第10章圆锥曲线-5 直线与圆锥曲线（理科）.docx

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1、第5节直线与圆锥曲线题型124直线与圆锥曲线的位置关系L （2013重庆理21）如图，椭圆的中心为原点O,长轴在工轴上，离心率e =与,过左焦点写作X轴的垂线交椭圆于A A两点，|A4 = 4.（1）求该椭圆的标准方程;（2）取垂直于1轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,尸，过尸，P作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQ，PQ ,求圆Q的标准方程.2. （2013湖南理2理过抛物线： V = 2py（p 0）的焦点/作斜率分别为加2的两条不同的直线/，且尢+42 = 2, /与E相交于点AB,与E相交于点C, D.以AB, 6 为直径的圆M,圆N （ M, N为圆心）的公共弦所在的直

2、线记为/ .（1）若占 0,22 0,证明；FM FN 0）经过点P 1,=，离心率x=4.（1）求椭圆C的方程；（2） A8是经过右焦点尸的任一弦（不经过点P）,设直线45与直线/相交于点M,记PA, PB, 的斜率分别为勺2K 问：是否存在常数2,使得勺+月二前3?若存在，求义的值；若不存在，说明理由.4. （2014辽宁理10）已知点A（2,3）在抛物线C： V=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点8,记C的焦点为尸，则直线8F的斜率为（B-1c-1 D- 55. （2014福建理19）（本小题满分13分）y2已知双曲线E ：靛万=1 （0力0）的两条渐近线分别为I1:y=

3、2x,（I）求双曲线的离心率;（2）如图所示，。为坐标原点，动直线/分别交直线%于A8两点（A8分别在第一，四象限），且OAB的面积恒为8,试探究：是否存在总与直线/有且只有一个公共点的双曲线E?若存在，求出双曲线石的方程；若不存在，说明理由.6. （2014天津理18）（本小题满分13分）X2设椭圆/ +万=1（。人0）的左、右焦点为耳，尸2,右顶点为A，上顶点为反已知（1）求椭圆的离心率;（2）设尸为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 依为直径的圆经过点耳，经过原点。的直线/与该圆相切.求直线/的斜率.7. （2014湖北理21）（满分14分）在平面直角坐标系xQy中，点M到点尸（1,0）的距

4、离比它到y轴的距离多1,记点M的轨迹为C.（1）求轨迹为C的方程;（2）设斜率为k的直线/过定点尸求直线/与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点、,三个公共点时k的相应取值范围.8. （2015北京理19）己知椭圆C：T + = l（Qb0）的离心率为半，点尸（0）和a dl点w0）都在椭圆。上，直线交轴于点M.（1）求椭圆。的方程，并求点M的坐标（用一表）；（2）设O为原点，点3与点A关于x轴对称，直线必交）.轴于点N.问：y轴上是否存在点Q,使得NOQM=NONQ?若存在，求点。的坐标；若不存在，说明理由.9. 解析 （1）因为e = 二，所以一二Ji=7 = *1,a 2 a2%22又点尸

5、（0,1）在椭圆 C： -y + r = l（6Z/?0）,则匕=1, a = y2,九2因此椭圆。的方程为二+V=1,直线24的方程：丁 =上1% + 1，2m令y = 0,可得x =/_,所以点M的坐标是-n-n-.y =x + ，m令y = 0,所以可得 则N1 + n-,0 1,因为 NOQM = /ONQ ,点3与A关于*轴对称，所以川加,一孔），直线总的方程:所以 tanNOQM = tanNONQ,所以 =即 |OQ=|。河|。2 ,因为 |o02二|om|on卜m m nr1 - n2 1 + 1-iv，又点A（m）（加工0）在椭圆C上,92in 2 ,2 m所以彳+6=1,

6、B|jl-=,所以|OQ2 _ m2m222,得Q（O,0卜79. （2015福建理18）已知椭圆E：r +CTb26= l（Q0）过点（0,、汇），且离心率6 =5求椭圆石的方程;（9设直线/：x = 2）-1（meR）交椭圆石于A, 3两点，判断点G -,0与以线段A3 4 7为直径的圆的位置关系，并说明理由.4解析解法一：（1）由已知得a = 2，解得V =c = 2（2）设点, A3的中点为“（七,%）.由,得（机？+2）y226），3 = 0,所以,+为=2/77x = my -129工+J423m2 * 4+2 必必_/+210. 析本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基

7、础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.b = 42a 2矿=/r + c-从而为所以=(9ro+422 I5%=冲0+742+ y()= (/ +1) y；+1 阳。+jj ,ABT（玉工2+（乂 -MF （1 + ）（乂 一巴(1 + /)(弘 + %)2-4乂% _ABT2_一=5?%+（i+22）y%+而5m23（l + m22（/+2） m2 + 22517m2+216 -16（m2+2）AB 0,所以 GH 、一.2故点G -?,0在以AB为直径的圆外.k 4解法二：（1）同解法一.9GB= x2+-,y2 .4 y（9（2）设点A

8、（%,yJ,则GA= %+工,）,1 ，x = my -1x2 y2 ,得（帆2+2），一2加），一3 = 0 ,142所以,+%=段，-高/+1）2 +，（），】+%）-3 （m2 +116m2 +2-m222517m2+216（m2 + 2）0,所以cosGAG8）0.又GA, G6不共线,所以NAG8为锐角.9故点G -,0在以AB为直径的圆外.I 4 ）210. （2015全国I理20）在直角坐标系X。），中，曲线c：y = ?与直线/：丁二丘+。（。0）交于M，N两点.（1）当攵=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（2） V轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有N。尸M = NO

9、PV?说明理由.10.解析y = a（1）由题意知，Z = 0fl寸，联立J丫2卜=1解得 M（2 JZ,a）又 y= 2，在点、M 处女乂 = ，切线方程为 y a =2，?），即 JZx-y - Q 二 ,在点 N 处，kN=-y/af 切线方程为 y = G（x + 2&）,即 JZx+y + Q = O.故所求切线方程为4cix - y - 4 = 0和4ax + y + = 0.（2）存在符合题意的点，证明如下：设点。（0力）为符合题意的点，M（wyJ, N（4,%），直线尸M, PN的斜率分别为尢，y = kx + a攵2 .联立方程.x2 , W X2 4Ax 4a = 0,故否

10、+Z=4k, X）X2 = -4fZ,从而占+ &二2+三心=2%+（a-如+）=且竺2-% xXX,a当6 = 。时，有勺+k2=0,则直线PM与直线PN的倾斜角互补，故/OPM = /OPN,所以点尸（0,。）符合题意.22W11. （2015天津理19）已知椭圆会+a=1（力0）的左焦点为尸（一&0）,离心率为号,、o h2点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆厂+广二截得的线段的长为0,4（1）求直线FM的斜率；（2）求椭圆的方程;（3）设动点。在椭圆上，若直线EP的斜率大于求直线OP （。为原点）的斜率的取值范围.11.分析（1）由椭圆知识先求出”,c的关系，设直线FM的方程为y

11、= 4（x + c）,求出圆22厂 厂 1心到直线的距离，由勾股定理可求斜率女的值；（2）由（1）设椭圆方程为台=1,3cL 2cL4x/3直线与椭圆方程联立，求出点M的坐标，由|FM| 二可求出入 从而可求椭圆方程;(3)设出直线EP： y = 7(x+l),与椭圆方程联立，求得二2 北,求出X的v 3(x + l)-范围，即可求直线OP的斜率的取值范围.C21 o o解析(1)由已知有r = ;,又由/=82+。2,可得2=3c2, b2 = 2c2,cr 3设直线FM的斜率为k(k 0),则直线FM的方程为y = Z(x + c)，由已知有kc、22C2)2x y 1由(1)得椭圆方程为

12、0+六=1,直线R0的方程为y = Z(x + c),两个方程联立,3c. LC消去y,整理得3三+2cx 5c2=0,解得x = gc或工二C,因为点M在第一像限,可得M的坐标为，苧c,由河=1a+1c-0/=走，解得c = l,322x y 1所以椭圆方程为/+刀=1设点P的坐标为(羽y),直线FP的斜率为匕得，=上X+1，即 y = r(x+l) (X 1),与椭圆方程联立y = f(x +1)%2 ,2, 消去 y + = 132整理得2V+3/(x+l)2 =6,又由已知，得.= 6-2厂 日V3(x+1)2解得一9%一1 或ix0,于是加=I ，/2_2?3当X (1,0)时，有y = f(%+l)0,因此工加0,于是m=一 J-T 一.，V x J(2收得 2 -00,1 /(2内(62内综上所述，直线OP的斜率的取值范围是-8,一. / /12. (2016四川理20)已知椭圆E的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点,直线/：y = x + 3与椭圆E有且只有一个公共点7.(1)求椭圆石的方程及点7的坐标；(2)设。是坐标原点，直线/平行于07,与椭圆交于不同的两点A、B ,且与直线/交于点P.证明：存在常数九 使得|P?f =可2明尸即，并求义的值.22Lr)112.解析(I)由已知，a =夜/?,则椭圆石的方程为7万