复变函数可导的充要条件.docx
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1、复变函数可导的充要条件复变函数是复数域上定义的函数,即$201放11附9VightarrowmathbbC$。该函数在复平面上表示为$z=x+iy$,其中$x$和$y$是实数,$i$表示单位虚数。在复变函数中,存在导数的概念,即导函数,该导数表现为变量$z$的复导数。因此,复变函数可导的充要条件是它在复平面上满足复变函数的柯西-黎曼方程。柯西-黎曼方程是一个复变函数$u(x,y)+iv(x,y)$的必要条件,即实部$u$与虚部$v$必须满足一定的条件。柯西-黎曼方程可以表示为:$fracpartia1Upartia1X=fracpartia1Vpartia1y,fracartia1uartia
2、1y=-fracartia1Vartia1X$在柯西-黎曼方程的情况下,函数$u$和$v$都必须是可微的,因此,柯西-黎曼方程也是一个充分条件。现在,我们将证明这个命题。我们假设复变函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在某个$z_0=x_0+iy_0$处可微,即:$1im_zXrightarrowz_0fracf(z)-f(z_0)z-z_0=A$其中$A$是一个复数,当$2rightaowz_0$时,$A$是近似值。为了使导数存在,我们必须在点$z_0$周围选择$n$个点:$z_1,z_2,.,z_n$,其中$z_0$是半径为$r$的圆心,且满足条件$nrightarrowinft
3、y,rVightarrow0$。在这些点上,复变函数$篦)$的平均增量为:$De1taz=frac1nsum_j=1An(zJ-z_O)$De1taf=frac1nsum_j=1An(f(z_j)-f(z_O)$当$nrightarrowinfty$H$rrightarrow0$时,我们定义一个点$z$,其满足$De1taZ=Z-Z_0$,且$口加f=f(z)-f(z_0)$o因此,我们可以表示:$Iim_De1taZXrightarrowOfracDeItafDeItaz=A$根据定义,我们可以将增量$加。晅珏表示为:$De1taf=De1tau+iDe1tav$其中$De1taU=U(Z)
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- 函数 充要条件
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