与双曲线Q：於一力=1（其中加0，0）有相同的焦点尸”F2,P是两曲线的一个公共点，e,02分别是两曲线的离心率，若PR1PFi,则4/+a的最小值是（）5-

9、2A.9-2-2D.答案C秒杀由已知又由-7+7=I,得/=2,4后+eg=g（44+8）/ZeICfIc2C1。2/VI+自）=搭+茎言+誓娉（当且仅当后=2日时取等号），故选C.（66）（2014湖北）已知Q,B是椭圆和双曲线的公共焦点，尸是它们的一个公共点，且NFiPF2=J,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）3r23A3D3K-*J1xZ.1aAsin2cos*51a.答案A秒杀由已知E=袭，又由w+z-=1,得/+最=4,可利用三角换元/=2cos9,好=2Sin。，则;+；=可Sin故选A.C2C1C2JDJT2Y2（67）（2016浙江）已知椭圆。|：评+产=1（阳1

10、）与双曲线。2：宗一V=150）的焦点重合，e,会分别为G,C?的离心率，则（）A.加且e1e21B.?且eg1C.?1D.mn且en,又匕心产=/W2-Iz21w2121n42n21|源.2=/+2,=+22=1+/+2产1，eg1故选A（1nI秒杀由椭圆和双曲线焦点三角形面积公式得，ZAa读=b2,即，ta应=六，解得（anz（anz0=2+=2,因为，-2一2=%+!嬴;ee21故选A*【对点训练】93 .已知椭圆和双曲线有共同的焦点F,F11P是它们的一个交点，且NKPB二笔记椭圆和双曲线的离心率分别为约，%则3+W等于（）Cf1v2A.4B.23C.2D.394 .已知圆锥曲线G：u

11、2+V=1（m0）与C.pr2gy2=1（p0）的公共焦点为尸”F?.点、M为G,C2的一个公共点，且满足/RMB=90。，若圆锥曲线G的离心率为T则C2的离心率为227795 .己知椭圆也+$=13/0）与双曲线面-=1（0,心0）具有相同焦点Fi，F2,且在第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e”及，若NF2=?则3+e珀勺最小值是（）2+小9,fzr1+2小A.B.2十C.96 .已知后，尸2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的个公共点，且NQP尸2=。，cos。4-5和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）4C1O5-7A.1B.-C，D，92v2297 .已知椭圆C：5+加=1（其中m2心0）与双曲线Q：，一方=1（其中0,QO）的焦点重合，61，02分别为G，C2的离心率，贝J（）4444A.mnKeeB.nn.ee2C.mV且e及与D.mn5.ee298 .（2014全国高中数学联赛湖北预赛）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F2,记椭圆和双曲线的离心率分别为约，62,若椭圆的短轴长是和双曲线虚轴长的2倍，则+A的最大值为（）A.4B.23C.ID.I