专题五 解析几何知识点归纳.docx

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1、专题五解析几何知识点归纳1.直线的倾斜角与斜率A直线的倾斜角的范围：0,;T)TI直线的倾斜角与斜率关系：k=tan(其中wJ规律：当(O,)时，Z0,倾斜角越大，斜率越大，反之亦成立当(/)时，Z0,倾斜角越大，斜率越大，反之亦成立当=0时，斜率=0,当a=工时，没有斜率2过6(,M),B(x2,%)两点的直线斜率公式：攵=江”(其中%8)X1-X22.直线的方程的几种形式名称方程形式适用的直线(局限性)点斜式y-y0=k(x-x)不表示垂直于X轴的直线斜截式y=kx-b两点式y-y1=x-x1,一必须一占不表示垂直于X,y轴的直线截距式-1ab不表示垂直于X,y轴与过原点的宜线一般式Ax+

2、By+C=0(A2+B20)直线方程最终都可以化为一般式特别提示：过点P(a,O)的直线可设为X-=my即X=My+a(其中7=：),这样设可避免对斜率是否存在的讨论。3 .两直线的位置关系：(1)利用斜率判断设直线4:y=kxx+4和直线12y=k2x+b2,K=&且工4注：当两直线都没用斜率时也有44412k2=-注:当一条直线没有斜率,而另一条直线斜率为0时,也有42(2)利用一般式方程的系数判断设直线/,:A1x+B1yC1=0和直线4:A2x+B2y+C2=0ARC1=-1H-1注：当A2%C2=O时另外考虑A?B?C?4J.=AA2+BB2=0(不需要讨论)4 .距离公式：点到点的

3、距离：点点,凹)到点g(,力)的距离d=Ja-X2y+(X-点到直线的距离：点P(Xo,N)到直线/Hx+3y+C=0距离djAV8%+0yA2+B2平行线间的距离:设：AX+为+G=。，4：瓜+的+G=O则d=GIa2+b25 .圆的方程(D圆的标准方程:(x-)2+(y-Z)2=r2(r0)其中圆心C(a,b),半径r(2)圆的一般方程：/+/+瓜+4+/=0(其中。2+七2-4/0)VX2+2+F=O(x+y)2+(y+y)2=D4j_-同、0E、U4ZxD2+E2-4F.圆心。(-,-y),半径r=(3)直线与圆的位置关系位置关系几何法(利用弦心距d与半径r的大小)代数法(把直线方程代

4、入圆的方程，消去冗或y,利用判断)相离dr()相切d=r=0相交d0弦长r2=J2+(I)2其中/指弦长2I=1+2(x1+x2)2-4x1x2注：研究直线与圆的位置关系，常用几何法圆上一点P(XO,%)引圆C的切线有且只有一条，当切线斜率不存在时，切线方程为R=Xo当切线斜率存在时，切线方程为y-%=-/一(1-/)kCP圆外一点尸(%,%)引圆C的切线布西担可先设切线方程为y-y。=A(X-Xo)然后利用圆心C到切线的距离d等于半径r(易忽略了斜率不存在的那条)设A(西,弘),8(%,%)，则以AB为直径的圆的方程为：(x-x1)(x-x2)+(y-j1)(j-j2)=0证明：设M(x,y

5、)为所求圆上的任意一点，AM=(x-x1,y-y1),BM=(x-x2,y-y2)由奇丽=0易得：(X-X1)(X工2)+()一%)(一%)=。即为所求圆的方程。位置关系图形几何法公切线条数外离QedR+r4外切Od=R+r3相交R-rdR+r2内切d=R-r1内含dF1F2=2c)标准方程及其性质:图形a1f1dCF苏7标准方程22-+=1(6ZZ7O)ab+=i3匕0)性质焦点F1(-c,0),F2(c)焦距|F1F21=2cFx(0,-c),F2(0,C)焦距IGBI=2c顶点A(-,0),A2(a,0)用(F,0),4(4,0)长轴IAiA21=2，短轴|幽&I=力A(F,0),&SO

6、)B1(-,0),B2(a,0)长轴IAIA2=2,短轴18182b处范围-axa-hyb-bxh-ay=J2I=JI-e?.离心率一0,椭圆越圆，离心率一1,椭圆越扁通径b12过焦点且与长轴垂直的弦长即通径长d=2a椭圆的性质要点：六点（4个顶点+2个焦点）、两线（2条对称轴）、两形（椭圆上任意一点与两焦点构成的三角形，原点、焦点与短轴顶点构成的三角形）22焦半径公式：设M（,九）为椭圆二+与=1（b0）上的任意一点，ab-则IMF1=a+exQ,MF2=a-exii(左加右减)I/用=/(x0+c)2+y02=J(XO+c)2+b2(1-)推导过程：V矿IQQ7.双曲线的定义及其性质定义：

7、=A(+a)2=I+x0I=ex0(,-axqa)I1MKI-IMEH=2”(其中2VKEJ=2c)标准方程及其性质:图形371标准方程X2V2-f7=1(00)ahy2X2-97=0,/?0)ah性质焦点片(一C0),鸟(,0)焦距|百巴|=2。耳(0,c),%(0,C)焦距I再入I=2c顶点A1(-,0),A2(,0)虚轴端点片(-4,0),4SO)实轴I44I=2。，虚轴IBNz1=2bA(f,0),43,0)虚轴端点用(一。,0),82(4,0)实轴IAA2=2,虚轴I与4I=2b范围X一。或Xa,yeRXeR,y一。或ya,对称性关于X轴,y轴及原点0对称ahc的关系,22C-=ar

8、+b离心率e=-e(1,+oo)V-=J-=7=T.离心率越大，2越大即张口越大4。V矿a渐近线a,ay=-xb通径b2过焦点且与实轴垂直的弦长即通径长d=纥双曲线的性质要点：（1）六点（2个顶点+2个焦点+2个虚轴端点）、四线（2条对称轴+2条渐近线）、两形（双曲线上任意一点与两焦点构成的三角形，原点、实轴顶点与虚轴端点构成的三角形）2222与双曲线与-与=1共渐近线的双曲线可设为二-3二4Wo）abab（3）在双曲线中，焦点到渐近线的距离d=IbC=g=bJ/+/C8.抛物线的定义及其性质定义:M/I=定点F叫做抛物的焦点，定直线/叫做抛物的准线标准方程及其性质:图形M,TO才M1小标准方

9、程y2=2px(p(S)y2=-2pXp0)X2=2pyp0)炉=-2.火0)焦点嘴，0）F(WO)尸（0苧F(Oe)准线方程X=-P-2X=2T,=f范围x0,yeRx0,yeRy0,xRy0,xeR对称性关于X轴对称关于y轴对称顶点原点(0,0)离心率e=1通径过焦点且与对称轴垂直的弦长即通径长d=2p抛物线的性质特点：（1）标准方程中，一次项定焦点，一次项系数符号定开口;（2）焦点的非零坐标是一次项系数的1/4,准线方程中的数是一次项系数的T/4;（3）IMFI=Ci利用此结论，可实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间相互转化.(4)抛物线=2pXp0)的焦点弦AB性质：设Aa,

10、必),B(x2,%)IA|人用=|4可+|8尸|=(耳+(电+9=%+尤2+x./=?，-J2=-P2+FBFp圆心以AB为直径的圆与准线相切9 .直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系可分为相交、相切、相离判断方法：?,Ax+y+C=O设直线/：而+8)，+。=0(42+3七0),圆锥曲线。(乂月=0,由4),即/(x,y)=O将直线/方程与圆锥曲线C的方程联立,消去y得关于X的一元二次方程0r2+c=0(当然，也可以消去X得关于y的一元二次方程)，通过一元二次方程的解的情况判断直线/与圆锥曲线C的位置关系，见下表：方程a?+法+c=o的解位置关系=0若曲线是双曲线，有1个解,直线

11、与渐近线平行相交若曲线是抛物线，有1个解,直线与对称轴平行0()两个不相等的解相交=0两个相等的解相切0无实数解相离圆锥曲线的弦长公式若直线/的斜率存在，不妨设直线方程为：y=履+圆锥曲线C:/(%,y)=O,联立方程组；(：；2，消去了得关于X的一元二次方程以?+公+c=o,设直线/与曲线C的交点A(X1,y),B(x21y2),则X,a是方程4Y+6x+c=0的两根,记=/-4cbc(1)由韦达定定理可得：x1+x2=一一,xiX0=aa(2)弦长IA8=J1+rI%一I=J1+公Ja+%)2-4x2若消去冗，得关于)，的一元二次方程/+by+c=O10 .解析几何与向综合时可能出现的向内容：直线44的倾斜角互补o占+&=0OP-1OaO为原点OOPoQ=O%9+%必=。（其中P（XQ）QG,为）在ABC,给出NAAC=90,等于己知而/=0在ABC,给出NBAc锐角等于己知而元0在A3C,给出NAAC钝角等于己知而/=A8-AE）,等于已知ABC。是矩形;222在A3C中，给出。4=OB=OC,等于已知。是A3C的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；在8C中，给出苏+为+无=6,等于已知。是8C的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；在ABC中，给出说为=为5