5.5.1两角和与差的正弦余弦和正切公式教学设计.docx

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1、高一一数学一人教2019A版必修第一册第五章三角函数5.5.1两角和与差的正弦、XX和正切公式（第二课时）XXXXXX三角函数5.5.1两角和与差的正弦、XX和正切公式（第二课时）【教学内容】1 .掌握公式的推导产生过程.2 .熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，掌握公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.【教学目标】1 .数学抽象：由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式的推导；2 .逻辑推理：两角和与差的余弦、正弦、正切公式之间的联系；3 .数学运算：运用和差角角公式求值；4 .直观想象：观察公式间相互关系，联想推导过程；5 .数学建模：公式的灵活运

2、用；【重点、难点】1重点：掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式2.难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用。【教学过程】一）温故知新两角和与差的余弦公式：。（.篦对于任意角,有CoSIaF）=cosacosF+sinaSinF注意结构：右边是CC+SS,中间符号与左边的相反【设计意图】巩固知识基础，为本节课内容作好知识铺垫二）探究新知由公式0C.,)出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？下面以公式仿0.6)为基础来推导其他公式.1 .思考Q+,)比较Ga.,)与G.+#，并注意到+与a-F之间的联系：a+F=a-(-)则由公式cos(a-

3、F)=cosacosF+sinasinF,有cosa+F=cosa-F)=cosaCOs1FHSinasin(-F)=cosacosFsinasinF于是得到了两角和的余弦公式，简记作G,).cos(a+F)=cosacosF-sinasinF.注意结构：右边是CC-SS,中间符号与左边的相反【设计意图】引导学生对解决目标与己学公式对比分析，寻找差异，获得新知。此公式也可以用换元法证明2 探究S(Ii+.)、几上面得到了两角和与差的余弦公式.我们知道，用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化.你能根据Ga.0,。+C及诱导公式五(或六)，推导出用任意角,的正弦、余弦表示S-.,Sc.,的公

4、式吗？(学生小组讨论合作)通过推导，可以得到：sin(a+F)=SinacosF+CosasinF,(6。十.)注意结构：右边是SC+CS,中间符号与左边的相同sin(a-F)=SinacosF-cosasinF;(Sg.,)注意结构：右边是SC-CS,中间符号与左边的相同【设计意图】教师引导，学生合作学习，得到新公式，培养学生合作交流能力。答案：诱导公式五、六可以实现正弦与余弦的转化；证明如下：.sin(-)=cosy-(a-)=COSy-a1+=COS(F-)cos-sin(：=sinacos-cosasin)sin：sin(a-)=sinacos-cosasin(简记为S)然后用-替换上

5、式中的可得sin(+)=sinacos+cosasin(简记为S.).【小结】先a后B主角排前两角和与差的余弦公式:cos(a+Fy=COSacosFsinasinFcos(aF)=COSacosF+sinasinF余弦：同名积，符号反两角和与差的正弦公式：sin(a+F)=SinacosF+CosasinFsin(a-F)=SinacosFCosasinF正弦：异名积，符号同3.探究ta(a+a,ta(a-B)你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从。.士做，S（a/任意角,的正切表示Iana+,tana.的公式吗？（学生小组讨论合作）通过推导，可以得到:tan(aF=1tan(a+)

6、taW-F)=Wtan(a-)a+丰y+&T,a丰+ZT,+kT(Z=Z)【设计意图】通过已推导出的公式获得更多的公式，在此过程中，学会用联系的思维方式,提升学生分析问题、解决问题的能力，发展逻辑推理素养./小M(atan(7+A)=-cos(+A)SinaCOSaCoSaS1nsin.CoS甚+cos+U）=Iana+【山】4.（简记作tan+）.I-IanaIanP注意结构：分子是两角正切和分母是1两角正切积随后将0替换为TJ,-卬z小tan+tan（-J）Iana-Un即可得到tan（-）=,】tanatan（-。）IIanatan两角差的正切公式Iana-tanBtan（7-）=（简记

7、作tanj篦）.Ianatan注意结构：分子是两角正切差分母是1+两角正切积Iana,1an,1an（d口）只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解。公式注意：上和差、下乘积符号上同，下不同【新知小结】公式Sg+*，Ge+f），tanJ+,）给出了任意角,B的三角函数值与其和角+p的三角函数值之间的关系.为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式.类似地，Sg.,）,6,（.ptan_,）都叫做差角公式.)新知应用例1：求下列各个三角函数值(1)sin15o;(2)cos750;(3)tan15o;(4)sin105osin15o=sin9-曲=sincos?-cos?

8、sin?=二X二-SXU146/4646，s75=cosG+6)=css-sin4sin6=TT-THr2=2-3sin105o=Sin+?)【设计意图】学生熟练运用两角和差公式计算具体且常用的角度三角函数值。熟知公式结构,初步感受通过凑已知角的办法来求得目标角。【方法小技巧】归纳：用已知角通过加减法拼凑目标角，再用两角和差公式计算。15=4530=604575=45+30105=60+451=tan45o=(a+)-B=(a)+探究：和（差）角公式中，a，B都是任意角.如果令a为某些特殊角，就能得到许多有用的公式.你能从和（差）角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式？利用和差公式，推

9、出所有诱导公式。（教师组织，公式多，所以分组进行，最后到媒体展台交流）可以尝试令公式中的a或B取为0、-？、几、彳1、2例如：sinC-a）=sin2cosa-cosgsina=cosa-o=cosa同学们可以自己尝试证明更多的诱导公式！例2.已知XXXX=-.a是第四象限角，求Sin-a,cos+a解，几的值：由XXXX=一,a是第四象限角，tan得COSa=1-xxxx2=1-(-)2=sin-a=sincosa-cossina-X-(-)=;cos+a=coscosa-sinsina=-(-)=;xxxtana=-tanIa-?)=力=上匕2=v14/r(mA*【设计意图】本题目条件简单

10、，问题明确，可加强学生对新学公式的认知程度.另外，本题目有利于培养学生分析问题和解决问题的良好思维习惯，即先认真分析条件，适度拓展条件，在明确任务，了解前进的方向，联想解决问题需要的工具(公式、定理等)、数据，再将这些所需的条件与已知条件及拓展条件相联系，逐步拉近已知条件与待求结论的距离.追问1如果去掉“a是第四象限角”的条件，则答案如何？解：由sina=-1,如是第三象限角，得COSa=-1-sina2=-1-(-1)2=-sinI-a1=Sin?COSa-Cos?Sina=一二4f44,几、几几2cos+a=cos“cosa-sinsina=4I441思考：由以上解答可以看到，在本题条件下

11、有SinC1-a)=cosQ+a!那么对于任意角,此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？答案：等式对任意角都成立.证明方法有多种，如等号左右两侧分别用SIfR,C1f+r展开后比较；/几i几几22sin1-a=sincosa-cossina=cosa-sinaU.4422,几、几几22cos1+a=cos,cosa-sinsina=-cosasina(44422还可以将2-4或者2+换元，然后借助诱导公式即可证明.44【设计意图】通过延伸，培养学生“观察现象一一提出问题一一解决问题”的科学思维品质，鼓励学生多观察，多思考，多提问.激发学生的发散性思维，一题多解.例3.利用和(差)角公式

12、计算下列各式的值：(1)sin72ocos42o-cos72osin42o;(2)cos200cos700-sin20osin70o;(3)sin66osin54o-sin36osin24；O(5)cosxsinx22追问：5个问题有什么结构特征？你是否在某些公式中见到过这样的结构特征？【分析】前3个问题都含有四个三角函数值，其中两个的乘积与另外两个的乘积作差，在正弦、余弦的和角与差角公式的等号右侧有过类似的结构特征；第4个问题仅含正切值，为分式形式，且分母中有常数1,与和角正切公式结构相似.第5个问题每项只有一个Sin或cos,前面都带有比较熟悉的系数，能否把系数化成和差公式需要的同角三角函

13、数.解：(1)由公式S(A,得sin72cos42o-cos720sin420=Sin(720-42o)=sin30o=(2)由公式6。+第，得cos200cos700-sin20osin70=cos(200+700)=cos900=0(3)方法一：sin66osin54o-sin36osin240=cos24cos36o-sin36osin24o,由公式C(+?),原式=CoS(36o+24o)=CoS60。=:方法二：sin66osin54o-sin36osin24o=sin66ocos360-cos66osin36o,由公式S，原式=Sin(66o-36o)=sin300=1(4)由公式

14、tancfc+,)及tan450=1,得I-Mew15_IFI115尸=Ex45。+15。Ran60。=(5)方法一：icosXsinx=cosacosxsin11sinx=cosp+x2233,方法二：原式=sin-cosx-cos-sinx=sinf-x)【设计意图】引导学生发现题目的结构特征，并联想相关公式，为解决问题提供了方向与线索.加强公式的记忆，逆用公式，加深公式结构的理解运用。反用表现的是一种逆向思维，不仅要求有一定的逆向思维意识和较高的思维灵活性，而且对公式要有更全面、深刻的理解。四)课堂小结1.要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角。、ft的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.-PW2牢记公式G处6=C.C+S.S.$&t=SCCS；Z妁Q=，+壬公