随机信号分析(常建平+李海林)习题答案.docx

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1、1-9已知随机变量X的分布函数为x求：系数k,X落在区间(030.7)内的概率；随机变量X的概率密度。解：第问利用FX(X)右连续的性质k=1P0.3X0.7=P0.3X0.7-PX=0.7第问=F(0.7)-F(OJ)一、dFx(x)2x0x1第问(x)=-=|oe1se1-10已知随机变量X的概率密度为心=(-X+)(拉普拉斯分布)，求：系数攵X落在区间(0,1)内的概率随机变量X的分布函数解：第问匚力公=1k=g第问Px1X=F(x2)-F(x1)=(x)6随机变量X落在区间(知的概率pkvxs就是曲线y=)下的曲边梯形的面积。P0X1=P0012x0-r2=VXO1ex2/(X)=J公

2、x0x01-11某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有IOOO辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？-(OT)分布二项分布-nf8,pf,np=2泊松分布n8成立,p,夕-0不成立,高斯分布实际计算中，只需满足10p0.1,二项分布就趋近于泊松分布ke-P(X=TrA=np汽车站出事故的次数不小于2的概率P(A2)=1-P(k=0)-P(k=1)答案P(左2)=1-11e411-12已知随机变量(XI)的概率密度为f(y)=，如T3x+4y)OxO,yO其它求：系数人?(XI)的分布函数？P0vX1,0X2?第问方法一

3、：联合分布函数FXY(x,y)性质:若任意四个实数,212，满足ax,1b2,则PaiXa2,biYP0X1,0K2=(1,2)+(0,0)-(1,0)-(0,2)方法二：利用尸(,y)e0JJxy(,*p0x,0y2=xy(,)0,1-13已知随机变量(x,y)的概率密度为,z、1，Ox1,yx/(Q1。,其它求条件概率密度入(X1y)和(y)?判断X和丫是否独立？给出理由。先求边缘概率密度f(X)、注意上下限的选取r人=匚狐(M*/y(y)=J：/xy(%，y)=,1(f(y);,0x12x,0x1ZZ,e1seI0，e1sedx,Ocyc1PHy1-iyidx,TJO=Ioe1se),e

4、1se1-14已知离散型随机变量X的分布律为XI367P10.20.10.7求：X的分布函数随机变量y=3+的分布律1-15已知随机变量X服从标准高斯分布。求：随机变量y=e的概率密度？随机变量Z=区的概率密度？分析:为(y)=M(y)7%(刈(y)=IC1(刈.(y)+h12(y)fxh2(y)1-16已知随机变量M和占相互独立，概率密度分别为,xO,玉0,X2,X20求随机变量丫=屈+2的概率密度?K=y=X+X解：设=（任意的）求反函数，求雅克比J=T加（凶。2）=行0MNy2Ne1seFM-yn&(y)=eTy0e1se-i7已知随机变量X的联合分布律为甲?2-5PX=m,Y=n=,W

5、=O,1,2,mn求：边缘分布律PX=m(加=0,1,2,)和py=(=o,2,)?条件分布律Px=my=和py=mx=m?分析：尸X=m,y=屋-5yne-32-2mnW=O,12,mn泊松分布px=k=ke-1c,左=0,1,2,K18Ik-AV,Ae)=eJbk=0P19(1-48)OC1%一2p=%=*=0女=0K00T38on-2解：PX=m=2PX=m,y=4=-fn=1=1r*82/同理PY=n=PX=m,Y=n=1加.X=m,Y=PX=mPy=n即X、Y相互独立/但）/。2）,。又随机变量X=XY2=x1+X2=x1x2.xz证明：随机变量心M的联合概率密度为一（%，%，）=1

6、（）（%）小（%T）K=X1=卜2=KTX,=XYt与=XMx1x2x31=x1+x2+.x,1n=X1+X2+X11+XOOO000100-1100-11因为IJI=I,故人（%,当，,，%）=%（%，%一%，y一%）已知随机变量X1,X2,-,Xn相互独立，概率密度分别为工（%）,启）,（怎）人（必，内门，笫）=.&（%，一%，笫-1）=f（X）为（为一y）力（一笫-1）1-19已知随机变量X服从拉普拉斯分布，其概率密度为1_|dfx(x)=-e11,-xEX2k=1DX=EX2-E2X答案：EX=IEX2=-DX=:EY=Efy2=1098Dy=525Y3122748P1/51/51/5

7、2/5离散型随机变量的概率密度表达式P1-25式/(x)=p/(xf)其中S(X)=1，为冲激函数k=0,x0/r(y)=*(y-3)+/y12)+/y27)+2/y48)1-22已知两个随机变量x.y的数学期望为根x=1,=2,方差为点=4,=1,相关系数&Y=04现定义新随机变量KW为JV=-X+2YW=X+37求匕W的期望，方差以及它们的相关系数?Ey=3EW=7EaXbY=aEX+bEYZ)V=4.8DW=17.8DaX+bY=a2DX+b2DY+2abCx0.13CxyPxy=x1-23已知随机变量XJ满足y=Gc+b,皆为常数。证明：CXY=a；PXyh:：；当映且A=时，-14故P也服从高斯分布M=AMxC=ACxAr=AJj=Ogj),故X9不相关,高斯变量不相关和独立等价，Y丫2独立1-30已知二维高斯变量（X，X2）的两个分量相互独立，期望皆为0,方差皆为,。令%=aXi+X2Y2=aXi-X2其中aw。为常数。证明：（匕功服从二维高斯分布；求（几功的均值和协方差矩阵；证明：外工相互独立的条件为。=4。复习：Y1维高斯变量的性质1 .高斯变量的互不相关与独立是等价的2 .高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。3 .高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布解：Y2a-x2,0M=AMx=Cy=ACxAr=22+22-2-12+2KM相互独立、二维高斯矢量因此X名