专题11 平面向量（教师版）.docx

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1、专题11平面向量1 .【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量,b满足Ia1=2|,且(。-。)_16,则与6的夹角为【答案】B【解析】因为(。-3J_所以(。/=。/=0,所以Q1=、，所以COSe=T=黑；7=:IaHH2b-2所以。与方的夹角为故选B.【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为()中.2 .【2019年高考全国卷理数】已知AB=Q,3),AC=(3,。，BC=I,ABBC=A.-3B.-2C.2D.3【答案】C【解析】由3C=AC-A3=(1-3),Bq=J12+”3)2=1,得方

2、=3,则3C=(1,0),AB.BC=(2,3).(1,0)=2x1+30=2.故选C.【名师点睹】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大.3 .【2019年高考北京卷理数】设点A,B,C不共线，则与AC的夹角为锐角”是“IA5+4CBC的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB与AC的夹角为锐角，所以AB2+AC2+2A5ACAB2+ACT-2ABAC,即AB+ACf1AC-ABfi,因为AC-AB=BC,所以IA8+AC8C;当IAB+4。AIbG成立时,A3+aCFIA3-AeF=ABaCO,又因为点4,

3、从C不共线,所以AB与AC的夹角为锐角.故AB与AC的夹角为锐角”是IAB+CBeT的充分必要条件,故选C.【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断、平面向量的模、夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.4 .【2018年高考全国I卷理数】在AAB。中，4。为BC边上的中线，E1为A。的中点，则8=3一1一1一3一A.-AB-ACB.-AB-AC44443113C.ABHACD.ABHAC4444【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得=反4+!bc=84+,(a4+aC)2224241)1113131=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,所以E8=?A8-AC.2444444故选A

4、.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每步运算.5 .【2018年高考全国I1卷理数】已知向量。，b满足Ia1=1,ab=-,则(2-b)=A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】因为,(2-b)=22-a1=22一(一1)=2+1=3,所以选B.【名师点睛】已知非零向量a=(%,y),b=(x2,y2):几何表示坐标表示模IaI=aaH=7+夹角cos=PH-WCOS,二十产一盾+yj.g+W6.(2018年高考浙江卷)已知。，儿e是平面向量，e是单位向量.若非零

5、向量。与e的夹角为，向量方满足b24e-6+3=0,则|g-切的最小值是A.6-1B.3+1C.2D.2-3【答案】A【解析】设Q=(%,y),e=(1,0),b=(m,n),则由=三得qe=|e|cos，=jx2+y2,.y=V3x由b2-4e6+3=0得Hi?+n2-4m+3=0,(m-2)2+n2=1,因此Ia-例的最小值为圆心(2,0)到直线y=5x的距离2叵二6减去半径1,为6-1选A.2【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.7.【2018年高考天津卷

6、理数】如图，在平面四边形ABCO中，ABBC,ADCD,ZBAD=20,AB=AD=1,若点E为边CD上的动点，则AEBE的最小值为A.C.21162516【答案】A【解析)连接4Q,取AD中点为。可知Afi)为等腰三角形，而48BC,ADCD，所以1BCD为等边三角形，bd=6DE=tDC0t)AEBEAD+DEyBD+DE=ADBD+DEAD+BD+DE=BDDE+DE2=3t2-t+-(Or1)121所以当E=1时，上式取最大值二，故选A.416【名师点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示，同时利用向量共线转化为函数求最值.8.【20

7、18年高考北京卷理数】设,均为单位向量，则”|。-34=囱+耳”是2_16”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】CWa-3b=3a+ba-3b=3a+ba2-6ab+9b2=9a2+6ab+b2,因为用均为单位向量，所以/-62+9=9+61+=.斤OO也，即“|。-3目=|3。+是“J_b”的充分必要条件.故选C.【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法.1 .定义法：直接判断“若P则夕”、若4则，的真假.并注意和图示相结合，例如“png”为真，则P是夕的充分条件.2 .等价法：利用Pnq与非4=非p,4np与非P=非乡，PQq与非“q非

8、P的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.3 .集合法：若AG5,则A是3的充分条件或3是A的必要条件;若A=B,则A是3的充要条件.9.【2017年高考全国HI卷理数】在矩形ABC。中，AB=1AD=I,动点P在以点。为圆心且与8。相切的圆上.若AP=448+4。，则兄+的最大值为A.3B.22C.5D.2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设A(0,1),B(0,0),C(2,0),D(2,1),P(x,y),294易得圆的半径r=-f=,即圆C的方程是(工一2)2+/=-,yJ55x=2y-1=-AAP=(x,y1),=(0,1),AP=(2,0)，若满足A

9、P=AB+AD、YY=-9=-yf所以4+=/_y+1,设z=；-y+1,即!一y+1-z=0,点P(X,y)在圆(X-2+)产=S上，Y2-z2所以圆心(2,0)到直线-y+1-z=0的距离dr,即占=1=,解得1z3,2即所以Z的最大值是3,即4+4的最大值是3,故选A.【名师点睹】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的般思路是：先选择组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.10. （2017年高考全国II卷理数】己知Be是边长为2的等边三角形，尸为平面ABC内一点，则H

10、4（P月+PC）的最小值是3A.-2B.24C.D.-13【答案】B【解析】如图，以BC为次轴，BC的垂直平分线DA为y釉，O为坐标原点建立平面直角坐标系,BDc则(0,3),B(To),C(1,O),设P(X,y),所以PA=(-x,3-j),PB=(-xy-y),PC=(1-x,-y),所以PB+PC=(-2x,-2y),PA(PB+PC)=2x2-23-y)=2x2+2(y-)2-,当p(),且)时，所求的最小值为一之，故选B.22222【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征

11、直接进行判断；“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.I1【2017年高考北京卷理数】设孙为非零向量，则“存在负数;I,使得利=加”是0”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若皿0,使机=义，则两向量皿反向，夹角是180。，那么“=加侧CoSI80。=一同时0；若机.1n所以是充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：(1)根据定义，若=d,”,那么P是乡的充分不必要条件，同时“是P的必要不充

12、分条件；Kpoq,那么p,g互为充要条件：若“qp,那么就是既不充分也不必要条件.(2)当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知pxA,x5,若AU8,那么P是q的充分不必要条件，同时夕是P的必要不充分条件；若A=那么p，4”为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.(3)命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将P是4条件的判断，转化为r7是力条件的判断.12 .【2019年高考全国In卷理数】已知mb为单位向量，且b=0,若c=2a-&，则COS【答案】I解析因为c=Zzf5bb=O，所以ac=2/y5ab=2,c2=4I2-45aJ5Z2=9,所以c=3,所以

13、8S0。)=丽=必=相【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角.渗透了数学运算、直观想象素养.使用转化思想得出答案.13 .【2019年高考天津卷理数】在四边形48CD中，AO8C,AB=23,AO=5,NA=30。，点E在线段CB的延长线上，且AE=BE,BDAE=.【答案】-1【解析】建立如图所示的直角坐标系，NoAB=30“，AB=23,Ao=5,则3(2)D(22因为AOBC,Z4D=30o,所以NA5E=300,因为AE=BE，所以NAE=30p,所以直线BE的斜率为去，其方程为y=亭(工-26)，直线AE的斜率为W其方程为尸条.所以E(JJ,-1)得X=G，=-1，所以

14、QAE=【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.14 .【2019年高考江苏卷】如图，在AABC中，。是BC的中点，E在边A8上，BE=2EA,AD与CE交于点。.若A8AC=64OA,则昼K的值是-AC【答案】3【解析】如图，过点D作DF/CE,交AB于点、F,由8E=2E4,为BC的中点，BF=FE=EAAO=OD.6AOEC=3AZ（C-）=；（八8十八八C八.3（、3（11-）1=-（aB+ACAC一一AB=-ABAC一一AB+AC一一ABAC2、3J2133=-AB.AC-AB2+AC2=AB.AC-AB2+-AC2=AB.AC,2（33）22得aQ2=gAC2,即卜B卜A。,故空二G【名师点睛】本题考查在三角形中