一个折叠问题的辅助线作法探究.docx

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1、一个折叠问题的辅助线作法探究下面一道和直角三角形折叠有关的几何证明题，需要作辅助线构造相似三角形，才能顺利解决。但辅助线的作法比拟灵活，通过探究此例辅助线的作法，能够训练思维的灵活性、深刻性，从而提高数学能力。下面从构造相似三角形的角度出发，探究四种辅助线的作法。例如图1,RtZSABC中，AB=AC,点M在Ae上，点N在BC上，沿MN翻折使点C恰好落在斜边AB上的点P.(1)当P为AB中点时，求证：(2)当P不是AB中点时，是否仍然成立？假设成立，请给出证明。析解：(1)如图1,P为AB的中点，那么PA=PB,要证,所以应证CM=CN.连结CP,由PA=PB,CA=CB,得CP&perp；A

2、B.可知aCMN与aPMN完全重合，得CM=PM,CN=PN.&there4；MN&perp；CP.(MN是PC的垂直平分线)&there4；MNAB.&there4；=1.二,&there4；.(2)如图2,此时仍然成立.如何证明关键是怎么作辅助线，将成比例线段的四条线段集中在一块，利用全等三角形和相似三角形的知识来研究。辅助线一由，考虑从线段AB的内分点P作AC的平行线，构造出相似三角形，再从分析寻找证明思路。证：如图(2),作PQAC,那么PQ&pe*；BC,连结PCVPQAC,&there4；.而PQ=QB,&there4；.(如果以作为中间比，须证。于是从思考aPQCsNCM是否成立

3、。)由可得PC&perp；MN,MC&perp；CN,fethere4;&ang；CMN=feang;PCQ,fethere4;RtPCQooRtNMC.fethere4;.fethere4;.辅助线二仍然考虑从P出发构造相似三角形和全等三角形。证：如图3.作PH&peir；AB于P交AC于H,作AQBC,于PN的延长线交于Q,可得PAQsapbn,有.VPH&perp；AB于P,&ang；PAH=45°；,&there4；PA=PH,&ang；PHM=feang；PAQ=45°；,二CMN=PMN,&ang；MPN=Rtfeang；.&ang；1+&ang；3-&ang；2+&a

4、ng；3=Rt&ang；&there4；&ang；1-&ang；2,&there4；PHMPAQ(ASA),&there4；PQ=PM.&there4；.辅助线三由可知,PA.PM在4PAM,而PB、PN在aPBN中，显然不易证这两三角形相似，于是想方法作辅助线构造一个与aPAM相似的三角形。证：作PQ=PN交BC于Q,如图4.&ang；PNQ=feang;PQN,&ang；PNC与&ang；PMC互补,∠PMA与&ang；PMC互补，&ang；PMA=&ang；PQB,又&ang；A-&ang；B=45°；,&there4；PMAczPQB,&there4；.又PQ=PN&there4；成立。而PM=PN,PN=CN,&there4；.辅助线四根据以上三种辅助线的作法，不难想到第四种作法。证：如图5,作PH&perp；AC于H,PG&perp；BC于G,易证RtHPRtBGP,那么，再证RtZAHPsRtPGN,Gthere4;问题可以得到解决。